【doc】非理想气体状态方程与内能

【doc】非理想气体状态方程与内能 非理想气体状态方程与内能 非理想气体状态方程与内能 内蒙古大学杨体强 摘要内能奢式CJr一导络出:定量非理想气 体经绝热自由膨胀过程胄,气体的温度恒降低但实际 情况井非完奎如此.本文给出新的气体牧志方程与内能 舟式,并很好地解释7气体绝热自由膨胀和绝热节流 嘭胀温度妻化的奎部情况. 从以L讨论可知,公式I1)H适用气体分产间怍 用力为引力的气体.它之所以不能完全描述气体绝热 自由膨胀温度变化的原因,是内能公式巾没有分F的 斥力势能.而把斥力全部归结为体积.在此,我们对 范德耳斯气体模型给予修改,建立新的气体状态方 程.由此给}I_I非理想气体内能公式. 一 .引言二.状态方程 定量非理想气体经绝热自由膨胀过程后气体的 温度是升高?不变?还是降低呢?l_I由热力学第一定 律知,这是一个气l体内能不变的过程,对于这个问题 由范德瓦晖斯(VanderWaa1s)气体模型所得到的内 能公式 =CT一鲁(1J 可知,气体经绝热自由噼胀后.不管原状态如何,气 体的温度总是降低. 分子力与分子势能关系如同1所示.由图可见 -,,= I\\斥",.? \\lF衡位竹蚓",'n),\0/ . . 幽l分子力与分子势能关着; 气体分子问作用力斥力起主要作用,则势能现为 斥力势能.气体在选种状态下,当体积膨胀时,斥力 势能的减少将转变为分子的动能,因此气体的温度升 高.若气体分子『日1作I}I4力引力起主要作用.则分子势能表 现为引力势能.气体在这种状志F,当体积膨胀时,相互 吸引的分子彼此远离,在反抗引力的运动中将由动能的 减少而作功.分子动能的减少使得气体温度降低. 范德瓦耳斯气体模型是:分f具有确定的大小, 直径为.气体分F以吸f力相互作用,亦即假定分子 间相互作用势能如陶2所示,当分子巾心距离大干分 子的直径时,只受到吸引力作用这显然与实际情况 相差较大, 根据分子势能幽1,我们认为气体分子是有确定大 小直径为具有相互作I}I4(包括斥力和引力)的弹 性,f,球.亦即当气体分子中心距离大于直径时,相互 作用力是分子间斥力引力之和.依照选一模型,我 们对理想气体状态方程p=fiT进行修改,得f}{实际气 体的状态方程. 1分子体积的修正 P . 闻2范德耳斯气体模型势能圈 因为分子日1有斥力,所以气体分于不能无限接近, 设两分子中心最小睦近距离为a,如图3所示,口与内能 =风+有关,的存在即有确定的大小表现为 分子具有固有体积.设一摩尔气体分子固有体积为b 这样理想气体状态方程P=RT中,供无体积的理想气 体分子活动空口1体积V应用V—bT代替,方程变为: P(V一6)=Rr或P='2) 9 6称为体积修正数 图3实际气体势能B,动能,内能E之关系 2,分子力的修正 (2)式中的是把气体分子视为无相互作用的弹 性小球,气体内部任一截面两边分子由于碰撞输出运 动量产生压强.现在,如分子间有相互作用,则除此 压强外,还需考虑由于分子间相互作用所产生的压 强. 在气体内任取截面,,对截面两边分子距离r大干 ,n的分子,它们之间由于相互吸BI出现彼此对拉的张 力,而使压强减少,其减少量为单位截面两边气体分 子间的引力之和(可此力垂直截面),由图4看出 引力既与,左边分子数密度成正比,又与,右边分 子数密度成正,所以引力与成正比.又园= ?/?为阿侠伽德罗常数,因而引力与成反 比.令比例常数为口,则目『力产生的压强是 pt=一号(3) 图4Pln2,?2 同理,截面两边分子距离满足if<r<的分子,它们 之阃由于相互排斥出现彼此互推的压力,而使压强增 大,增大量为单位截面两边气体分子闾斥力之和,则 斥力产生的压强是 10 2=—r c为比例常数.",是与气体性质有关的常数. 考虑分子力的作用后,得}}{修正后气体压强为 p一 变形为 +告专)c一?