直线的方向向量与直线的向量方程

3.23.2.1直线的方向向量与直线的向量方程理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二第三章空间向量与立体几何考点三一知识点二考点四知识点三3．2.1　直线的方向向量与直线的向量方程问题1：当t确定时，点P的位置是否被确定？提示：确定．提示：过点A且平行于向量a的一条直线．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量＝ta①，这时点P的位置被t的值完全确定．当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A且平行于的一条直线l，反之，在l上任取一点P，一定存在一个实数t，使，则向量方程①通常称作直线l以的参数方程．称为该直线的方向向量．向量at为参数向量a若直线l1的方向向量为v1，直线l2的方向向量为v2，且v1∥α，v2∥α.问题1：若v1∥v2，则l1与l2有什么关系？提示：平行或重合．问题2：若直线l的方向向量v与v1，v2共面，且v1、v2不共线，则直线l与平面α平行吗？提示：不一定，l可能在α内．问题3：若平面β∥α，则v1，v2与β什么关系？提示：v1∥β，v2∥β.v1∥v2v1∥β且v2∥βv＝xv1＋yv2问题1：两条直线垂直，对应的方向向量垂直吗？提示：垂直．问题2：两条直线所成的角θ与两直线的方向向量的夹角α之间有什么关系？提示：相等或互补．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设直线l1和l2所成的角为θ，方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔，cosθ＝．v1⊥v2|cos〈v1，v2〉|1．直线的方向向量不是唯一的，可以分为同向和反向两类．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．2．若直线l1，l2的方向向量平行，则包括l1与l2平行和l1与l2重合两种情况．3．求异面直线所成的角时要注意范围．[一点通]　此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可．1．已知O为坐标原点，四面体OABC中，A(0，3，5)，B(1，2，0)，C(0，5，0)，直线AD∥BC，并且AD交坐标平面xOz于点D，求点D的坐标．[例2]　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.[思路点拨]　利用直线的方向向量以及线面平行，面面平行的条件证明．[一点通]　(1)证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行．(2)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内．(3)利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行．3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P、Q、R、S分别是AA1、D1C1、AB、CC1的中点．证明：PQ∥RS.5.如右图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB1C.[例3]　在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.[思路点拨][一点通]　利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量．6．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AC的中点，证明：(1)BD1⊥AC，(2)BD1⊥EB1.[思路点拨]　先建立空间直角坐标系，求出A1C与AD1的方向向量．再求出方向向量的夹角的余弦值，最后转化为异面直线A1C与AD1所成的角．[精解详析]　建立如图所示的空间直角坐标系，[一点通]　利用向量求异面直线所成角的步骤为：(1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．8．已知正四棱锥P－ABCD底面边长为a，高PO的长也为a，E，F分别是PD，PA的中点，求异面直线AE与BF所成角的余弦值．解：如下图，以O为原点，过O点平行于AB、BC的直线为x轴、y轴，PO为z轴建立空间直角坐标系．由已知得点击下图进入“应用创新演练”