人教版小学数学五年级下册第四单元《分数的意义和性质》错题剖析

人教版小学数学五年级第四单元《分数的意义和性质》错题剖析 来自《百度空间》 (1)什么叫做分数? 【错答】把单位1分成若干份,示其中一份或几份的数叫做分数 【分析错因】产生错误的原因是学生对分数的定义不理解,误认为“把单位1 分成若干份”与“把单位1平均分成若干份”是一样的 把单位1平均分成若干份,是说不论分成多少份,每一份的大小必须相等,否则,就不能正确定义分数 防止这类错误的是要使学生理解分数的意义 【正确解答】把单位1平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数 (2)判断题:单位“1”就是自然数“1”() 【错答】“√” 【分析错因】产生错误的原因是学生不理解单位“1”与自然数“1”这两个概念的不同内涵,混淆了这两个概念 应该说,分数中的单位“1”与自然数“1”是既有联系又有区别的两个概念。这两个概念都用同一个数字“1”,它们的含义有同一性。比如一本书,一个班级。既可以用自然数“1”表示,还可以用单位“1”来表示 自然数“1”主要是表示物体个数中的“一个”,并不是表示一个集合。而单位“1”就不同了,它是指具有某种共同特征的单个事物所组成的一个新的群体,它是一个“集合”。显然,在这个集合里,它包含有若干个元素,即包含有某种共同特征的单个事物。比如,一个班级有学生45人,它是由具有共同特征的单个事物构成的集合,是一个群体 防止这类错误的措施要使学生认识单位“1”与自然数“1”的区别与联系 【正确解答】“×”。单位“1”与自然数“1”是两个既有区别又有联系的概念,它们的含义并不完全相同 (3)试述分数与除法的关系 【错答】被除数就是分子,除数就是分母,因此,分数就是除法 【分析错因】产生错误的原因是学生把分数与除法完全等同起来了,这显然是不了解分数与除法的区别而产生的错误说法 分数与除法是两种不同的概念。分数是一种数,而除法则是一种运算。除法是把一个数(量)平均分成若干份,或者说是比较两个数(量)的倍数关系的计算方法。而分数是一个数量,或者表示一个数(量)是另一个数(量)的几分之几。因此,分数与除法不能完全等同起来 【正确解答】分数的分子相当于除法中的被除数,分母相当于除数,分数线相当于除号。分数是一种数,而除法是一种运算,两者不能完全等同 (4)分数的分母为什么不能为0? 【错答】因为除数不能为0,所以分数的分母也不能为0 【分析错因】产生错误的原因是学生没有真正理解分母不能为0的原因。误认为是因为除数不能为0,根据分数与除法的关系,推论得出,分数的分母不能为0 分数的分母不能为0是由分数的定义决定的。把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数。根据定义可知,分数应是m/n的数,显然n应为自然数,m为整数。从分数的定义上看,它包含两个意思,一是把单位1平均分成n份,表示其中的一等份的数叫分数。可是在我们的生活实际中出现了分母n=1,分子m=0的分数。为了满足实际的需要,数学中对分数m/n又补充了下面的定义: “当n=1时,m/n=m/1=m;当m=0时,m/n=0/n=0称为‘零分数’”。这样,分数m/n中的m就可以是整数,n就可以是任意自然数了 诚然,根据分数的定义与补充定义,分数的分母n都是不可能为0的。若分母为0,就不符合分数的定义了 为了防止这类错误要使学生理解分数的定义与补充定义,并运用这个定义来回答这个问题 【正确解答】根据分数的意义,分母不能为0 (5)判断题:一个整数和一个真分数合成的数,叫做带分数 【错答】“√” 【分析错因】产生错误的原因是因为学生没有理解整数的概念。误认为一个整数和一个真分数合成的数叫做带分数,这仅仅是从现象上看问题而产生的失误 我们都知道“0”也是整数,0和真分数合成的数就不是带分数而是真分数 分数的种类是这样的,分数分两类:真分数和假分数。