机器人学_机器人雅可比矩阵

4.1.1  雅可比矩阵两空间之间速度的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比，同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。vxvy存在怎样的关系第四章机器人雅可比4.1  微分变换与雅可比矩阵首先来看一个两自由度的平面机械手，如图3-17所示。图3-17两自由度平面机械手容易求得将其微分得写成矩阵形式假设关节速度为，手爪速度为。简写成： dx=Jdθ。　　式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x，y的偏微分组成，反映了关节微小位移dθ与手部（手爪）微小运动dx之间的关系。对dx=Jdθ两边同除以dt，得可以更一般的写成。因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的线性变换。（或v）称为手爪在操作空间中的广义速度，简称操作速度，为关节速度。J若是6×n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为：式中，x代表操作空间，q代表关节空间。若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以单位速度运动产生的端点速度。　　由，可以看出，J阵的值随手爪位置的不同而不同，即θ1和θ2的改变会导致J的变化。对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比矩阵的行列式为：det(J)=l1l2s2当θ2=0°或θ2=180°时，机械手的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1，因此处于奇异状态。在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即可求出，即。上例平面2R机械手的逆雅可比于是得到与末端速度相应的关节速度：显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的关节速度将趋于无穷大。4.1.2微分变换为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人杆件在作微小运动时的位姿变化。一.变换的微分     假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变量的微分。若它的元素是变量x的函数，则变换T的微分为:例如给定变换T为：二.微分运动所以得     设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对于基坐标系（静系）进行的(左乘)，总可以用微小的平移和旋转来表示，即根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系i（动系）进行的(右乘)，则T+dT可以表示为则相对基系有dT=Δ0T，相对i系有dT=TΔi。这里Δ的下标不同是由于微运动相对不同坐标系进行的。所以得令为微分算子三.微分平移和微分旋转由于微分旋转θ→0，所以sinθ→dθ，cosθ→1，Versθ→0，将它们代入旋转变换通式(p27)中得微分旋转表达式:微分平移变换与一般平移变换一样，其变换矩阵为:于是得微分算子Δ四.微分旋转的无序性当θ→0时，有sinθ→dθ，cosθ→1．若令δx=dθx，δy=dθy，δz=dθz，则绕三个坐标轴(p16)的微分旋转矩阵分别为略去高阶无穷小量两者结果相同，可见这里左乘与右乘等效。同理可得结论：微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋转）的一个重要区别。若Rot（δx，δy，δz）和Rot（δx‘，δy’，δz‘）表示两个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：上式表明：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代数和，即微分旋转是可加的。kxdθ=δx，   kydθ=δy ，     kzdθ=δz所以有由等效转轴和等效转角与等效，有即将它们代入Δ得因此Δ可以看成由和两个矢量组成，叫微分转动矢量，叫微分平移矢量。分别表示为和合称为微分运动矢量，可表示为解：例：已知一个坐标系A，相对固定系的微分平移矢量，微分旋转矢量，求微分变换dA。五.两坐标系之间的微分关系因为将它们代入前面的方程　　现在讨论i系和j系之间的微分关系。不失一般性，假定j系就是固定系（基系）0系。整理得到：得其中上式简写成对于任何三维矢量，其反对称矩阵定义为：相应地，任意两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换为：例：知坐标系A及相对于固定系的微分平移矢量，微分旋转矢量，求A系中等价的微分平移矢量dA和微分旋转矢量δA。解：因为已知，可以根据前面的公式求得dA和δA。也可根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即求得，代入4.2  机器人的静力学机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力和力矩，统称为末端广义（操作）力矢量。记为n个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量称为关节力矢量y0x0存在怎样的关系利用虚功原理，令各关节的虚位移为δqi，末端执行器相应的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端执行器所作的虚功应该相等，即简写为:又因为,所以得到与之间的关系式中称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。若J是关节空间向操作空间的映射（微分运动矢量），则把操作空间的广义力矢量映射到关节空间的关节力矢量。关节空间操作空间雅可比J力雅可比JT若已知则有{T}{0}{0}{T}{B}{A}{A}{B}JTJ根据前面导出的两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换关系，可以导出{A}和{B}之间广义操作力的坐标变换关系。解：由前面的推导知例:如图3-18所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪作用于外界环境的力为，若关节无摩擦力存在，求力的等效关节力矩。所以得：图3-18关节力和操作力关系y0x0例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（{Os}）装有力/力矩传感器，若已测出传感器上的力和力矩，求这时作用在螺钉上的力和力矩。()解：根据图示的相应位姿关系得因此可得两坐标系的微分运动关系和静力传递关系为：{S}{T}{S}{T}微分运动关系时：静力传递关系时：4.3.1    Lagrange动力学对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能K与总的势能P之差，即L=K-P。这里，L是拉格朗日算子；k是动能；P是势能。或利用Lagrange函数L，系统的动力学方程（称为第二类Lagrange方程）为：　表示动能，　表示势能。4.3  机器人的动力学例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）：解：连杆1，2的动能分别为：机械手总的动能为连杆1，2的势能分别为机械手总的位能（势能）为计算各偏导数将以上结果代入Lagrange方程得附：就前面的1自由度机械手用Lagrange法求解如下：总势能为代入Lagrange方程得，与前面的结果一致。这里I=IZ=IC+mL2C解：总动能           （θ为广义坐标）zmg１.若1自由度机械手为匀质连杆，质量为m，长度为L，结果会怎样？２.若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量m在连杆末端L处，结果会怎样？zClassisover.Bye-bye!