一rc, 这就是我们得到的非理想气体状态方程.将(5)式变 形得 r (一),一号 固为<I,所以按级数展开得 r (++Il1)一号? 将方程(7)和与实验符台很好的末林-昂尼斯 (KamedinghOnnes)方程 =+ 等++.-- 比较可知具有相同形式,并且第一,第二项系数分别 为=T和B=Tb+c一. 三,气体内能 由内能微分公式 [r(鲁)一 我们可得非理想气体内能微分形式为 dE=QdT+—a-cdV(8) 积分得 ,=r一等+岛(9) Eo为积分常数,这就是我们得到的非理想气体内能表 达式.用(9)式我们能完垒描述气体绝热自由嘭张温 度变化情况,也可完全描述节流嘭胀(焦耳一汤姆孙 实验)温度变化情况, 1,气体绝热自由膨胀 设始状态气体的内能,温度,容积分别为EI,T1 VI,末状态气体的内能,温度,容积分剐为岛,T2. n.在这个过程中 f4】觥 ,吐得 n们 AT'…J j:式分母大于零,且一V.>0,所以 , 当—>O,有AT>0,即分子问相互作用力斥 力起主要作用,气体绝热自由膨胀后温度升高. 当(一4<0,有A7'<0,即分子间相互作H】力引 力起主要作用,气体绝热自由膨胀后温度降低. ?当c—a:0,有AT=0,即分子间斥力与引力之 和为零时,气体绝热自由膨胀后温度不变 2.气体绝热节流膨胀(焦耳一汤姆孙实验) 设初态和未态的内能温度,压强容积分别为 El'Tt,Pl,Vl和E2P2,V2.这是一个等焓过程 叶'lVtE2+P2V2(12) 将(6)和(9)式代人(12)式,并设AT=T2一,略去 L 二次以上项,化简得 C … 1cr++—:一l l式分母大于=零,且V2>V.,所以 (.当詹6+2c一2a>0,有AT>0,即气体 分子间相互作用力斥力起主要作用时,气体节流膨胀 后温度升高. ?当RbTi+2x'一2a<0,有AT<O,即气体 分子问相互作用力引力起主要作用时,气体节流膨胀 后温度降低. ?当RbT.+2c一2a=O,有ATTM0,即气体分 子问相互作用斥力与引力之和为零,气体苇流膨胀后 温度不变 四.结论 利用内能公式(9J,非常好地解释了气体绝热自 由膨胀和绝热节流膨胀温度结果.它的建立是基于实 际气体势能曲线,因而(9)式比(1)式更接近实际气体 的内能.. '若将气体的斥力垒部归结为体积,即不考虑斥力 势能.则c:0,(5)式便是范德瓦耳斯气体状态方程. 若不考虑分子力的作用,则4=b:c=0,(5)式便是理 想气体状态方程. 参考文献 【11程守株江之永.普通物理学第一册,^民教育出版社 (1983)第346页,习町8—7 『甜颐建中,热学教程,高等教育出版社(1983)第219页 『31者淑清聂宜如申先甲.热学教程高等教育出版社 (1985)第256页. 『41EA史特劳走着,戈革泽分子物理学,高等教育 出版社(1959).第358丽. ([:接8页) m=19):dye'+j)m9)] fsi+fi+ls:k 在磁岛B中,电流元ldr所受磁力对0点的力 矩为dM=,×(1dr×B),整个线圈所受对0点的磁 力矩为 M=@r×(1dr×B) 对均匀磁场,可取:轴沿磁场方向=),井利 用 f=可得 Mt ?z?:母,Brs5=mxB 若不取z轴沿磁场方向,虽然计算更繁一些.结果仍 是M=mxB.由于0点也是任意的,所以该结果具 有普遍性. J:述结果还表明,对与B垂直的某转轴(取作 轴),计算载流线圈所受磁力矩时,可将载涟线圈投 影到转轴与磁力线所形成的平面(即xOz面)内,用 投影形成的平面载流线圈代替原载流线圈计算磁力矩: 确定载流线圈所受磁力矩的大小方向时,只需对与磁 力线垂直的平面内两互相垂直的轴(设分别为Xv轴). 接上述方法分别计算载流线圈对两轴的磁力矩,再取 矢量和即得.这种方法使非平面载涟线圈在均匀磁场 中所受磁力矩的计算更直观方便. 河北工学院沈鼎权