庄子银高级宏观宏观第十七章5

第八节 动态规划的一些例子 17． 8。1 非随机的例子 17．8．1．1 确定情形下的储蓄 在非随机情形下一个消费者的问为： （17.8.1） s.t. 给定。 其中 ， ， 是指数小于 的已知序列； ， 关于非劳动财富的一个时期的总收益率的已知且给定的序列。 是消费， 是在t时的非劳动财富， 是在t时的劳动财富。假定劳动收入是消费者无法控制的。为具体其间，令 ，并且对所有的t，有 。并假定 。 为了消除无限消费的情形，对 ，我们强加限制： （17.8.2） 定义系统的状态变量为 ，控制变量为 ，是总储蓄，从而转移方程为 。贝尔曼方程为： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 由Benveniste and Scheinkman 公式知： 。因此 的欧拉方程为： 或者 （17.8.3） 我们要寻找一个满足方程（17.8.3）和等参数条件(isoperimetric condition)（17.8.2）的消费计划。假定 ，那么方程（17.8.3）就要求： 把这一结果代入方程（17.8.2）的左边，得到 。因此方程（17.8.3）和（17.8.2）意味着： （17.8.4） 因此，消费者总是消费他或者她的总人力和非人力财富的一个常数份额。方程（17.8.4）对任何序列 都是有效的，因此它的右边是收敛的。为分析的目的，把方程（17.8.4）达为： 重复把 代入上述方程，得到： 或者 其中，我们要求 。即假定收入以低于利率的速度增长。 17．8．1．2 最优增长 一个有代表性的消费者目的是极大化下面的问题： s.t. 给定， 。 其中， 。这里 是消费， 是资本存量。这是由T.C.Koopmans(1963)and David Cass(1965)研究的问题。 令 为状态变量， 为控制变量。那么贝尔曼方程为： 一阶条件为： (17.8.5) 由Benveniste and Scheinkman 公式知道： (17.8.6) 其中 是在 的最优处取得的。 因为 和 是严格凹的，可知 是严格凹的。由此推断最优策略函数 是 的非递减函数。证明如下： 由方程(17.8.5)，以及 的连续性知道， 是连续的。对 ，考虑一阶条件 。假定 。根据 的严格凹性和 的连续性，可知：（1）对所有的 是定义完好的；（2） 意味着 ，因此 。根据 的严格凹性，当且仅当 时，前面的不等式成立。或等价地， 。这与假设 矛盾。因此 是 的非递减函数。 在稳定均衡中存在一个最大的资本存量。也就是说，如果对所有的 ， 为0，最大的资本存量就会产生。如果对所有的 ， 为0， 就会按照差分方程 变化。因为 ，方程 有唯一的正值。显然，当 时， 收敛于 。 令系统始于 。那么对 必定在有界区间 内。因为最优策略函数 是 的非递减函数，可以证明 是单调有界序列。在另一方面，假定 ，那么因为 是 的非递减函数，我们有 。在另一方面，假定 ，那么有 。依次类推，可得 是单调有界序列。由单调有界序列的收敛性知道，当 时， 收敛于极限点 。 前面的收敛论断表明极限点 可能依赖于初始点 。然而实际并非如此。令 为极限点。在极限点，方程(5.1)和(5.2)成立，并且 。它的含义是 。这个方程决定了唯一的最优的稳定状态值 。值得注意的是，在稳定状态中，“总收益率” 独立于现期效用函数和生产函数的特定形式，并且最优的稳定状态的资本存量依赖于 ，但与 无关。 现在我们根据Brock and Mirman(1979)的思路，考虑特定的函数形式： ， ， 。我们使用the guess-and-verify method 来解这个问题。我们猜测： (17.8.7) 其中 是待定系数。对这个猜测，由一阶条件知最优策略函数公式 ，其中 是下一时期的资本价值， 是这一时期的资本价值： (17.8.8) 把(17.8.8)代入(17.8.6)的左边可得： (17.8.9) 对(5.7)微分，有： (17.8.10) 由(17.8.9)和(17.8.10)解得 。