由假分数的定义可知:分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。可把分数的分类用下表来表示: 分数真分数 假分数能化成自然数的自然数1以及除1以外的自然数 能化成带分数的 显然,说由一个整数和一个真分数合成的数叫做带分数是错误的 防止这类错误的措施要让学生理解“整数”和“分数分类”的知识 【正确解答】“×”,分子不是分母倍数的假分数,可以写成整数和非零自然数合成的数,这样的分数,通常我们都叫它为带分数 (6)判断题:分数包括一般分数和繁分数() 【错答】“√” 【分析错因】产生错误是因为学生对繁分数的定义不理解,误认为繁分数也是分数的一种 在《算术基础理论》一书中给繁分数的定义是:“在一个分数形式的算式里,如果分子部分和分母部分都含有分数,或者其中一部分含有分数,这种形式的算式,通常称为繁分数。”在一个繁分数里,最长的分数线叫做繁分数的主线,主线上面的数是繁分数的分子,下面的数是繁分数的分母。把繁分数化为最简分数或整数的过程,叫做繁分数的化简 我们把繁分数的定义与分数的定义和补充定义进行比较可以清楚看出分数不包括繁分数,所以说“分数包括一般分数和繁分数”是错误的 防止这类错误要使学生认识判断这道题的正误,要以分数与繁分数的定义为 【正确解答】“×”,分数与繁分数是两种不同的概念,分数不包括繁分数 (7)两个自然数相除,若不能整除,怎样表示它们的商? 【错答】两个自然数相除,如果不能整除时,它们的商可以用有余数的形式来表示,比如17÷5=3……2,或者有小数表示,比如17÷5=3.4 【分析错因】产生错误的原因是学生回答的不够完全,学生误认为两个自然数相除,在不能整除时,可以用有余数的形式来表示,或用小数来表示,但没有想到还可以用分数来表示 两个自然数相除,如果不能整除时,可以用分数来表示。表示的方法是这样:两个自然数相除,得的商作带分数的整数部分,余数作分子,除数作分母。比如16÷3=5又1/3 【正确解答】两个自然数相除,如果不能整除,这时可用如下的三种形式来表示它们的商: 一、用分数表示它们的商,把得的商作带分数的整数部分,余数作分子,除数作分母 二、用有余数的形式来表示它们的商 三、用小数来表示它们的商 (8)分数的基本性质是什么? 【错答】分数的基本性质是分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数,分数的大小不变 【分析错因】产生错误的原因是解答的答案不确切。误认为一个分数都乘以或除以相同的数分数的大小不变。显然,这里漏了一个重要的条件,即“0除外” “0”也是一个数,若用分子和分母同乘以“0”,得0/0,显然这时的分数的分母为0,是无意义的。所以,在回答这个问题时,要明确指出:“0除外” 防止这类错误的措施是要使学生理解分数基本性质的意义,回答问题时要确切 【正确解答】分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变。这就是分数的基本性质 (9)分数的单位是什么? 【错答】把一个数平均分成若干份,其中的一份是所得分数的分数单位 【分析错因】产生错误的主要原因是学生对“分数”和“分数单位”这两个概念认识不清。把“一个数”与“单位1”混为一谈 分数的单位是由分母确定的,分母不同的分数,就有不同的分数单位。比如3/5的分数单位是1/5,7/8的分数单位是1/8,5/9的分数单位是1/9。所以,把一个单位“1”平均分成n(n≠0)份,其中的一份:1/n,就是这个分数的分数单位 学生误认为把“一个数”平均分成若干份,其中的一份是所得分数的单位。比如,把8本书平均分成4个小学生,每个小学生分得2本(8÷4=2),试想我们从这个平均分成的4份中取出一份(2本书),这一份根本不是“分数单位”。因此,准确地说,把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数。