【doc】下侧二重随机Dirichlet级数的收敛性与增长性
下侧二重随机Dirichlet级数的收敛性与增
长性
广东工业大学
J?atGm啤dD啤u呐atT.曲?Iogy
Vd.18No3
ScVt=a~2001
下侧二重随机Dirichlet级数的
收敛性与增长性
尤秀英
(广东工业大学应用数学系,广东广州5113090)
摘要:定义了双侧与下侧二重D/fichlet级数;通过引进一个随机变量序列,在概率空间(n,,P)上定
义了下侧二重随机Ditldllgt级数,建立了该级数的相关收敛横坐标及日线性下级与该级数的随机系
数la硼()l的分布函数之间的关系;建立了该级数所定义的随机解析函数的0线性下级与下型的
存在定理,推广了单复变数的随机Difichlet级数与下侧二重I,一eB积分的有关结果.
美?词:下侧二重随机Diiiehlet级数;随机解析函数;相关有界收敛横坐标;分布函数;口级性下级;日
线性准确下级;口级性下级的下型
中图分类号:O2115.0174兜文慧标识码:A文章缩号:1007—7162(2001)03-0085-07
l有关概念与结论
余家荣先生在文献[1,2]已研究了二重DirichLet级数
(=d+iv,t=+i叩,d,r,,叩?R,an?C)(1)
的收敛性与增长性,其中0<1<…<十+?,0<1<…<十+?.这里推广
得
定义1级数
??II1
??‰e一一=???e一+???e一+一…一一…-—0 ?-t??
???e一+???e
0…mi0=0
(2)
称为双侧二重Dirichlet级数.为方便起见,式(2)右边第一个级数称为下侧二重
Dirichlet级数,
记为
^():??n—e一2.s一(3)
=】】
其中0>一1>…>一?一?.0>一1>…>一一?(m,n?N)(4)
与级数(1)一样,级数(3)也有成对相关的收敛横坐标:与.e,与},与.设 d:rcos0,e:rsin~(0<口<詈),它们对应的参数是:r=r(,r=r(, 收稿日期:?0D.08.24
作者简介:尤秀英(1944-).女,副教授,主要研究方向为随机级数 ,
^
卜
?
??
广东工业大学第18卷
,=,(0).推广,当r=+*时,级数(3)定义了一个二元整函数^(,,). 设数列(4)满足
=一*,=一(5)r^一mrr'*^一
n
又lira‰=lira厕lnla_~I=0(0<口<号)(6)
则有r,=r=r=0,级数(3)定义二元解析函数^(s,f)(r<0). 又令Mx(rcosO,r8In口)=sup{lfl(o+ir,+iv)i,r,口?Rt,
mI(rcosO,rsin0)=m"{?一e一"m一.),,m,?Ni.推广有如下定义与结论: 定义2在条件(5),(6)下,^(s,f)的.级性下级(0<0<詈)为 业
Ill
=
(r<.)ch一当
.(7)———?—,L<uJ?n1n当n…1时J—.一v,H 结论1在条件(5),(6)下,对级数(3),有
,
lnlnl?l
…
llm
+
ln_mi(?N.0cc号)(8)
当为*时,公式右边为1.而{一InIlt为{一Inl一lj的凸正规化序列. 结论2对级数(3),条件(5),(6)成立,且(7)式下极限为有限正数,J呀(一{)为^(s,,) 的线性准确下级(0<<号),满足(一_})=,limpa(一?)_}ll1(一_})=0(9) 则对^(s,,)o线性下级的下型
即:
InM(rc,u(一):(一一(10).
osO;rsinO)1)~ol
Tt-,rr
,一
,
有者=(即)(…?N)(11)?'I
设{()t(m,是整数)是概率空间(n,,/8,P)上独立,对称,同分布且有有限方差的随
机变量N序列.令n一()=一一()则有
定义3与级数(3)相对应,级数
^(s,,;叫):??口一瑚(叫)e_.一一(m,nC-N)(12) 称为下侧二重随机Dirichlet级数.
2定理及其证明
2.1收敛性
设级数(12)满足条件(4)与(5),推广[r6]得(12)的三对相关收敛横坐标的参数式 ,(0,),r(0,?),,(0,?)均满足
重
第3期尤秀英:下侧二重随机Dirichlet级数的收敛性与增长性盯 r)-lira
ro
COcO"
(13)
m而;_^一+一s山0
用[r()?r,]表示满足r,()?,的所有所成的集,推广_6_有如下引理及定理 引理1对级数(12),条件(4),(5)成立,则
(i)当一*<,一<+*的[,():r]:{"…rnlim[
【nlira[
()[r()=+*]=皿[I.一I<e一-一]
(洒)[r()=一*]=nlira[I口一I?e一m]
证明:当式(13)成立时,r=r.=r有精确的表达式,简记为 (15)
(16)
,,=}面(m,n?N,.口号)由上式得,Vs,.,当m,n充分大
时,有e一蝴n)(<In批I<e一-?一枷'一",从而
[r,(埘)?r]=[I口一脚I<e"一m?一一一)._,除去有限个m,n外,V>0],
[(埘)?r]=[I口一脚I?e?一m?一呻)('对无穷多个m,n,V,>0].即式(14)成立.