把这一结果代入(17.8.7)和(17.8.8)得： (17.8.11) 联立上述方程解得： 方程(17.8.11)表明，最优政策是使资本按照差分方程 或 变动。因为 ，我们知道，对任何初始值 ，当 时， 收敛。稳定状态值由 或 。 17．8．2 随机控制问题的例子 17．8．2．1 具有随机收益的消费 一个典型的消费者极大化问题为： （17.8.12） s.t. 给定。 其中， 是 时的资产， 是 时的消费， 是 与 之间资产的总收益率。假定 在 时是已知的；假定 服从一阶的马尔可夫过程(first-order Markov process)，并且转型方程服从概率 。在 时决策时，消费者知道 和 。为了排除收益率 的持久借贷，需要 满足： 对这个问题，我们定义 为状态变量，控制变量 为 。 的转型方程由 给出。 的转型方程由 定义。那么贝尔曼方程为： 一阶条件为： 运用Benveniste-Scheinkman 公式有： 把这一公式运用到一阶条件有： （17.8.13） 消费者的最优化问题的解是一个储蓄策略函数 ，这意味着消费策略函数 。这个策略函数必须满足欧拉方程（17.8.13），并且这还意味着资产的边界条件 也是满足的。把函数 代入欧拉方程，并应用转移方程，有： （17.8.14） 举一个特殊的例子，令 ，令 为独立同分布的随机过程，满足 。我们猜测最优策略为 ，其中 是待定常数。把这一猜测代入（17.8.13），有： 其中E现在是无条件期望算子。解得 。从而消费函数为 。可以证明它满足资产积累的边界条件。因此最优的策略是消费财富的一个不变的份额。 在最优策略下，资产的变动方程为： 这意味 相应地，有： 因此， 的 最优值为： 因为 是独立同分布的，因此计算这一表达式有： 其中 是 的期望。因为 (see Sargent1979,Eq.21,p.88)。因此价值函数可表示为： 价值函数直接依赖于收益率的对数均值，但独立于现期开始时的收益率。后一性质是特别的，且依赖于 是独立同分布的假定。 17．8．2．2 动态资产组合理论 假定一个消费者有一个 个资产的组合，其中第 种资产在 时的总收益率为 ，并且假定它是一个概率的上确界为1的正的随机变量。消费者选择计划 来极大化下面的问题： s.t. 给定 其中 是时间 购买的 种资产量。 是时间 的消费。在时间 ， 是可观测的。但 在时间 +1以前是无法观测到的。我们假定 服从Markov process，它的概率为 ，其中 都是 维向量。 我们定义这个问题的状态变量为 ，控制变量为 。从而贝尔曼方程为： 一阶条件为： The Benveniste-Scheinkman 公式意味着 ，把这一方程代入一阶条件有： 我们现在要解储蓄策略函数 。把储蓄策略函数代入前面的欧拉方程，有 现在我们考虑一个特例，其中 随时间变化且在各资产 间都是独立同分布的。假定 ，因此 。对这个例子，我们猜测 ，其中 是待定常数。把这一猜测代入上述方程，并应用 ，整理得： 因为 是独立同分布的，那么上述方程对所有的 都成立。这一结果证明了我们的猜测，并给出了 的解的方程。 在现在的例子中，居民户配置常数份额的财富到每一时期的资产上，这一结果依赖于 在长期的独立性，以及在个资产间服从独立同分布的性质。我们现在放松 在个资产间服从独立同分布的假定，保留 在长期和各资产间的独立性假定。在这些新的假定下，我们猜测最优策略函数为 。把这一猜测代入欧拉方程，有： 进一步限定这个例子，我们取 。把 代入以上方程，有： 这是一个 个未知 的方程系统。当 =2时，我们有两个方程： 17．8．2．3 Levhari-Srinivasan(1969) 问题 假定 假定 是独立同分布，并且有： 。考虑如下问题： s.t. 给定。 假定 必须在 之前选择，并且是可观测的。