其中的一份叫分数的分数单位 防止这类错误要使学生理解分数的意义、理解分数单位的意义 【正确解答】把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数。其中的一份叫分数的分数单位 (10)0/2是真分数还是假分数? 【错答】0/2的分子“0”小于它的分母“2”,所以0/2是真分数,不是假分数 【分析错因】产生错误的原因是学生不了解分数的补充定义。误认为0/2的分子小于分母,因此0/2是真分数 分数的补充定义(录自中师《算术基础理论》一书): “当分数m/n的n=1时,m/n=m/1=m;当分数m/n的m=0时,m/n=0/n=0。0/n叫做零分数” 根据分数的补充定义,可以判定0/2是“零分数”,而不叫真分数。零分数是值为0的一种特殊的分数。由于“零分数”的特殊性,所以,不能用分数的原定义进行解释 防止这类错误发生要让学生学习分数的补充定义。了解分数补充定义这方面的数学知识 【正确解答】0/2不是真分数,也不是假分数。0/2是“零分数”,它是值为0的一种特殊分数 (11)什么叫互质数?什么叫两两互质? 【错答】互质数指两个数都是质数。两个互质数叫做两两互质 【分析错因】产生错误的原因是学生不理解什么叫互质数,对“两两互质”的概念认识模糊。误认为互质数是指两个数都是质数,把两个互质数叫做两两互质。 公因数只有1的两个自然数,叫做互质数。比如3和4是互质数,又比如8和9是互质数 防止这类错误要使学生理解什么叫互质数,理解什么叫两两互质 【正确解答】公因数只有1的两个自然数,叫做互质数。如果若干个非零自然数中的任意两个数都是互质数,那么称这些数两两互质 (12)判断题: 1、互质的两个数都必须是质数() 2、两个奇数必定是互质数() 【错答】1、“√”2、“√” 【分析错因】产生错误的原因是不理解什么叫互质数。误认为互质的两个数都必须是质数。误认为两个奇数必定是互质数 只有公因数1的两个自然数叫做互质数。符合这样条件的两个数都是互质数,比如2和5是互质数,这两个数都是质数。8和9是互质数,这两个数都是合数。3和8是互质数,这两个数中,一个数7是质数(3),另一个数是合数(8)。1和7是互质数,这两个数中,7是质数,另一个数1不是质数,也不是合数。1和6是互质数,这两个数中,6是合数,另一个数1不是质数也不是合数。所以“互质的两个数都必须是质数”是错误的。“两个奇数必定是互质数”也错了,因为两个奇数不是互质数的例子太多了。比如3和9,这两个数都是奇数,但是3和9不是互质数,又比如5和15,这两个数都是奇数,可是5和15不是互质数 要使学生认识到判断两个自然数是不是互质数的依据是互质数的定义。即“只有因数1的两个自然数,叫做互质数” 【正确解答】1、“×”2、“×” (13)用短除法求最大公因数: 1、24和60 2、6,16和24 【错答】 2 24 60 2 12 30 6 15 (24,60)=2×2=4 2 6 16 24 2 3 8 12 3 4 6 (6,16,24)=2×2=4 【分析错因】产生错误的原因是学生没有理解和把握求最大公因数的方法 用短除法求两个数或几个数的最大公因数,要用两个或几个数公有的质因数连续去除它们,一直除到所得的商只有公因数1为止,然后把所有的除数连乘起来,得到积就是它们的最大公因数 题1,用质因数2和2去除24,60得出商6和15,6和15还可以用质因数3再除。学生误认为6和15没有质因数能除。这样,得出最大公因数“4”就错了。题2,用质因数2去除各数,得商分别为3、8和12,这时,找不出任何一个质因数能整除这三个数。学生误用质因数“2”继续往下除,得出最大公因数“4”,就错了 防止这类错误的措施是要使学生理解和掌握求最大公因数的方法 【正确解答】 2 24 60 2 12 30 3 6 15 2 5 (24,60)=2×2×3=12 2 6 16 24 3 8 12 (6,16,24)=2 (14)用短除法求下面各组数的最小公倍数: 1、30和45 2、24、32和60 【错答】 3 30 45 5 10 15 2 3 [30,45]=3×5×2=30 2 24 32 60 2 12 16 30 2 6 8 15 3 4 15 [24,32,60]=2×2×2×3×4×15=1440 【分析错因】产生错误的原因是学生没有理解和把握求最小公倍数的方法。