庄楚强 应用数理统计二

应用数理统计 第二章 数理统计基本概念 1、设 为0—1分布的一个样本，问：（1）求样本均值 的期望与方差；（2）求修正样本方差 的期望；（3）试证 。 解：由于 ，所以 ， （1） （2） （3）由于 ，所以 ，故 ，得证。 2、设总体 ， 为其样本，问：（1）求样本方差 的分布密度；（2）求样本标准差 的分布密度。 解：（1）由于 ，所以根据定理， ，而 的分布密度为： ，所以样本方差 的分布密度为： 同理，样本标准差 的分布密度为： 3、设 ，而 ，求 的分布密度。 解：由于 ，所以 的分布密度为： 根据意， ，所以 ，且 ，所以 ，所以 的分布密度为： 整理得： 4、某半导体厂生产的某种零件厚度 ，为保证质量，规定当 时，认为生产过程处于良好控制状态。为此，每隔一定时间抽一个零件测量它的厚度，共抽取20个零件作为一个样本，并计算样本方差 。若 （此时用 ），则认为生产过程失去控制，必须停产检查，问：（1） 为何值时， 的概率才小于或等于0.01？（2）若取得的一个样本的标准差 ，生产过程是否处于良好的控制状态？ 解：（1）由定理可知： ，即 ，所确定的失去良好控制的标准 ，即 。 由 分布，查得 ，故 ，即 。 （2）根据题意，得： ，所以 ，解得： ，因此生产过程处于失控的状态。 5、设总体 的密度函数为 ，取出容量为4的样本 ，求：（1）顺序统计量 的密度函数 ；（2） 的分布函数 ；（3） 。 解：根据题意，总体 的分布函数为 ，当 时，顺序统计量 的密度函数 ，即： ，所以 的分布函数 。 。 第三章 参数估计 1、设总体 的密度函数为 ， 为其样本，求参数 的矩估计量 与极大似然估计量 ，现得到样本值为0.1，0.2，0.9，0.8、0.7、0.7，求参数 的估计值。 解：（1）根据题意， 。解得， ，所以参数 的矩估计量 ，代入样本均值 ，得： 。 （2）根据题意，似然函数 ，取对数得： 。 令 ，解得： ，所以参数 的极大似然估计量 ，代入样本值，计算得： 。 2、已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位：小时）为：1067、919、1196、785、1126、936、918、1156、920、948，设总体参数均为未知，试用极大似然估计法估计这星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率。 解：由于 ，所以其似然函数 ，取对数得： 令 ，解得： 根据定理，由于 ，所以 ，故所求概率为： ，计算得 ， ，代入上式中计算得： 3、设 是总体 的一个样本，试选择合适的常数 ，使 为 的无偏估计量。 解：由于 ， ，且彼此相互独立，故 ，于是 ，从而 ， ，所以 ，解得： 。 4、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为：2.14、2.10、2.13、2.15、2.13、2.12、2.13、2.10、2.15、2.12、2.14、2.10、2.13、2.11、2.14、2.11，设钉长分布为正态的，试求总体均值 的90%置信区间：当（1）若已知 ；（2）若 为未知。 解：（1）根据题意， 当 为已知时，总体均值 的置信水平为 的置信区间为： 其中， ， ，查表得 ， ，代入上式中得： ，即：总体均值 的90%置信区间为 。 （2）根据题意， 当 为已知时，总体均值 的置信水平为 的置信区间为： 其中， ， ，查表得 ， ， ，代入上式中得： ，即：总体均值 的90%置信区间为 。 5、随机地从A批导线中抽取4根，B批导线中抽取5根，测得其电阻（ ）为，A批导线：0.143、0.142、0.143、0.137；B批导线：0.140、0.142、0.136、0.138、0.140，设测试数据分别服从正态分布 和 ，并且相互独立，又 均为未知，试求 的95%的置信区间。 解：根据题意， 的置信水平为 的置信区间为： 其中， ， ， ，查表得 ， ， ， ， ，所以 ，代入上式中得： ，即： 的95%的置信区间为 。 6、某自动机床加工同类型套筒，假设套筒的直径服从正态分布，现在从两个不同班次的产品中各抽验了5个套筒，测定它们的直径，得如下数据，A班：2.066、2.063、2.068、2.060、2.067；B班：2.058、2.057、2.063、2.059、2.060，试求两班次所加工的套筒直径的方差之比 的90%的置信区间。 解：根据题意， 的置信水平为 的置信区间为： 其中， ， ，查表得 ， ， ， ，代入上式中得： ，即：两班次所加工的套筒直径的方差之比 的90%的置信区间为 。 第四章 假设检验 1、两位化验员A、B对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一种方法做了5次分析，得到修正样本方差分别为0.4322和0.5006，若A、B测定值的总体都服从正态分布，其方差分别为 、 ，试在显著性水平0.05下检验方差齐性，假设 。 解：根据题意，在显著性水平 下，检验方差齐性，即检验 的拒绝域为： 其中， ， ，查表得 ， ， 。 因为 ，所以接受 ，即认为在显著性水平0.05下方差具有齐性。 2、甲、乙两台机床生产同一型号的滚珠，由过去的经验知道，滚珠的直径服从正态分布，其期望值等于设计值。现从这两台机床的产品中抽取8个和9个，测得滚珠的直径如下，甲机床：15、14.5、15.2、15.5、14.8、15.1、15.2、14.8；乙机床：15.2、15、14.8、15.2、15、15、14.8、15.1、14.8，问：乙机床的加工精度是否比甲机床的高？（ ） 解：根据题意，在显著性水平 下，检验 ， 的拒绝域为： 其中 ， ， ，查表得 ， ， ， 。 因为 ，所以接受 ，即认为在显著性水平0.05下，乙机床的加工精度比甲机床的高。 3、从总体 中抽取容量为80的样本，频数分布如下表，试问在显著性水平 下，总体 的分布密度 是否可信。 