证明最优策略函数采取 的形式，并给出 的显解。 效用函数 不是有界的，但 条件保证了贝尔曼方程的运用。由此，我们猜测 是常数。如果是这样的话，必定有： 一阶条件为： 从而有： 其中 。 把上述策略函数代入贝尔曼方程的右边，有： 可以证明满足条件的唯一的B值为： 这一结果证明了我们对价值函数的猜测。给定B值，可以马上得到最优策略函数： 17．8．2．4 Habit Persistence 问题 考虑一个消费者选择序列 来极大化如下问题： s.t. 给定。 其中 是 时的消费， EMBED Equation.3 期开始时的资本存量。现期的效用函数 表示消费习惯的持久性。 令 为0时的价值，则贝尔曼方程为： s.t. 我们猜测价值函数采取的形式为： 要证明这个猜测，可令 （17.8.15） = s.t. 在等式约束下，一阶条件为： （17.8.16） 把这一表达式代入（17.8.15）的右边，有： 其中 ， = 。 为了证明猜测，我们限定： E= F= G= 解得： F= E= 并且 只依赖F，G。因此它们都是参数 的函数。把F，G的值代入方程（17.8.16），我们得到： 由生产函数知道， 。两边取对数有： 第九节 线性二次型动态规划 本节讨论的动态规划问题中收益函数是二次型函数，转移函数是线性函数。在这些特定的函数形式下，贝尔曼方程可以用线性代数求解。 17． 9。1 最优线性规划问题 无贴现的最优线性规划问题是选择 以最大化如下问题： （17.9.1） S．T． ， 给定。 这里， 是 维状态变量向量， 是 维控制变量向量，R是负半定对称矩阵，Q是负定对称矩阵，A是 矩阵，B是 矩阵。我们猜测价值函数是二次型的， ，其中P是负半定对称矩阵。 使用转移法则来消除下一期的状态，贝尔曼方程为： （17.9.2） 运用如下法则对（17.9.2）微分： ； ； 由上述法则，方程（2）的右边的最大化问题的一阶必要条件为 （17.9.3） 这意味反馈规则为 （17.9.4） 或者 其中 。 把方程（17.9.4）代入方程（17.9.2）的右边有 （17.9.5） 方程（17.9.5）称为algebraic matrix Riccati equation。它把矩阵P表达为矩阵R、Q、A和B的隐函数。当P是大于 矩阵，我们就必须依赖计算机来解P。 17．9．1．1 价值函数递归 在特定的条件下，方程（17.9.5）有唯一的负半定解。即当 时，对矩阵李卡迪差分方程(matrix Riccati difference equation)递归： （17.9.6） 从 出发，与 相关的策略函数为 （17.9.7） 17．9．1．2 贴现的线性规划问题 贴现的线性规划最大化问题为 （17.9.8） S．T． ， 给定。 这个问题的贴现李卡迪差分方程为： （17.9.9） 相应地，algebraic matrix Riccati equation也不同。无穷上限问题的价值函数为 其中P是 的极限。这个极限得自从 出发，对方程（17.9.9）的递归。 策略函数是 其中 。 对于贴现的线性规划问题，我们可用Policy improvement algorithm 来求解。从初始的 出发，其中矩阵 的特征根的模小于 ，对如下两个方程进行algorithm iterates： （17.9.10） （17.9.11） 第一个方程是离散的Lyapunov or Sylvester equation。这个方程的解为 （17.9.12） 如果矩阵 的特征根的模有界且为 ，那么这个方程的解就存在。 17．9．2 随机的的线性规划问题 随机的线性规划问题是选择 ，极大化如下问题 （17.9.13） S．T． ， 给定。 其中 是一个 维随机变量，是独立同分布的，服从均值的向量为0的正态分布，协方差矩阵为 （17.9.14） 矩阵R、Q、A和B也服从上述假定。 