实变函数胡答案第一章(A)

一 《实变函数》习题解答 第一章习题 A 1． ． 证 ． 2．求 的充要条件． 证 ， ， ． 事实上， 显然， 　　 由于 ，又 EMBED Equation.DSMT4 ， 故 ．故 ． 3． ． 证 因 　　　　　　　　　　 ， 又 ， ． 故 ． 4． ． 证 “ ” ，若A非空，则 若 ，则 ，矛盾； 若 则 矛盾，从而得证： ． “ ” ，则 ． 5． ． 证 ，则 且 ， 因此 ,使得 ，且对 ，有 ， 则 ，所以 ． 6．若 与 是升列，则 ． 证 ，即 i，使得 且 j使得 ，不妨设 ，因 均为升列， ，即 ， ，即 ．以上证明了 . 另一方面， ，使得 ， ， 这又证明了 ， 综上所证，就有 ． 7． ． 证 ． 又 ． 8． ． 证 存在 ， 存在 ． 下证： 使得 EMBED Equation.DSMT4 中有无限多个取值为1 有 EMBED Equation.DSMT4 中自 后全为0 同理可证： 于是 存在 存在,从而 ． 9．设 ． 解 ． ． 10．设 R(n=1,2,…)，用 示 ． 解 ，有 EMBED Equation.3 ． 11． 是满射 ． 证 “ ” 是满射， ， 使 ．则 ． 即 ． 所以 ． “ ”对 取 为单点集， EMBED Equation.DSMT4 则由已设 ，有 ，令 ，有 为满射． 12．设 则 ． 证 EMBED Equation.DSMT4 ． 13． 是双射 且对任何 ，有 ． 证 “ ”由命题1．2．5 (iv),对任何映射 有 ． 故只须证 ， ， , 使 ， 由于 为单射，故 ,于是 EMBED Equation.DSMT4 ，即 “ ”因为 ，则f为满射．设 不是单射， 则 使 ，则取 ． ，又 ． 这与 矛盾．故 为单射． 故 为双射． 14．做一双射 ． 解 具体验证 是双射从略． 15．做一双射 R． 解 具体验证 是双射从略． 16．做一双射 R R\Q． 解 取无限可数集 R\Q，则 Q为无限可数． 因为无限可数集一定对等，所以 Q 则 x ， R\( Q) ； f(x)= 为所求的一个双射，具体验证从略． g(x) ， EMBED Equation.3 Q ， 17．设 则 ． 　　证 因为 所以X为无限不可数集，A为可数集．取 的无限可数子集 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ． 因为 可数， 可数，所以 可数，从而 ～ ，即 ． 因为 是无限不可数集(否则 为可数集,矛盾), 所以由上证明可知 ,即 ． 18．以有理点为端点的区间仅可数个． 证 先证明以有理点为端点的开区间仅可数个． 令开区间 对应平面上的点 ,那么以有理数为端点的开区间全体对应半平面 上的有理数全体,这个对应是双射,因为半平面上的有理数是可数的,所以以有理点为端点的开区间全体是可数的． 然后利用定理1．3．6,易证明以有理点为端点的闭区间,左开右闭区间和左闭右开区间分别都是可数个,从而以有理点为端点的区间仅可数个． 19．R 中至少有一圆周不含有理点． 证一 对圆心在原点，半径 的圆周，若有 ,且 ，则由于 知 但 ，矛盾． 证二 设 表示以 为圆心， 为半径的圆周，即： ，那么本题就是要证有某个 使得每个 时， ，为此，我们只需要证明，实际上以原点 为心的所有圆周的集族 中，就存在一个 使得每个 都是无理点．若不然，对于每个圆周 都可选出一个有理点 ．我们就可以构造一个映射 EMBED Equation.DSMT4 × ，由 EMBED Equation.DSMT4 × 所确定．显然 是 到 × 中的单射．（事实上，如果 EMBED Equation.DSMT4 ．于是， EMBED Equation.DSMT4 × EMBED Equation.DSMT4 此与显然的事实 矛盾．故 中就应有一个圆周 不含有理点． 20．一可数集仅含可数多个有限子集． 只证无限可数集情形. 证一 EMBED Equation.3 记 的子集的全体为 则 ，现在，如果记 的有限子集的全体为 ，则有 ，注意到可数个可数集的并集仍是可数集，故已证明： ，另一方面，显然 ，故已证明： ． 　　证二 设 记 的单元素子集的全体为 ，即： 显然 ，又记 的二元素子集的全体为 ，则显然 × ,由定理1．3．7， × ,现在注意到 的有限子集的全体 （这里 表示 的 元素子集的全体， =1,2,…） 再应用定理1．3．7，可数个可数集的并集仍为可数集，就得到 ． 21．设 R 非有理点， ，则有连接 ， 的折线 ，使 不含有理点． 证 作线段 的中垂线l， 点 ，使折线 不含有理点．否则，对l上任一点 ，折线 上均含有理点，就可以选定一个有理点 ，从而作映射 ．以下证 是到 内的一个单射，此由已知端点 非有理点， 以及当l上点 时，折线 与 除了两端点外不可能有相重合的点，就可知 ，由于l上点不可数，这种折线也不可数，但现在 又表明它与 的一个子集对等，这与 可数矛盾． 22． ． 证 设 ,定义 ． 若令 并把 中的实数用二进制小数表示,则易知 是一个双射,从而 ,即 ． 23． ． 证 把 中的数用十进位无限小数表示(有限小数也用含无穷多个9的表达式,例如 表示, ), 按照这个约定把 中的点 表示为: 令点 对应于 中的数 则易知 是一个单射, 从而 ,又显然 ,故 ． 24．设 R ，则 是开集, 是闭集． 证 ① 根据命题1．