人教版八年级上数学整式的乘除与因式分解、分式基本知识点

.整式的乘除与因式分解基本知识点一、整式的乘除：1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.例如：；；2、同底数幂的乘法法则：am·an=am+n(m，n是正整数).同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例如：；3、幂的乘方法则：(am)n=amn(m，n是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘.例如：；；4、积的乘方的法则：(ab)m=ambm(m是正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.例如：；；5、同底数幂的除法法则：am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n).同底数幂相除，底数不变，指数相减.规定：例如：；；6、单项式乘法法则7、单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.8、单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.；11、整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.例如：（4a－1）（4a+1）=___________；（3a－2b）（2b+3a）=___________；=；；12、整式乘法的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.例如：；；二、因式分解：1、提公因式法：4x2+12x3+4x2、公式法.：（1）、平方差公式：（2）、完全平方公式：3、分组分解法：ab－c＋b－aca2－2ab＋b2－c24、“十字相乘法”：即式子x2+(p+q)x+pq的因式分解.x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x2＋7x＋6（2）、x2－5x－6（3）、x2－5x＋6整式的乘法[同底数幂的乘法]am·an=am+n（m、n都是正整数）[幂的乘方](am)n＝amn(m，n都是正整数)[积的乘方](ab)n＝anbn(n是正整数)[单项式乘以单项式]单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．[单项式乘以多项式]单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．[多项式乘以多项式]多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．平方差公式[平方差公式](a＋b)(a－b)＝a2－b2公式的结构特征：⑴左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数.⑵右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反数的项的平方差（同号项2－异号项2）.公式的应用：⑴公式中的字母，可以示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用此公式进行计算.⑵公式中的是不可颠倒的，注意是同号项的平方减去异号项的平方，还要注意字母的系数和指数.⑶为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数.如：(a+b)(a-b)=a2－b2↓↓↓↓↓↓计算：(1+2x)(1-2x)=(1)2－(2x)2=1-4x2完全平方公式[完全平方公式](a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们的积的2倍.公式特征：左边是一个二项式的平方，右边是一个三项式（首平方，尾平方，二倍乘积在中央）．公式变形：(a+b)2=(a-b)2+4aba2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4aba2+b2=(a-b)2+2ab(a+b)2-(a-b)2=4ab[公式的推广](a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac整式的除法[同底数幂的除法]am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．a0=1(a≠0)任何非零数的零次幂是1.[单项式除以单项式]单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．[多项式除以单项式]多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．因式分解[因式分解]把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）.[提公因式法]ac＋bc=（a＋b）c[公式法]a2－b2＝(a＋b)(a－b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2[十字相乘法]x2＋（p＋q）x＋pq=（x＋p）（x＋q）巩固一、训练平台1.下列各式中，计算正确的是()A.27×27=28B.25×22=210C.26+26=27D.26+26=2122.当x=时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于()A.-B.-18C.18D.3.已知x-y=3，x-z=，则(y-z)2+5(y-z)+的值等于()A.B.C.-D.04.设n为正整数，若a2n=5，则2a6n-4的值为()A.26B.246C.242D.不能确定5.(a+b)(a-2b)=.6.(2a+0.5b)2=.7.(a+4b)(m+n)=.8.计算.(1)(2a-b2)(b2+2a)=；(2)(5a-b)(-5a+b)=.9.分解因式.(1)1-4m+4m2；(2)7x3-7x.10.先化简，再求值.[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x，其中x=3，y=-1.5.二、探究平台1.分解因式(a-b)(a2-ab+b2)-ab(b-a)为()A.(a-b)(a2+b2)B.(a-b)2(a+b)C.(a-b)3D.-(a-b)32.下列计算正确的是()A.a8÷a2=a4(a≠0)B.a3÷a4=a(a≠0)C.a9÷a6=a3(a≠0)D.(a2b)3=a6b3.下列各是在有理数范围内分解因式，结果正确的是()A.x4-0.1=(x2+0.1)(x2-0.1)B.-x2-16=(-x+4)(-x-4)C.2xn+x3n=xn(2+x3)D.-x2=(1+2x)(1-2x)4.分解因式：-a2+4ab-4b2=.5.如果x2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m的值是.6.(3x3+3x)÷(x2+1)=.7.1.22222×9-1.33332×4=.8.计算.(1)；(2).9.分解因式.(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)；(2)x4-81x2y2.10.+x(1+)，其中x=-1.三、交流平台1.一条水渠其横断面为梯形，如图15－23所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a=2，b=0.8时的面积.2.已知多项式x3+kx+6有一个因式x+3，当k为何值时，能分解成三个一次因式的积？并将它分解.3.如果x+y=0，试求x3+x2y+xy2+y3的值.4.试说明无论m，n为任何有理数，多项式4m2+12m+25+9n2-24n的值为非负数.