向量的平行与垂直
一、基础知识回顾:
1.平行向量定义:①方向 或 的非零向量叫平行向量,向量、平行,记作∥;②规定:与任一向量 ; ③共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量.
2. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件:有且只有一个实数λ,使=λ.(等价于:存在两个不同为零的实数1、2,使得
3. 非零向量和的数量积的定义:·= (向量和的夹角为)
4. 非零向量和垂直的定义:如果两个非零向量和 ,则说和垂直,记作⊥
5.非零向量垂直的充要条件:符号语言:
坐标语言:设=(x1,y1), =(x2,y2),则
6. 向量共线的充要条件:符号语言:=λ(,)
坐标语言:设=(x1,y1), =(x2,y2),则
二、基础训练
1.与向量垂直的单位向量是_________ _____.
2.与向量平行的单位向量是_______ _______.
3.若
三点共线,则k=______________.
4.若 ( )
A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件
三、典型例
例1.已知向量,,且,求实数的值。
例2.已知 (1)求; (2)当为何实数时,与平行, 平行时它们是同向还是反向?. (3)当为何实数时,与垂直?.
例3.已知点及,试问:
(1)当为何值时,在轴上? 在轴上? 在第三象限?
(2)O、A、B、P四点能否构成平行四边形?若能,则求出的值.若不能,说明理由.
例4.已知平面上三个向量、、的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°,
(1)求证:⊥;(2)若,求的取值范围.
四、课后作业 班级 姓名
( )1.如果互相垂直,则实数x等于 A. B. C.或 D.或-2
( )2.三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线的充要条件是 A.x1y2-x2y1=0 B.x1y3-x3y1=0
C. D.
( )3.已知 A.2 B.-2 C.±2 D.±
( )4.非零向量、的位置关系是
A.平行 B.垂直 C.共线且同向 D.共线且反向
( )5.下列命题中正确的是
A.若 B.若
C.若 D.若
( )6.向量=(3,4)按向量a=(1,2)平移后为
A、(4,6) B、(2,2) C、(3,4) D、(3,8)
( )7.下面四个条件:
②
③
其中能使共线的是 A.①② B.①③ C.②④ D.③④
( )8. 在△ABC中,∠C=90°,则k的值是
A.1.5 B.-1.5 C.5 D. -5
9.已知
10.设,且有,则锐角 。
11.已知平行四边形ABCD的三个顶点为A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为__ ____.
12.给出下列命题:
(1)如果 (2)如果
(3)如果方向相反; (4)如果
(5)如果的夹角为钝角.
其中假命题是____________(将假命题的序号都填上)
13.已知在梯形ABCD中,
14.已知平面内三个点A(1,7),B(0,0),C(8,3),D为线段BC上一点,且
点坐标.
B组
( )1.已知,,若,则△ABC是直角三角形的概率是 A. B. C. D.
2.有两个向量,,今有动点,从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动,速度为;另一动点,从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动,速度为.设、在时刻秒时分别在、处,则当时, 秒.
( )3.已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(0,3),是P线段AB上且 =t (0≤t≤1)则· 的最大值为
A.3 B.6 C.9 D.12