这个问题的价值函数为 （17.9.15） 其中P对应方程（17.9.9）的贴现的algebraic matrix Riccati equation的唯一的负半定解。与前面类似，它是从初始的 出发，对方程（17.9.9）递归的极限。 为 （17.9.16） 其中“ ”表示一个矩阵的迹，它是一个方阵的主对角线元素之和或它的 个特征根之和。因此，最优策略为 （17.9.17） 其中 。这个反馈规则与非随机的线性最优规划问题的规则相同，这个结果就是确定性等价原则(certainty equivalence principle)。 定理1。确定性等价原则：随机的线性最优规划问题的解与非随机的线性最优规划问题的解相同。 证明：把猜测方程（17.9.15）代入贝尔曼方程，有 其中 是当 ， 时 的实现。这个问题意味着 使用 ，计算括号中的期望，有 的一阶条件是 这等价于方程（17.9.17）。使用 ，把方程（17.9.17）代入 的表达式中，并运用方程（17.9.15），有 和 由此得证。 但这个确定性等价原则不是一般的，它依赖于二次型的目标函数，线性的转移方程，以及性质 。 17．9．3 线性规划的影子价格 把价值函数 的梯度 解释为影子价格或拉格朗日乘子，因此，与贝尔曼方程相关的拉格朗日函数为： 其中 是拉格朗日乘子向量。 的最优化的一阶必要条件为： （17.9.18） 由此，我们得到最优决策规则 ，影子价格向量满足 ，其中P是价值函数。 现在，我们考虑系统的稳定性问题。把最优控制 代入到运动方程中 中，我们得到一个最优的闭环系统 。在最优控制下，这个差分方程管制了 的变化。从初始的 出发，如果 ，那么这个系统就是稳定的。 假定 的特征根是互异的，运用特征根分解 其中C的列向量是 的特征向量， 是 的特征向量的对角矩阵。把“闭环”方程表达为 ，则这个差分方程的解通过递归为 。显然，如果对所有的 ，当且仅当 的特征根的绝对值严格小于1时， 就是一个“稳定矩阵”。 下面的假定和命题给出了稳定性的一些条件和结论。 假定1。矩阵R是负定的。 命题1。在假定1下，如果非贴现的规划的解存在，那么它满足 。 证明：如果 不趋近于0，则 。由此得证。 假定2。矩阵R是负半定的。 在假定2下，R类似于一个三角矩阵 其中 是负定的，T是非奇异的。并且有 ，其中 。令 。这些计算支持了如下命题： 命题2。假如在假定2下最优线性规划的解存在，那么 。 定义：如果存在一个矩阵F满足 是稳定矩阵，那么 是稳定的。 定理2。如果 是稳定的，并且R是负定的，那么在最优规则F下， 是稳定矩阵。 17．9．4 最优线性规划的拉格朗日函数 对非贴现的最优线性规划问题，拉格朗日函数为 关于 的最大化的一阶必要条件为 （17.9.19） 拉格朗日乘子向量 通常称为同状态向量(costate vector)。把第一个方程代入转移方程 中，整理结果后，再把方程（17.9.2）代入有 （17.9.20） 其中 当L是满秩（即A是满秩）时，我们可以把这个系统表达为 （17.9.21） 其中 （17.9.22） 为了说明（ 矩阵M的性质，我们引入一个（ 矩阵： 其中J的秩是 。 定义。一个矩阵称为偶合矩阵（symplectic），如果 （23） 现在可以直接证明方程（17.9.21）中的M是偶合矩阵。并且，对任何偶合矩阵M，由方程（23）以及 ，有 （17.9.24） 方程（17.9.24）说明 通过相似的变换与M的逆。对方阵有如下性质：（1）相似矩阵有共同的特征根。（2）逆矩阵的特征根是矩阵的特征根的倒数。（3）矩阵及其转置矩阵有同样的特征根。因此，由方程（17.9.24）有，如果 是M的特征根，那么 也是M的特征根。 方程（17.9.21）可写成 （17.9.25） 其中 。考虑如下的M的三角化，我们有 其中右边的每一个矩阵块是一个 矩阵，V是一个非奇异矩阵，矩阵 的特征根都大于1，矩阵 的所有的特征根都小于1。Schur分解和特征根分解是两种可能的分解。