第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】　　1．转化思想　　转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．　　2．建模思想　　本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．　　3．类比法　　本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:2.异分母加减法则:;3.分式的乘法与除法:,4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●an=am+n;am÷an=am－n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=ambn,(am)n=amn7.负指数幂:a-p=a0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：，是分式的有：.题型二：考查分式有意义的条件【例2】当有何值时，下列分式有意义（1）（2）（3）（4）（5）题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当取何值时，下列分式的值为0.（1）（2）（3）题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当为何值时，分式为正；（2）当为何值时，分式为负；（3）当为何值时，分式为非负数.练习：1．当取何值时，下列分式有意义：（1）（2）（3）2．当为何值时，下列分式的值为零：（1）（2）3．解下列不等式（1）（2）（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：2．分式的变号法则：题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）（2）题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）（2）（3）题型三：化简求值题【例3】已知：，求的值.提示：整体代入，①，②转化出.【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）（2）2．已知：，求的值.3．已知：，求的值.4．若，求的值.5．如果，试化简EMBEDEquation.3.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.（1）；（2）；（3）；（4）题型二：约分【例2】约分：（1）；（3）；（3）.题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：，求分子的值；（2）已知：，求的值；（3）已知：，试求的值.题型五：求待定字母的值【例5】若，试求的值.练习：1．计算（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.2．先化简后求值（1），其中满足.（2）已知，求的值.3．已知：，试求、的值.4．当为何整数时，代数式的值是整数，并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）（2）（3）（4）题型二：化简求值题【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）；（2）.练习：1．计算：（1）（2）（3）（4）2．已知，求（1），（2）的值.第二讲分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）；（2）；（3）；（4）提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）；（2）提示：（1）换元法，设；（2）裂项法，.【例3】解下列方程组题型三：求待定字母的值【例4】若关于的分式方程有增根，求的值.【例5】若分式方程的解是正数，求的取值范围.提示：且，且.题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于的方程提示：（1）是已知数；（2）.题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）（5）（6）（7）2．解关于的方程：（1）EMBEDEquation.3；（2）.3．如果解关于的方程会产生增根，求的值.4．当为何值时，关于的方程的解为非负数.5．已知关于的分式方程无解，试求的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：二、化归法例2．解方程：三、左边通分法例3：解方程：四、分子对等法例4．解方程：五、观察比较法例5．解方程：六、分离常数法例6．解方程：七、分组通分法例7．解方程：（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程无解，求的值。例2．若关于的方程不会产生增根，求的值。例3．若关于分式方程有增根，求的值。例4．若关于的方程有增根，求的值。——版权所有，侵权必究。优质文档，尽在Baidu文库——3.._1234567953.unknown_1234568017.unknown_1234568049.unknown_1234568081.unknown_1234568097.unknown_1234568113.unknown_1234568121.unknown_1234568125.unknown_1234568129.unknown_1234568131.unknown_1234568133.unknown_1234568134.unknown_1234568132.unknown_1234568130.unknown_1234568127.unknown_1234568128.unknown_1234568126.unknown_1234568123.unknown_1234568124.unknown_1234568122.unknown_1234568117.unknown_1234568119.unknown_1234568120.unknown_1234568118.unknown_1234568115.unknown_1234568116.unknown_1234568114.unknown_1234568105.unknown_1234568109.unknown_1234568111.unknown_1234568112.unknown_1234568110.unknown_1234568107.unknown_1234568108.unknown_1234568106.unknown_1234568101.unknown_1234568103.unknown_1234568104.unknown_1234568102.unknown_1234568099.unknown_1234568100.unknown_1234568098.unknown_1234568089.unknown_1234568093.unknown_1234568095.unknown_1234568096.unknown_1234568094.unknown_1234568091.unknown_1234568092.unknown_1234568090.unknown_1234568085.unknown_1234568087.unknown_1234568088.unknown_1234568086.unknown_1234568083.unknown_1234568084.unknown_1234568082.unknown_1234568065.unknown_1234568073.unknown_1234568077.unknown_1234568079.unknown_1234568