题1,误认为除数和商中的两个“3”,只要取一个3与2、5相乘,即用3×5×2得30,这是一个错误的得数。题2,用质因数2,三次去除这个数,当得出商分别为3、4和15时,误认为不必再除下去。这样3、4和15不是两两互质。所以,得出错误的得数1440 用短除法求最小公倍数时,先用这几个数公有的质因数做除数,连续去除这几个数,在这过程中,在几个数里若有两个数能被质因数整除就继续除下去,把不能被除数整除的数直接写在下面,直到得出的商两两互质为止。然后把这些除数和商连乘起来,所得的积就是这几个数的最小公倍数 克服这类错误的途径是要使学生理解与把握用短除法求最小公倍数的方法 【正确解答】 3 30 45 5 10 15 2 3 [30,45]=3×5×2×3=90 2 24 32 60 2 12 16 30 2 6 8 15 3 3 4 5 1 4 5←[两两互质] [24,32,60]=2×2×2×3×4×15=480 (15)什么样的分数是最简分数? 【错答】分子与分母没有公因数的分数就是最简分数,不能再进行约分 【分析错因】产生错误的原因是学生不理解什么叫做最简分数。误认为分子和分母没有公因数,不能再进行约分的分数就是最简分数 最简分数的定义是:“分子分母互为质数”。显然,最简分数的特征就是分子和分母只有公因数1。如果说,分子和分母没有公因数的分数就是最简分数,这就错了。我们都知道,任意两个自然数至少有公因数1,诚然,分数和分子和分母都是自然数,不能说没有公因数 一个分数是否为最简分数,主要的是要看这个分数是否满足“最简分数”定义的条件:“分子和分母为互质数”,根本不需要考虑与定义无关的其他条件 【正确解答】分子和分母为互质数的分数,叫做最简分数。即最简分数的特征就是分子和分母只有公因数1 (16)假分数是否可以约分? 【错答】假分数不可以约分,要先把假分数先化成带分数,然后才能约分 【分析错因】产生错误的原因是对约分的意义不理解,不能运用约分来使计算简便 约分是指把一个分数化成同它相等的,但分子、分母都比较小的分数。比如 11/121=1/11.显然1/11的分子、分母比11/121的分子、分母小得多了。1/11的分子、分母只有公因数1,是最简分数 未约分的假分数化为带分数,计算时比较复杂,易出差错。可先约分,再化为带分数。因此约分后,分子与分母同时缩小,再化成带分数计算容易得多。分子分母不是互质数的假分数是可以约分的 【正确解答】假分数的分子和分母若不是互质数,是可以约分的。然后再化为带分数 (17)约简下列各分数: 1、36/48 2、30/42 【错答】1、36/48=18/24=9/12 2、30/42=15/21 【分析错因】产生错误的原因是学生对约分的方法没有把握,对约分的要求也不明确。误认为题1的9/12是最简分数,题2的15/21是最简分数 把一个分数化成同它相等的,分子和分母都比较小的分数,通常要约成最简分数。约分时常用的方法有两种:一是逐次约分法,用分子和分母的公因数逐次去除分子和分母,直到得出最简分数。二是一次约分法,先求出分子和分母的最大公因数,再用这个最大公因数去除分子和分母,得出最简分数。比如: 16/40=8/20=2/5←[用逐次约分的方法约分] 16/40=2/5←[(16,40)=8,用一次约分法约分] 防止这类错误的措施是要使学生掌握约分的方法,还要明确应约成最简分数 【正确解答】36/48=3/4 30/42=5/7 (18)把3/4和1/6通分 【错答】3/4和1/6的公分母是4×6=24 3/4=3×6/4×6=18/24 1/6=1×4/6×4=4/24 【分析错因】产生错误的原因是学生没有理解和掌握通分的方法。