【人教A版】高中数学选修2-2第二章课后习题解答人教A版高中数学课后习题解答答案
新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答
第二章 推理与证明
2.1合情推理与演绎推理
练习(P77)
1、由,猜想.
2、相邻两行数之间的关系是:每一行首尾的数都是1,其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.
3、设和分别是四面体和的体积,
则.
练习(P81)
1、略.
2、因为通项公式为的数列,
若,其中是非零常数,则是等比数列; ……………………大前提
又因为,则,则; ……………………………小前提
所以,通项公式为的数列是等...
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数学选修2—2第二章课后习题解答
第二章 推理与证明
2.1合情推理与演绎推理
练习(P77)
1、由,猜想.
2、相邻两行数之间的关系是:每一行首尾的数都是1,其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.
3、设和分别是四面体和的体积,
则.
练习(P81)
1、略.
2、因为通项公式为的数列,
若,其中是非零常数,则是等比数列; ……………………大前提
又因为,则,则; ……………………………小前提
所以,通项公式为的数列是等比数列. ……………………结论
3、由,得到的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中,大边对大角”,小前提是“”,而与不在同一个三角形中.
习题2.1 A组(P83)
1、.
2、.
3、当时,;当时,;当时,.
(第
6
题)4、(,且).
5、(,且).
6、如图,作∥交于.
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,
又因为∥,∥.
所以四边形是平行四边形.
因为平行四边形的对边相等.
又因为四边形是平行四边形.
所以.
因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等,
又因为,, 所以
因为等腰三角形的两底角是相等的.
又因为△是等腰三角形, 所以
因为平行线的同位角相等
又因为与是平行线和的同位角, 所以
因为等于同角的两个角是相等的,
又因为,, 所以
习题2.1 B组(P84)
1、由,,,,,猜想.
2、略. 3、略.
2.2直接证明与间接证明
练习(P89)
1、因为,所以,命题得证.
2、要证,只需证,
即证,即证,
只需要,即证,这是显然成立的. 所以,命题得证.
3、因为 ,
又因为
,
从而,所以,命题成立.
:进一步熟悉运用综合法、
法证明数学命题的思考过程与特点.
练习(P91)
1、假设不是锐角,则. 因此.
这与三角形的内角和等于180°矛盾.
所以,假设不成立. 从而,一定是锐角.
2、假设,,成等差数列,则.
所以,化简得,从而,即,
这是不可能的. 所以,假设不成立.
从而,,,不可能成等差数列.
说明:进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.
习题2.2 A组(P91)
1、由于,因此方程至少有一个跟.
假设方程不止一个根,则至少有两个根,不妨设是它的两个不同的根,
则 ①
②
①-②得
因为,所以,从而,这与已知条件矛盾,故假设不成立.
2、因为
展开得 ,即. ①
假设,则,即
所以.
因为,都是锐角,所以,从而,与已知矛盾.
因此.
①式变形得 , 即.
又因为,所以.
说明:本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.
3、因为 ,所以,从而.
另一方面,要证 ,
只要证
即证 ,
即证
由可得,,于是命题得证.
说明:本题可以单独使用综合法或分析法进行证明,但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.
4、因为的倒数成等差数列,所以.
假设不成立,即,则是的最大内角,
所以(在三角形中,大角对大边),
从而 . 这与矛盾.
所以,假设不成立,因此,.
习题2.2 B组(P91)
1、要证,由于,所以只需要,即证.
因为,所以只需要,即证.
由于为一个三角形的三条边,所以上式成立. 于是原命题成立.
2、由已知条件得 ①
, ②
要证,只要证,只要证
由①②,得 ,
,
所以,,于是命题得证.
3、由
得 ,即. ……①
要证
即证
即证
化简得,这就是①式.
所以,命题成立.
说明:用综合法和分析法证明命题时,经常需要把两者结合起来使用.
2.3数学归纳法
练习(P95)
1、先证明:首项是,公差是的等差数列的通项公式是.
(1)当时,左边=,右边=,
因此,左边=右边. 所以,当时命题成立.
(2)假设当时,命题成立,即.
那么,.
所以,当时,命题也成立.
根据(1)和(2),可知命题对任何都成立.
再证明:该数列的前项和的公式是.
(1)当时,左边=,右边=,
因此,左边=右边. 所以,当时命题成立.
(2)假设当时,命题成立,即.
那么,
所以,当时,命题也成立.
根据(1)和(2),可知命题对任何都成立.
2、略.
习题2.3 A组(P96)
1、(1)略.
(2)证明:①当时,左边=1,右边=,
因此,左边=右边. 所以,当时,等式成立.
②假设当时等式成立,即.
那么,.
所以,当时,等式也成立.
根据①和②,可知等式对任何都成立.
(3)略.
2、,
,
.
由此猜想:.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
(1)当时,左边=,右边=,
因此,左边=右边. 所以,当时,猜想成立.
(2)假设当时,猜想成立,即.
那么,.
所以,当时,猜想也成立.
根据(1)和(2),可知猜想对任何都成立.
习题2.3 B组(P96)
1、略
2、证明:(1)当时,左边=,右边=,
因此,左边=右边. 所以,当时,等式成立.
(2)假设当时,等式成立,
即.
那么,.
所以,当时,等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对任何都成立.
第二章 复习参考题A组(P98)
1、图略,共有()个圆圈.
2、().
3、因为,所以,,……
猜想.
4、运算的结果总等于1.
(第
5
题)5、如图,设是四面体内任意一点,连结,,,并延长交对面于,,,,则
用“体积法”证明:
6、要证
只需证
即证
由,得. ①
又因为,所以,变形即得①式. 所以,命题得证.
7、证明:(1)当时,左边=,右边=,
因此,左边=右边. 所以,当时,等式成立.
(2)假设当时,等式成立,
即.
那么,.
所以,当时,等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对任何都成立.
第二章 复习参考题B组(P47)
1、(1)25条线段,16部分; (2)条线段;
(3)最多将圆分割成部分.
下面用数学归纳法证明这个结论.
①当时,结论成立.
②假设当时,结论成立,
即:条线段,两两相交,最多将圆分割成部分
当时,其中的条线段两两相交,最多将圆分割成 部分,第条线段与线段都相交,最多增加个部分,因此,条线段,两两相交,最多将圆分割成
部分
所以,当时,结论也成立.
根据①和②,可知结论对任何都成立.
2、要证
因为
只需证
由已知条件,得 ,,
代入上式的左端,得
因此,
1
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