把方程（17.9.25）写为： （17.9.26） 对任意的初始条件 ，方程（17.9.26）的解为 （17.9.27） 其中 服从如下的递归法则： 其中 是 的 次幂。 把方程（17.9.27）表示成： 其中 ，特别地有 （17.9.28） 其中 是 矩阵的 项。因为 是不稳定矩阵，因此除非 ，否则 将发散。令 是 矩阵的 项。为了得到稳定性，我们强制 ，那么由方程（17.9.28）有 或者 但是，因为 是V的逆的第二个行块矩阵，因此有 即 因此有 从而我们有 （17.9.29） 和 （17.9.30） 但是，我们从方程（17.9.18）知道 ，其中矩阵P为方程（17.9.6）的解。因此有 （17.9.31） 这是计算P的典型的有效的方法。 17．9．5 卡尔曼过滤器（the Kaiman filter） 卡尔曼过滤器是计算数学期望 的一种递归方法。其中数学期望的有隐含的状态向量 ，以过去观测到的有噪音的向量 为条件期望。 卡尔曼过滤器的环境是如下的线性状态空间系统。给定 ，令 （17.9.32） （17.9.33） 其中 是一个 维状态向量， 是一个独立同分布的序列的高斯向量，且 ， 是一个独立同分布的高斯向量，对所有的 ，正交于 ，且 。A、C和G都是相应的矩阵。假定初始的 观测不到，但有均值为 ，协方差矩阵 的高斯分布。在时间 ，可获得历史观测 ，并可它来估计 的位置。卡尔曼过滤器是计算 的递归代数方法。由这个方法可得： （17.9.34） 其中 （17.9.35） （17.9.36） 这里 , 称为卡尔曼收益。有时卡尔曼过滤器可以“观测者系统”来表示： （17.9.37） （17.9.38） 其中 。随机变量称为 的扰动项。联立方程（17.9.38）和（17.9.33），有 。在方程的两边乘以它自己的转置矩阵并取期望有如下的协方差矩阵： （17.9.39） 17．9．5．1 穆斯的情形 卡甘(Cagan,P.1956)和弗里得曼(Friedman,M.1956)指出，当人们想形成 的未来价值的期望的时候，他们愿意使用如下的“适应性预期”计划： （17.9.40） 或者 （17.9.41） 其中 是人们的期望。弗里得曼使用这个计划来描述人们对未来收入的预测。卡甘使用这个模型来预测高通涨时期的通货膨胀。穆斯研究了如下的模型： （17.9.42） （17.9.43） 其中 是随机过程， 是相互独立的独立同分布高斯随机过程，期望为0，方差为 。初始条件 是期望为 ，方差为 的高斯分布。穆斯解的公式为： 其中 。 对这个问题， ，从而卡尔曼方程为： （17.9.44） （17.9.45） EMBED Equation.3 方程（17.9.45）可重写为： （17.9.46） 穆斯研究了当 时这个问题的解。显然， 是不动点。那么 ，并且 的公式为： （17.9.47） 其中 。这是卡甘的适应性预期公式。对方程（17.9.47）进行后向递归，有 ，这是卡甘和弗里得曼的几何分布滞后公式。运用方程（17.9.42）和（17.9.43），我们有 这一结果和适应性预期公式（17.9.47）给出 的最优预测。 17．9．5．2 Jovanovic 模型 在Jovanovic 模型中，令 ， 为矢量，且A=1，C=0，G=1，R 。令 为期望为 ，方差为 的高斯分布。把 解释为 的一个隐含值，一个“匹配参数”。令 为 （从 到 ）的历史值。定义 ，那么，在这个特定的情形，卡尔曼过滤器方程为： （17.9.48） （17.9.49） （17.9.50） EMBED Equation.3 递归从初始的 开始，它是包括了以前知识的一个系统。很容易知道，当Q=0，对 是递归方程（17.9.50）的极限点。由此，我们就可以得到匹配参数的值。 把方程（17.9.50）写成： （17.9.51） 随着 增长， 。 以方程（17.9.37）和（17.9.38）的形式表示卡尔曼过滤器方程： 这意味 其中 的方差等于 。