类似可证式(15)与式(16).
定理1在满足条件(4)及(5)的级数(12)中,如果I..()I(m,n?N)是独立的,且 分布函数为,一()(m,n?N),那么
1)当一?<r<+?时
rc=r,n.s.耋耋c?一F—ce舢一?{::::==ct
2)r,(叫):+?口.甘??[I一,一脚(e"一蝴+幽)]<+?,vc>0(18) 3)r,(?):一?口..???[1一,一(ee(,t_eaa0+asin0))]=+?,vc<0(19) 证明:1)我们有Vc<,时,
Plirn[In—mI<ec"一?一呻]=I—Plim[I4一mI?e"一一.幛一] 自式(14).P[m)-,『]-.mlI删J]-::
由Boml—Cantelli引理,式(17)成立,类似可证式(18)与式(19). 在定理1情形1)下,推广[0,,我们说级数(12)在双带形?x?(?s,At是当r<0时 r与玑昕满足的闭区域)上确定随机全纯(无奇点)函数^(s,,);在情形2)下,级数(12)在概
率空间(n,,P)上确定随机整函数^(,t,).
定理2在满足条件(4)及(5)的级数(12)中,如果In()I(m,?N)是独立的,有 相同的分布函数F(),并且F(+0)<1(指F()非退化)那么
)
4
(
]]
口口眦卧
^
++
耐耐
ll
?<
88广东工业大学第18卷
,(?)=0口.5.村lN(6In)dF(y)<+v6>0l ?
,(埘)=一??.5.甘1.N(占Iny)dF(y)=+?vb>0 这里?()表于小于的一=一的相同个数(?0).
证明:记u=—mcos0+一sin0,l=(cos0+sinS)r (2O)
(21)
由F(+0)<1,得?[1一S(e)]=+*,vc>0,因此由式(17)及式(19) ,():0口.5.糟?[1一S(e)]<+?,vc<0(笠)
,():一??.5.甘?[1一S(e")]=+?,vc<0(23) 不难看出Vc<0时
.
[1一:』[1一]d,liraf.r[1一F(e~t)]d)=I.l…''
lim1N()[I—F(e~1)]+IN(x)dF(e)j,vT>0(24)
从而,如果r?()dF(.):+,那么[1一F(.")]:+
如果f+?()dF(.")<+,那么r?()dF(.一)+0,当T++时.
而r+?()dF(..)??()r+dr(.):?[1一F(..)](25)J1J 故?()[I—F(e-)]一0(T一+*),由(24)及(25),
如果f+?()dF(.)<+,那么[1一F(.")]<+,根据式(22)及式(23),并在积 分号下作变量替换y=c1,即得式(20)及式(21)成立.
2.2增长性
设已给满足条件(4)及(5)的二重Dirichlet级数(12),其中I?一一()I(m,n?N)是独立 的.设级数(12)有相关收敛横坐标(m)=0a.s.,则有收敛区域r<0,这里ln一()l的分 布函数F一一()满足式(17)(一=0)
令Ml(rcosO,rsinO,m)=sup1l^(+iv,f+j)lr,?Rj(r<0) 由结论1得
定理3对级数(12),在条件(5),(6),(9)下有
一
lim
m..'.
由于In一(m)l(m,nC--N)是独立的,我们有()=阳(常数)n.s
推广[有
BI氇2对级数(12),条件(5),(6),(7)成立,则有 (26)
(押)
葶3期尤秀英:下侧二重随机级数韵收敛性与增长性89 rn堕[In一啪I<e一-?—nr]
(i)当0<<+?,[(珊):阳]:{?蒂
Lnlira[In一I?e.-"..'']
…,
(ii)[(甜)=0]=n_衄[In一瑚I<e一-哺一''] (iii)[(甜)=+?]=.…
lilt,
.
[In一啪I?e一一枷_^|?']
证明:由式(26)右边及等式(27),V,>0,当m.n充分大时有 InI一
?日+sin0}ps+l<kkI口.册I<kIA_ ~cosO+sin0I籍
故el~rS枷+呻市<In—
I<一.枷+一口l和
从而结论()成立,同理可证(i)与(iii). 定理4在满足条件(4)与(5)的级数(12)中,如果In一()I(m,n?N)是独立的,其
分布函数为F一()(m,n?N),并且一():0,那么 1)当0<<?时,
阳():..?宝[1一F一(...)]』'+Vc?''+?, 【=+*'vc?(0,鼎)
2)():0.营[1一F一(?..l)]<+,v?(0,1)
3)舶():+*.营[1一F一(e?.l)]:+,v?(0,1)
】】
证明:)V?(+?),由引理2结论(i)
P
.
