妙用分式方程的增根求参数值
妙用分式方程的增根求参数值
解分式方程时,常通过适当变形化去分母,转化为整式方程来解,若整式方程的根使分式方程中的至少一个分母为零,则是增根,应舍去,由此定义可知:增根有两个性质:(1)增根是去分母后所得整式方程的根;(2)增根是使原分式方程分母为零的未知数的值,灵活运用这两个性质,可简捷地确定分式方程中的参数(字母)值,请看下面例示: 一、分式方程有增根,求参数值
2x,4x,a
例1 a为何值时,关于x的方程=0有增根, x,3
分析:先将原分式方程转化为整式方程,然后运用增根的两个性质将增根代入整式方程
可求a的值
解:原方程两边同乘以(x-3)去分母整理,得
2x-4x+a=0(※)
-12+a=0 a=3 因为分式方程有增根,增根为x=3,把x=3代入(※)得,9
2x,4x,a
所以a=3时,=0有增根。 x,3
点评:运用增根的性质将所求问题转化为求值问题,简捷地确定出分式方程中的参数(字母)值
2m,2m12例2 m为何值时,关于x的方程+=有增根。 x,2x,1x,3x,2
分析:原分式方程有增根,应是使分母为0的x值。将这样的x值代入去分母的整式方
程可求出m的值。
解:原方程两边同乘以(x-1)(x-2)去分母整理,得
(1+m)x=3m+4(※)
3因为分式方程有增根,据性质(2)知:增根为x=1或x=2。把x=1代入(※),解得m=-;2把x=2代入(※)得m=-2
3
所以m=-或-2时,原分式方程有增根 2
2k
点评:分式方程有增根,不一定分式方程无解(无实),如方程+1=有增(x,1)(x,2)x,1
82
根,可求得k=-,但分式方程这时有一实根x=。 33
二、分式方程是无实数解,求参数值
x,2m
例3 若关于x的方程=+2无实数根,求m的值。 x,5x,5
分析:因原方程无实数根,将原方程去分母得到整式方程解出的x值为原方程的增根,又x=5是原方程的增根,故可求出m的值
解:去分母,得x-2=m+2x-10,x=-m+8
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因为原方程无解,所以x=-m+8为原方程的增根。
又由于原方程的增根为x=5,所以-m+8=5
所以m=3
点评:这类型题可通过列增根等于增根的方程求出参数值。
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