一阶线性非齐次微分方程

一阶线性非齐次微分方程 一、线性方程 方程 dy ，,PxyQx()() dx 1 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 Qx(),0如果 ，则方程称为齐次的; Qx()如果 不恒等于零，则方程称为非齐次的。 a) 首先，我们讨论1式所对应的齐次方程 dy ，,Pxy()0 dx 2 的通解问题。 dy ,,Pxdx() y分离变量得 ln()lnyPxdxc,,，,两边积分得 ,Pxdx(),yce,,或 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。 ux()c将1的通解中的常数换成的未知函数，即作变换 ,Pxdx(),yue,, ,Pxdx(),PxyuPxe()(),,两边乘以得 dy,PxdxPxdx()(),,,,,(),ueuPxe dx两边求导得 代入方程1得 ,Pxdx()Pxdx(),,ueQx()uQxe(),,,, ， Pxdx(),ucQxedx,，(), 于是得到非齐次线性方程1的通解 ,PxdxPxdx()(),,yecQxedx,,，(),,, 将它写成两项之和 ,,PxdxPxdxPxdx()()(),,,yceeQxedx,,，,(), 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 【例1】求方程 3 dy2y2(),,，x1 dxx，1 的通解。 322dxdx,,,,,x，1x，12ye[c(x1)edx],,，，,解: 3 22ln(x，1),ln(x，1)2,e,[c，(x，1),edx], 1,22,，,，，()[()]xcxdx11, 1 22,，,，，()[()]xcx121 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。