[1n—mI<e一--n']:1一P+
lira[I口一I?e?_+-n']
营P:J0,v'p卫a+l'+一
c?(o,
由Borel—Cantelli引理,结论1)成立,类似可证2)与3). 推广[5】
定义4设对级数(12),条件(5),(b)成立,且式(7)下极限为有限正数,作连续,在每点 有左,右导数并且满足式(9)的函数阳(一{)(r<0),则(一1,)=阳(一{)称为 ^(s,l,)的日线性准确下级,而
广东工业大学第18卷
(r<0)
称为^(s,f,)的线性下级的下型,其中u(一{)=(一{)'一上). 由结论2得
定理5设对级数(12),条件(5),(6)成立,且式(7)下极限为有限正数,(一1,)为 ^(,,)的0线性准确下级并且满足式(9),NNfj(,,,)的下型即()有 一
liraACOSUslnu=
mi;?一—m+一
条件(28)是充分必要的.而1一lIll?()l1是{一InI?一()l1的凸正规化序列. 由于I?一()l(m,n?N)是独立的,则即()=珊是常数8_s_ 证明:取级数(12)的随机系数.一()=4一一()中,
{z一()1(?n=[o,1],m,n?N)是Rademaeher函数序列,是特殊的随机变量|?序列 ?
满足P[z—m(?)=1]=P[z一呻(?)=一1]=1,则lz—
m(珊)l=1.
从而10一()l-10一l0.5.,将上式及即()=珊代人公式(11),即得公式(28)成立. 定理5证毕.
参考文献:
[1]余家荣二重Di血岫级数与二重山?变换的收敛性[J].武汉大学(自科版),1962,(1):1-17.
[2]余家荣.渐近二重敞利克雷级数及其应用[J].高等学枝自然科学(数学,力学,天文版).1965,(1)
223-253.
[3]WklderDV.Anil吐lDb由ntoTRANSFORM11?DRY[M].Plbeb呲:Plbeb呲Urdvet~tyP蛔.1975:94-110.
[4]尤秀英.下侧二重随机璐级数的相关收敛性[J]电子科技大学.2001,30(1):95棚. [5]尤秀英.下僵I二重IapIa蹦幽嘴积分的.线性下级与准确下级[J].吉林大学自然科学,加0o,(1)
40-53.
[6]余家荣.狱里克莱级数与随机狄里克莱级数[M].北京:科学出版杜,1.131—164 府
?
黯
第3期尤秀英:下翻二重随机Di~chlet级数的收敛性与增长性91 TheConvergeneeandGrowthofLowerSideBitangem
RandomDirichletSeries
YOUXiu-ying
(.AppdM吡I旧n吐i伪,GDUT,GlmIg由帆l,51G090,O6na) Al~:Thispaperpm~CsthedefinitionofhihaeTalandlowersidebitan~mtDirichl~Series.Byi
nUo—
dIingar~domvariablesequence,lowersidebitan~mtrandomDirichletSeriesisalsodefined
onthe
p~ability~psce.TheIp口
establishestheconvergencedependentabscissa,themlatiomhipbetwe~the
linearlowerolderandtherandomeodtleimusoftheseries,andtheexistencethooi~noftheline
arloweror-
derandthelowertypeoftherandomfunetimadefinedbytheseries.Thepap盯alsoe】d目
ldBtheCot-
resp?dingresultaofone—complexvariableran如
mDirlchletSeriesandlowerhitm~ntLaplaee-Sfieltjes ~fonn.
Kwe~ds:lowersidebit~gentrand~~DirichletBedeB;mnd?
lanalyticfunction;abscissaofdependent boundconvergeace;distrlbutlo~funed~;0linearlowerorder;Olinearproximatelowerorder
;lowertypeof0
linearlowerorder
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[4]江和源,吕飞杰,部建样.高教液相色谱法测定大豆中异黄酮古量[J].食品科
学.2000,21(4):56
[5]罗宗铬.三元络合物及其在分析化学中的应用[M].北京:高等教育出版
社,1987.188.
[6]杨昆山配位化学[M].成都:四川大学出版社,1987.12.
StudyonDeterminationofDaidz~UsingSpectrophotometry LUYe-yu,LUOZoo-ruing,HUANGChi—ho,ZHANGYu-shan
(Fl蚰ofn?面gandLi出h5时,GDUT,Gll旺u,51(]090,China)
Alma.act:InpH6.5pIl?pll8tebl曲solution,daidzin(DN)~tctswithFe(?)一
BPRandAI(?)一BPRtO
formcolorcomplexes.Themmum?ofthec0mp】exesis550rim口580rimwiththemolar曲一
sorpfivityof5.88x1o3and3.71x103L?md一?cm-.respectively.InpH10.5NH3一
NabIrsolu—
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violet,methylvioletandedod?niJIeB.The??fWlDN1ti】1gwith~hylrhodmineBisn埘
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