区间 频数 6 18 20 36           解：根据题意，在显著性水平 下，检验 总体 的分布函数为 ， 的拒绝域为： 其中 ， ， ，查表得 ， 的值列表计算于下表， 区间 实际频数 理论概率 理论频数 6 5 1 0.2 18 15 3 0.6 20 25 -5 1 36 35 1 0.029   1 80   1.829             因为 ，所以接受 ，即认为在显著性水平0.025下，总体 的分布函数为 可信，即总体 的分布密度 可信。 4、下表为某种药治疗感冒效果的 列表，试问疗效与年龄是否无关？（ ） 年龄 疗效 儿童 成年 老年 显著 58 38 32 128 一般 28 44 45 117 较差 23 18 14 55 109 100 91 300           解：根据题意，在显著性水平 下，检验 该种感冒药的疗效与年龄相互独立， 的拒绝域为： 其中 ， ，查表得 ， 。 因为 ，所以拒绝 ，即认为在显著性水平0.05下，该种感冒药的疗效与年龄有关。 5、甲、乙两个车间生产同一种产品，要比较这种产品的某项指标的波动情况，从这两个车间连续13天取得反映波动大小的数据如下，甲车间：1,13、1.26、1.16、1.41、0.86、1.39、1.21、1.22、1.20、0.62、1.18、1.34、1.57；乙车间：1.21、1.31、0.99、1.59、1.41、1.48、1.31、1.12、1.60、1.38、1.60、1.84、1.95。在 下，用符号检验法检验假设“这两个车间所生产的产品的该项指标的波动性情况的分布重合”。 解：根据题意，在显著性水平 下，检验 这两个车间所生产的产品的该项指标的波动性情况的分布重合， 的拒绝域为： 其中， ，查表得 ， 的值列表计算如下表： 甲车间 1.13 1.26 1.16 1.41 0.86 1.39 1.21 1.22 1.20 0.62 1.18 1.34 1.57 乙车间 1.21 1.31 0.99 1.59 1.41 1.48 1.31 1.12 1.60 1.38 1.60 1.84 1.95 符号 - - + - - - - + - - - - -                             因为 ，所以拒绝 ，即认为在显著性水平0.05下，这两个车间所生产的产品的该项指标的波动性情况的分布不重合。 6、容量 ， 的样品，描述两个班的劳动生产率如下，第一班：28、33、39、40、41、42、45、46、47；第二班：34、40、41、42、43、44、46、48、49、52，在显著性水平 下，两个班的劳动生产率是否相同？ 解：根据题意，在显著性水平 下，检验 两个班的劳动生产率相同， 的拒绝域为： 其中， ， ， ，查表得 ， 的值列表计算如下表： 秩 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第一班 28 33   39 40 41 42     45 46 47       第二班     34   40 41 42 43 44   46   48 49 52 计算 因为 ，所以                                 因为 ，所以拒绝 ，即认为在显著性水平0.05下，两个班的劳动生产率不相同，存在显著性差异。 第五章 回归分析 1、合成纤维的强度 与其拉伸倍数 有关，测得实验数据如下，问：（1）求 对 的回归 xi 2.0 2.5 2.7 3.5 4.0 4.5 5.2 6.3 7.1 8.0 9.0 10.0 yi 1.3 2.5 2.5 2.7 3.5 4.2 5.0 6.4 6.3 7.0 8.0 8.1                           直线；（2）检验回归直线的显著性（ ）；（3）求 时， 的预测值及预测区间（置信度为0.95）。 解：经计算得， ， ， ， ， ， ， （1） 于是得： ， ，从而得到 对 的回归直线为： 。 （2）在显著性水平 下，检验 的拒绝域为： 其中， ， ，查表得 ，回归平方和 ，残差平方和 ， 。 因为 ，所以拒绝 ，即认为在显著性水平0.05下，直线的回归性显著。 （3） 时， 的回归值为 ，计算预测半径，得： ，所以 的预测区间为 ，即 的预测区间为 。 2、某公司在15个地区的某种商品的销售额 和各地区的人口数 以及平均每户总收入数 的统计资料如下表，求：（1） 对 、 的回归平面方程；（2）对所得的回归方程进行 xi1 274 180 375 205 86 265 98 330 195 53 430 372 236 157 370 xi2 2450 3254 3802 2838 2347 3782 3008 2450 2137 2560 4020 4427 2660 2088 2605 yi 162 120 223 131 67 169 81 192 116 55 252 232 144 103 212                                 显著性检验（ ）；（3）对 、 的显著性进行检验（ ）。 解：经计算得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （1） 采用Matlab软件计算矩阵 的逆矩阵 ，得： ，于是得 ， ，从而得到 对 、 的回归平面方程为 。 （2）在显著性水平 下，检验 的拒绝域为： 其中， ， ， ，查表得 ，回归平方和 ，残差平方和 ， 。 因为 ，所以拒绝 ，即认为在显著性水平0.05下，回归平面方程的回归性显著。 （3）在显著性水平 下，检验 的拒绝域为： 其中， ， ， ，查表得 ， ，所以 ， 。 因为 ， ，所以拒绝 ，即认为在显著性水平0.05下，各地区的人口数 以及平均每户总收入数 对某种商品的销售额 的线性影响都是显著的。 3、某矿脉中13个相邻样本点处某种金属的含量 与样本点对原点的距离 有如下实测值：