080.unknown_1234568078.unknown_1234568075.unknown_1234568076.unknown_1234568074.unknown_1234568069.unknown_1234568071.unknown_1234568072.unknown_1234568070.unknown_1234568067.unknown_1234568068.unknown_1234568066.unknown_1234568057.unknown_1234568061.unknown_1234568063.unknown_1234568064.unknown_1234568062.unknown_1234568059.unknown_1234568060.unknown_1234568058.unknown_1234568053.unknown_1234568055.unknown_1234568056.unknown_1234568054.unknown_1234568051.unknown_1234568052.unknown_1234568050.unknown_1234568033.unknown_1234568041.unknown_1234568045.unknown_1234568047.unknown_1234568048.unknown_1234568046.unknown_1234568043.unknown_1234568044.unknown_1234568042.unknown_1234568037.unknown_1234568039.unknown_1234568040.unknown_1234568038.unknown_1234568035.unknown_1234568036.unknown_1234568034.unknown_1234568025.unknown_1234568029.unknown_1234568031.unknown_1234568032.unknown_1234568030.unknown_1234568027.unknown_1234568028.unknown_1234568026.unknown_1234568021.unknown_1234568023.unknown_1234568024.unknown_1234568022.unknown_1234568019.unknown_1234568020.unknown_1234568018.unknown_1234567985.unknown_1234568001.unknown_1234568009.unknown_1234568013.unknown_1234568015.unknown_1234568016.unknown_1234568014.unknown_1234568011.unknown_1234568012.unknown_1234568010.unknown_1234568005.unknown_1234568007.unknown_1234568008.unknown_1234568006.unknown_1234568003.unknown_1234568004.unknown_1234568002.unknown_1234567993.unknown_1234567997.unknown_1234567999.unknown_1234568000.unknown_1234567998.unknown_1234567995.unknown_1234567996.unknown_1234567994.unknown_1234567989.unknown_1234567991.unknown_1234567992.unknown_1234567990.unknown_1234567987.unknown_1234567988.unknown_1234567986.unknown_1234567969.unknown_1234567977.unknown_1234567981.unknown_1234567983.unknown_1234567984.unknown_1234567982.unknown_1234567979.unknown_1234567980.unknown_1234567978.unknown_1234567973.unknown_1234567975.unknown_1234567976.unknown_1234567974.unknown_1234567971.unknown_1234567972.unknown_1234567970.unknown_1234567961.unknown_1234567965.unknown_1234567967.unknown_1234567968.unknown_1234567966.unknown_1234567963.unknown_1234567964.unknown_1234567962.unknown_1234567957.unknown_1234567959.unknown_1234567960.unknown_1234567958.unknown_1234567955.unknown_1234567956.unknown_1234567954.unknown_1234567921.unknown_1234567937.unknown_1234567945.unknown_1234567949.unknown_1234567951.unknown_1234567952.unknown_1234567950.unknown_1234567947.unknown_1234567948.unknown_1234567946.unknown_1234567941.unknown_1234567943.unknown_1234567944.unknown_1234567942.unknown_1234567939.unknown_1234567940.unknown_1234567938.unknown_1234567929.unknown_1234567933.unknown_1234567935.unknown_1234567936.unknown_1234567934.unknown_1234567931.unknown_1234567932.unknown_1234567930.unknown_1234567925.unknown_1234567927.unknown_1234567928.unknown_1234567926.unknown_1234567923.unknown_1234567924.unknown_1234567922.unknown_1234567905.unknown_1234567913.unknown_1234567917.unknown_1234567919.unknown_1234567920.unknown_1234567918.unknown_1234567915.unknown_1234567916.unknown_1234567914.unknown_1234567909.unknown_1234567911.unknown_1234567912.unknown_1234567910.unknown_1234567907.unknown_1234567908.unknown_1234567906.unknown_1234567897.unknown_1234567901.unknown_1234567903.unknown_1234567904.unknown_1234567902.unknown_1234567899.unknown_1234567900.unknown_1234567898.unknown_1234567893.unknown_1234567895.unknown_1234567896.unknown_1234567894.unknown_1234567891.unknown_1234567892.unknown_1234567890.unknown