这意味 很方便地，可以把 的运动方程表示为： 其中 EMBED Equation.3 ， 是一个的独立同分布的标准正态分布，期望为0，方差为1，且服从 。 17．9．6 线性二次逼近(linear-quadratic approximation) 这里我们描述最优线性规划的重要应用，即对复杂的动态规划系统的解进行二次线性逼近。我们通常考虑如下的问题： （17.9.52） S．T． （17.9.53） 其中 是独立同分布的、期望为0，方差有限的随机扰动向量。 是 的一个凹的、二阶连续可微函数。初始问题的所有的非线性性质都包含在复合函数中。 17．9．6．1 随机增长模式 考虑中央计划者选择 的策略来极大化如下问题： S．T． 其中 是独立同分布的、期望为0，方差有限的随机过程， 是技术冲击，且 。为把这个问题表示为方程（17.9.52）和（17.9.53）的形式，我们取 ，并且 。从而我们可以得到如下运动方程： 下面，我们要对系统（52）和（53）进行逼近。 17．9．6．2 Kydland and Prescott 方法 用二次式 来替换 。我们选择一点 ，并用泰勒展式来逼近，有 （17.9.54） 如果状态变量 是 维的，控制变量 是 维的，那么向量 就是 维的。令 是 维的，则对 ，有 重复运用 ，我们可以把方程（17.9.54）表示为： 其中 其中偏导数是在 取值的。对M进行划分，有 现在我们来考虑 的决定。通常，点 选择为初始的非线性模型的非随机的最优稳定状态。我们现在来考虑如下的问题： S．T． 这个稳定状态点是通过以下步骤取得的： （1） 通过优化过程得到欧拉方程。 （2） 把 代入欧拉方程和转移方程中，解关于 的非线性方程系统。 17．9．6．3 对数线性逼近 我们用对数线性逼近(Christiano,1990)来考虑上述的随机增长的问题。定义 根据定义，把 视为状态变量，并得到运动规则 其中控制变量 是 。 因此，消费可表示为 把这一结果代入 ，与前面一样，在 点附近进行二阶泰勒展开来逼近目标函数。 一般地，在RBC文献中，技术冲击的运动方程通常定义为 由此，我们常把资本的运动方程表示为 或者 其中 。通过研究具有增长的技术冲击 的模型的欧拉方程，我们可以证明存在关于 的而不是 的一个稳定状态。 _1094712097.unknown _1094976420.unknown _1121694496.unknown _1124173426.unknown _1124177280.unknown _1124180573.unknown _1124182059.unknown _1124195919.unknown _1124198060.unknown _1124198609.unknown _1124198877.unknown _1124199315.unknown _1124199478.unknown _1124199585.unknown _1124199584.unknown _1124199381.unknown _1124199100.unknown _1124199212.unknown _1124199025.unknown _1124198705.unknown _1124198845.unknown _1124198619.unknown _1124198420.unknown _1124198554.unknown _1124198263.unknown _1124197065.unknown _1124197817.unknown _1124197962.unknown _1124197210.unknown _1124196517.unknown _1124196827.unknown _1124196092.unknown 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