2018年河北唐山理科高三一模数学试卷(详解)

/2018年河北唐⼭理科⾼三⼀模数学(详解)⼀、选择题（共12题，每题5分）1.A.B.C.D.【】【解析】()．D．故选．2.A.B.C.D.【答案】【解析】设集合．，则()．C解得，或；解得，，或；∴．故选．3.A.B.C.D.【答案】【解析】已知，且，则()．B由，得．故选．4.A.B.C.D.两个单位向量，的夹⻆为，则()．/【答案】【解析】D根据题意，向量，为单位向量，则，⼜由向量，的夹⻆为，则，则，则．故选．5.A.B.C.D.【答案】【解析】⽤两个，⼀个，⼀个，可组成不同四位数的个数是()．D根据题意，分步进⾏分析：①不能放在千位，可以放在百位、⼗位和个位，有种情况，②在剩下的个数位中任选个，安排，有种情况，③最后个数位安排个，有种情况，则可组成个不同四位数，故选．6.A.B.C.D.【答案】【解析】已知，，，则()．D在上单调递增∵∴⼜．∴∴．故选．/7.开始输⼊是否输出结束A.求B.求C.求D.求【答案】【解析】如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是()．C模拟程序的运⾏，可得，，，满⾜条件，执⾏循环体，，，，满⾜条件，执⾏循环体，，，，满⾜条件，执⾏循环体，，，，观察规律可得：当时，满⾜条件，执⾏循环体，，，，此时，不满⾜条件，退出循环，输出的值为．故选．8.A.向左平移个单位⻓度B.向右平移个单位⻓度C.向右平移个单位⻓度D.向左平移个单位⻓度【答案】【解析】为了得到函数的图象，可以将函数的图象()．A/，即可以将函数的图象向左平移个单位⻓度，即可得到函数的图象，故选．9.A.B.C.D.【答案】【解析】某⼏何体的三视图如图所示，则该⼏何体的⾯积是()．正视图侧视图俯视图A由三视图还原原⼏何体如图：原⼏何体是多⾯体，底⾯为边⻓是的正⽅形，侧⾯底⾯，⾼为，侧⾯与为全等的直⻆梯形，侧⾯为等腰三⻆形．则其表⾯积．故选．10.A.B.C.D.【答案】⽅法⼀：【解析】已知为双曲线(，)的右焦点．过点向的⼀条渐近线引垂线．垂⾜为．交另⼀条渐近线于点．若，则的离⼼率是()．B过向另⼀条渐近线引垂线．垂⾜为，/⽅法⼆：⽅法三：双曲线的渐近线⽅程为，则到渐近线的距离，即，则，，由为等腰三⻆形，则为的中点，∴，．∴，整理得：，解得：，由，则，．故选．过向另⼀条渐近线引垂线．垂⾜为，双曲线的渐近线⽅程为，则到渐近线的距离，即，则，由为等腰三⻆形，则为的中点，∴，由，，由余弦定理可知：，∴，整理得：，解得：，由，则，．故选．过向另⼀条渐近线引垂线．垂⾜为，双曲线的渐近线⽅程为，则到渐近线的距离，即，则，由为等腰三⻆形，则为的中点，∴，根据三⻆形的⾯积相等，则，∴在中，，即，由，则，/⽅法四：故选．双曲线的⼀条渐近线⽅程为，直线的⽅程为：，，解得：，则，，解得：，则，由为等腰三⻆形，则为的中点，则，整理得：，∴．故选．11.A.的图象关于轴对称B.，的最⼩值为C.有个零点D.有⽆数个极值点【答案】A选项：B选项：C选项：D选项：【解析】已知函数，则下列关于的表述正确的是()．D，故错误；问题转化为有解，即有解，，当时，，故⽅程⽆解，故错误；问题等价于有个解，⽽⽅程只有个解，故错误；，结合题意有⽆数解，即有⽆穷解，⽽．故选D./12.A.B.C.D.【答案】【解析】已知，，，是半径为的球⾯上的点，，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最⼤值是()．B如图：由题意，，，可知在平⾯上的射影为的外⼼，即中点，则球的球⼼在的延⻓线上，设，则，∴，即，解得．则，过作于，设，则，再设，由，可得，∴，则，令，则，由，可得，∴当时，，∴⾯积的最⼤值为，则三棱锥体积的最⼤值是．故选．⼆、填空题（共4题，每题5分）13.【答案】【解析】设，满⾜约束条件，则的最⼩值是            ．/画出不等式组表示的平⾯区域，如图所示：由图形知，当⽬标函数过点时，取得最⼩值；由，求得；∴的最⼩值是．故答案为：．14.【答案】【解析】的展开式中，⼆项式系数最⼤的项的系数是            ．的展开式中，⼆项式系数最⼤的项是，，其系数为．故答案为：．15.【答案】【解析】已知为抛物线上异于原点的点．轴，垂⾜为，过的中点作轴的平⾏线交抛物线于点，直线交轴于点．则            .如图：设，则，中点．，/∴直线的⽅程为：，令，可得，∴．故答案为：．16.【答案】【解析】在中，⻆，，的对边分别为，，，边上的⾼为，若，则的取值范围是            ．