误认为24是4和6的最小公倍数 通分时要先求出原来几个分数的最小公倍数,用这个最小公倍数作为这几个分数的公分母,然后把各个分数化成用这个最小公倍数作分母的分数 上例中3/4和1/6这两个分数的分母4和6的最小公倍数是12,不是24。把3/4和1/6化成用12作公分母的分数,得到3/4=9/12,1/6=2/12 防止这类错误的措施是要让学生熟练地掌握通分的方法,特别是要熟练地把握求几个数的最小公倍数的方法 【正确解答】3/4和1/6的公分母是12 3/4=3×3/4×3=12 1/6=1×2/6×2=12 (19)写出比1/3小而比1/4大的一个分数 【错答】1/3=4/12 比1/3小而比1/4大的一个分数是3.5/12 1/4=3/12 【分析错因】产生错误的原因是学生没有掌握找两个分数之间的分数的方法 求两个分数之间的分数,一般用“通分后分子、分母同时扩大相同倍数”的方法去寻找。即先把这两个分数通分,使其成为分母相同的两个分数 若这种情况下,找不出要求的分数,可把通分后的分子、分母依次扩大2、3、4……倍数后,就可以找出要求的分数。比如求1/2和1/3之间的一个分数。这样求解: 1/2=3/6 分子分母再扩大2倍3/6=3×2/6×2=6/12 1/3=2/6 分子分母再扩大2倍2/6=2×2/6×2=4/12 不难看出,要找的分数是5/12 防止这类错误的措施是要使学生能掌握“通分的分子、分母同时扩大相同倍数”的方法 【正确解答】1/3=4/12=8/24 1/4=3/12=6/24 要找的分数是7/24 (20)怎样判别一个最简分数能否化成有限小数? 【错答】一个最简分数,如果分母中含有2和5的质因数,这个分数就能化成有限小数 【分析错因】产生错误的原因是学生没有理解和把握一个最简分数能化成有限小数的确切条件,误认为一个最简分数的分母中含有2和5的质因数就能化成有限小数 解答时,对条件阐述得不完整,造成错误 防止这类错误的措施要使学生通过实例反复对照条件,理解怎样的最简分数能化成有限小数,怎样的最简分数不能化成有限小数 (21)不能化成有限小数的最简分数,如何判别它能化成纯循环小数还是混循环小数? 【错答】要通过计算,即用分子除以分母,从所得的商可以看出是纯循环小数,或者是混循环小数 【分析错因】产生错误的原因是学生没有审题时没有弄懂解题要求,不能掌握判别方法 要知道判别是指不用分数化小数的计算方法,而通过思维采用特殊的途径去分析、推理,作出判断,确定能化成哪种循环小数 防止这类错误的措施是要使学生理解和掌握判别的方法 (22)把下列各数化成小数: 1、6/7(保留两位小数) 2、11/12(保留一位小数) 【错答】1、6/7≈0.85 2、11/13≈0.9 【分析错因】产生错误的原因是学生没有理解和掌握用“四舍五入”法求近似商的方法。题1,误认为保留两位小数就保留小数点后面的第二位上的小数;题2要求保留一位小数,看到小数点后面第三位是“6”,就向前一位进“1”,这样百分位上得到“5”,又把百分位上的“5”,向前一位(十分位)上进“1”,得到近似商0.9。显然,学生在“四舍五入”法取近似商时,没有一个统一的标准 防止这类错误要使学生理解与把握用“四舍五入”法求近似商的法则。求近似商时,一般是先除到比需要保留的小数位数多一位,再按“四舍五入法”取商的近似值 【正确解答】1、6/7≈0.86 11/13≈0.9 (23)比较下面两个分数的大小: 4又7/50和4.16 【错答】4又7/50>4.16 【分析错因】产生错误的原因是学生没有认识到比较一个分数与一个小数的大小,要首先统一形式,即把分数化成小数,或把小数化成分数,然后再比较它们的大小 4又7/50可化为小数得4.14,即得4.14<4.16,也可以把4.16化为分数,得4又4/25,即4又8/50,再进行比较:4又7/50<4又8/50,即4又7/50<4.16 防止这类错误要使学生理解并掌握比较一个分数与一个小数大小的方法,先统一形式,然后比较它们的大小 【正确解答】4又7/50<4.16