热力学与统计物理汪志诚习题解答第七章第七章 玻耳兹曼统计
习题7.1根据公式
证明,对于非相对论粒子:
,
=0,±1,±2,…
有
,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。
证:
=
=
其中
;
~
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
(对同一
,
)
=
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
=
EMBED Equation.3
...
第七章 玻耳兹曼统计
习题7.1根据公式
,对于非相对论粒子:
,
=0,±1,±2,…
有
,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。
证:
=
=
其中
;
~
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
(对同一
,
)
=
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
=
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 =
习题7.2试根据公式
证明,对于极端相对论粒子:
,
=0,±1,±2,…
有
,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。
证:
;
对极端相对论粒子
类似得
=
习题7.3当选择不同的能量零点时,粒子第
个能级的能量可以取为
,以
示二者之差
EMBED Equation.3 。试证明相应的配分函数存在以下关系
,并讨论由
配分函数Z1和Z*1求得的热力学函数有何差别。
证: 配分函数
以内能U为例,对Z1:
对Z1*:
习题7.4试证明,对于遵从玻尔兹曼分布的系统,熵函数可以表示为
式中Ps是总粒子处于量子态s的概率,
,
对粒子的所有量子态求和。
证法一:出现某状态
几率为Ps
设S1,S2,……Sk状态对应的能级
;
设Sk+1
,Sk+2,……Sw状态对应的能级
;
类似………………………………;
则出现某微观状态的几率可作如下计算:根据玻尔兹曼统计
;
显然NPs代表粒子处于某量子态S下的几率,
。于是
代表处于S状态下的粒子数。例如,对于
能级
个粒子在
上的K个微观状态的概率为:
类似写出:
………………………………………………等等。
于是N个粒子出现某一微观状态的概率。
EMBED Equation.3
一微观状态数
,(基于等概率原理)
EMBED Equation.3
将
带入
;
习题7.5固体含有A、B两种原子。试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起的混
合熵为
㏑
其中N是总原子数,x是A
原子的百分比,(1-x )是B原子的百分比。注意x<1,上式给出的熵为正值。
证: 显然
S=
㏑
=-N
EMBED Equation.3 =
;
由于
<1, 故
;原题得证。
习题7.6晶体含有N个原子。原子在晶体中的正常位置如图中O所示。当原子离开正
常位置而占据图中×位置时,晶体中就出现缺位和填隙原子,晶体这种缺陷
叫做弗伦克缺陷。
(1) 假设正常位置和填隙位置数都是N,试证明由于在晶体中形成n个缺位和
填隙原子而具有的熵等于
;
(2) 设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u。试由自由能F=nu-Ts为极小
值证明,温度为T时,缺位和填隙原子数为n≈
(设n
N)
证: (1)
=
(2)略,参见 ex7.7
习题7.7如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置,构成新的一
层,晶体将出现缺位,晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷。以N 表示晶体中的原子
数,n表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体中体积的变化,试由自由能为极
小的条件证明,温度为T时n≈
(设n
N )其中W为原子在表面位置与
正常位置的能量差。
证:
,设原子皆未跳出到表面时,U=0,则形成n个空位需要能量
;
,而在N个格点上形成n个空位,其可能的状态数
;利用
EMBED Equation.3
利用自由能判据
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ;
。
习题7.8气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试证明,在平衡状态下分子动量的最
概然分布为
EMBED Equation.3
证: 设能级
这样构成:同一
中,P
相同,而P
与P
在变化,于是有:
(
)
参照教材玻耳兹曼分布证明;有
-
,
其中
由(1)知:
将
代入 并配方得:
=
其中
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
对比page238式(7.2.4)得:
整个体积内,分布在
内分子数为:
由条件(3)知
计算得
=
=
EMBED Equation.3
代入得出分布:
其中
,
习题7.9 (略)结合(7.8)求平均值。
习题7.10表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动,可以看作二维理想气体。
试写出在二维理想中分子的速度分布和速率分布。并求平均速率
,最概然速
率
和方均根速率
。
解: 对于二维情形,
(准)连续能量下的简并度:
面积
玻耳兹曼分布:
; 利用
进而推出速率分布:
EMBED Equation.3
习题7.11试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度
和相对速率
的概率分布,并求相对速率的平均值
。
解:两分子的相对速度
在
内的几率
同理可求得
分量为
和
引进
,速度分布变为
利用球极坐标系可求得速率分布为:
相对速率平均值
习题7.12试根据麦氏速度分布率证明,速度和平均动量的涨落为
解:
;
(略)
习题7.13试证明,单位时间内碰到单位面积上,速率介于
与
之间的分子数为:
证: 在斜圆柱体内,分速度为
的
方向的分子数为:
对于
时间碰撞到
面积上的分子数(
)
=
得到:若只计算介于
分子数则为:(只对
积分)
习题7.14 分子从器壁小孔射出,求在射出的分子束中,分子平均速度和方均根速度。
解:
; 变量代换
EMBED Equation.3
习题7.15已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布,其能量表达式为:
其中
是常数,求粒子的平均能量。
解:
EMBED Equation.3
习题7.16气柱的高度为
,截面为
,在重力场中。试求解此气柱的内能和热容量。
解: 配分函数
EMBED Equation.3
设
;
习题7.17试求双原子理想气体的振动熵。
解: 振动配分函数
代入式(7.6.1)
代入熵计算式
。
习题7.18对于双原子分子,常温下
远大于转动的能级间距。试求双原子分子理
想气体的转动熵。
解:由式(7.5.14)转动配分函数
其中
习题7.19气体分子具有固有电偶极矩
,在电场
下转动能量的经典表达式为:
,证明在经典近似下转动配分函数:
解:经典近似下,
视为准连续能量
配分函数
利用
习题7.20同19题,试证在高温(
)极限下,单位体积电偶极矩(电极化强度)为:
。
解:电极化强度
高温极限下,
,保留至
EMBED Equation.3 。其中
习题7.21试求爱因斯坦固体的熵。
解:将
,代入至
表达式即得,注意N取3N。(略)
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