如图：，∵，；∴，；∴；⼜；∴；∵；∴；∴；∴的取值范围是．三、解答题（共5题，共60分）17.（1）已知数列为单调递增数列，为其前项和，．求的通项公式．/（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】若，为数列的前项和，证明：．．证明⻅解析．当时，，所以，即，⼜为单调递增数列，所以．由得，所以，整理得，所以．所以，即，所以是以为⾸项，为公差的等差数列，所以．，所以．18.⽇需求量公⽄频率组距（1）12（2）某⽔产品经销商销售某种鲜⻥，售价为每公⽄元，成本为每公⽄元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公⽄损失元．根据以往的销售情况，按，，，，进⾏分组，得到如图所示的频率分布直⽅图．求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜⻥的⽇销售量不低于公⽄，⽽另⼀天⽇销售量低于公⽄的概率．在频率分布直⽅图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值．求⽇需求量的分布列．/（1）12（2）【答案】（1）12（2）【解析】该经销商每⽇进货公⽄或公⽄，以每⽇利润的数学期望值为决策依据，他应该选择每⽇进货公⽄还是公⽄？．的分布列为：该经销商应该选择每⽇进货公⽄．由频率分布直⽅图可知，⽇销售量不低于公⽄的概率为，则未来连续三天内，有连续两天的⽇销售量不低于公⽄，⽽另⼀天⽇销售量低于公⽄的概率．可取，，，，，；；；；；所以的分布列为：当每⽇进货公⽄时，利润可取，，，此时的分布列为：此时利润的期望值；当每⽇进货公⽄时，利润可取，，，，此时的分布列为：此时利润的期望值/；因为，所以该经销商应该选择每⽇进货公⽄．19.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】如图，在三棱柱中，平⾯平⾯，．证明：．若是正三⻆形，，求⼆⾯⻆的⼤⼩．证明⻅解析．⼆⾯⻆的⼤⼩为．过点作的垂线，垂⾜为，由平⾯平⾯，平⾯平⾯，得平⾯，⼜平⾯，得．由，，得．⼜，得平⾯．⼜平⾯，得．以为坐标原点，的⽅向为轴正⽅向，为单位⻓，建⽴空间直⻆坐标系:由已知可得，，．所以，，．/设是平⾯的法向量，则，即，可取．设是平⾯的法向量，则，即，可取．则．⼜因为⼆⾯⻆为锐⼆⾯⻆，所以⼆⾯⻆的⼤⼩为．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知椭圆的左焦点为，上顶点为，⻓轴⻓为，为直线上的动点，，．当时，与重合．若椭圆的⽅程．若直线交椭圆于，两点，若，求的值．椭圆的⽅程为．．依题意得，，当时，，由，得，⼜．解得，．∴椭圆的⽅程为．由()得，依题意，显然，∴，⼜，∴，则直线的⽅程为，设，．联⽴，得，，．/，，由得，，∴，解得．21.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知函数，．设，求的最⼩值．证明：当时，总存在两条直线与曲线与都相切．最⼩值．证明⻅解析．，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故时，取得最⼩值．∵，∴在点处的切线为：；∵，∴在点处的切线为：，由题意可得，则．令，则，由()得时，单调递减，且；当时，单调递增，⼜，时，，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增．/由()得，⼜，，∴函数在和内各有⼀个零点，故当时，存在两条直线与曲线与都相切．四、选做题五、解答题：共2题，选做⼀题计10分22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】在直⻆坐标系中，圆，圆．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系．求，的极坐标⽅程．设曲线(为参数且)，与圆，分别交于，，求的最⼤值．的极坐标⽅程为：；的极坐标⽅程．取得最⼤值．∵圆，∴，由，，可得：，∴的极坐标⽅程为：；∵圆．∴，∴的极坐标⽅程．依题意得，，到直线的距离，∴，故当时，取得最⼤值．23.（1）设函数的最⼤值为．求的值．/（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】若正实数，满⾜，求的最⼩值．．的最⼩值为．，∴的最⼤值为，∴．由()可知，，∴(或运⽤柯⻄不等式，当且仅当时取等号)；当且仅当时取等号；即的最⼩值为．