4．2 为开集． ② 根据命题1．4．2 ， 为闭集． ③ 只须证 .设 ，则 必有 ,且 ,取 >0，则 ，但 又 在 中必有 EMBED Equation.3 ，由 ，知 ，所以 为闭集． ④ 又 均为闭集，由定理1．4．4．知： 为闭集． 25． ． 证 ①由于 ，故 ． 又 ，得 ，于是 ． ② ． ． 26． ． 证 ，要证 ． ∵ ∴ ∴令 ，从而 . ∵ ∴ ． 又 ，故 ．故 ． 27． R 是开集 R ，有 ． 　　证 “ ”若A是开集，则 ，由26题直接得： “ ” ，取 时, ，又 ，故 = .如果 ,则命题显然成立.假设A不是开集，且 , 则 中含有 中的点 ，与 矛盾．所以假设不成立，故A为开集． 28．设 ， ， Gr ．求 ． 解 由f(x)在 处是连续的，可知A中除点(0,0)外，其余点皆属于 ．因为 在x=0邻近无限振动，所以y轴上的闭区间 所有点显然也都属于 ，综上可得： ， ， ． 29．设 R 只有孤立点，则 是可数集． 证 定义 ， ， 使得 且若 ，则 ，其中 与 分别为 在f下的对应． 若 ，则 ．∴f为映射． 由映射的定义知，f为单射． 为可数集，∴A为可数集． 30．R 中的开集或闭集同时是 型集与 型集． 证 ①设 R 是闭集，则F是 型集，又∵ ，利用定义容易证明对每一个 ， 为开集． ∴F为 型集． ②设G是开集，则G为 型集．又∵ 是闭集 由①得 是 型集 ∴G是 型集． 31．设 可数，则 可数． 证 因为 ， 为A中的孤立点集． 由题29知， 可数，又 可数，故 可数． 32．设 R，G，H是开集，则G的每个构成区间含于H的某个构成区间． 证 设 是G的构成区间，如有 分别属于两个不同的 的构成区间 ． 设 ，则有 ，因为 ，故 ．但 作为 的构成区间的端点， ，产生矛盾． 所以原命题成立． 33．设A是Cantor集P在[0，1]中的余区间的中点之全体，求 ． 解 由于 所有构成区间互不相交且无公共端点，故 的点都是孤立点，从而 的点不在 中，显然也不在 外，故 EMBED Equation.DSMT4 ． 下证 ．设 ，对每个n，x属于长度为 的 个闭区间中的一个，所以对 ，存在n，满足 ，使得 ( 指 的做法过程中第n次去掉中间 的开区间余下的 个闭区间的并)中包含x的闭区间含于 ，由 的做法过程知，此区间至少含有A的两点，有一个不是x．所以x是A的极限点，故 ．因此 ． 34．设 (R )( )， R，则R 是 型集，R 与R 是 型集． 证 ∵ ∴ 是 型集 . ∴ ． ∴ 是 型集． 是 型集． 35． 中的数用十进位小数表示时用不着7的一切数构成一完备集． 证 考察集合 中变化，n是自然数}．记上述集合中出现的开区间的并为： ，那么不出现数字7的十进小数组成的集为 ，它是闭集与开集之差，故它是闭集．又 成立，其中n,m为自然数， 为 中的数． 所以上述闭集无相邻的余区间，而闭集的孤立点必是相邻余区间的公共端点，故这个闭集无孤立点，从而是完备集． PAGE 9 _1082995800.unknown _1084125394.unknown _1130482819.unknown _1130485070.unknown _1130488591.unknown _1130940129.unknown _1130941582.unknown _1130941809.unknown _1130941973.unknown _1130941942.unknown _1130941611.unknown _1130941379.unknown _1130941483.unknown _1130941441.unknown _1130940294.unknown _1130940322.unknown _1130489225.unknown _1130489286.unknown _1130939763.unknown _1130939923.unknown _1130489265.unknown _1130488911.unknown _1130488936.unknown _1130488764.unknown _1130487639.unknown _1130488074.unknown _1130488396.unknown _1130487869.unknown _1130485450.unknown _1130485622.unknown _1130485168.unknown _1130483932.unknown _1130484308.unknown _1130484809.unknown _1130484973.unknown _1130484504.unknown _1130484262.unknown _1130484289.unknown _1130484001.unknown _1130483509.unknown _1130483720.unknown _1130483783.unknown _1130483616.unknown _1130483057.unknown _1130483118.unknown _1130483225.unknown _1130482859.unknown _1084126355.unknown _1084907234.unknown _1084909025.unknown _1086415905.unknown _1130482758.unknown _1130482801.unknown _1086416335.unknown _1086416461.unknown _1086416477.unknown _1086416414.unknown _1086416004.unknown _1084910325.unknown _1084910921.unknown _1084910976.unknown _1084911099.unknown _1084910960.unknown _1084910609.unknown _1084910000.unknown _1084910035.unknown _1084910092.unknown _1084909387.unknown _1084909528.unknown _1084909062.unknown _1084908295.unknown _1084908798.unknown _1084908836.unknown _1084908592.unknown _1084907485.unknown _1084907603.unknown _1084907419.unknown _1084635516.unknown _1084637252.unknown _1084638726.unknown _1084639611.unknown _1084637526.unknown _1084637726.unknown _1084637888.unknown _1084637953.unknown _1084637993.unknown _1084637847.unknown _1084637627.unknown _1084637651.unknown _1084637561.unknown _1084637336.unknown _1084636104.unknown _1084637066.unknown _1084637157.unknown _1084636880.unknown _1084635898.unknown _1084635962.unknown _1084635691.unknown _1084635239.unknown _1084635417.unknown _1084635485.unknown _1084635279.unknown _1084635096.unknown _1084635111.unknown _1084634938.unknown _1084634981.unknown _1084126455.unknown _1084126544.unknown _1084125468.unknown _1084126169.unknown _1084126235.unknown _1084126298.unknown _1084126314.unknown _1084126347.unknown _1084126304.unknown _1084126240.unknown _1084126215.unknown _1084126229.unknown _1084126208.unknown _1084125572.unknown _1084126022.unknown _1084126134.unknown _1084125606.unknown _1084125501.unknown _1084125566.unknown _1084125493.unknown _1084125434.unknown _1084125452.unknown _1084125459.unknown _1084125444.unknown _1084125411.unknown _1084125421.unknown _1084125402.unknown _1083047493.unknown _1083049180.unknown _1084036961.unknown _1084041943.unknown _1084125322.unknown _1084125376.unknown _1084125385.unknown _1084125349.unknown _1084042911.unknown _1084125266.unknown _1084042609.unknown _1084042616.unknown _1084042128.unknown _1084039448.unknown _1084040521.unknown _1084041903.unknown _1084040486.unknown _1084038970.unknown _1084039173.unknown _1084037916.unknown _1083049746.unknown _1083050805.unknown _1083050892.unknown _1083051213.unknown _1083051319.unknown _1083051341.unknown _1083051252.unknown _1083051147.unknown _1083050874.unknown _1083049951.unknown _1083050004.unknown _1083049814.unknown _1083049431.unknown _1083049544.unknown _1083049664.unknown _1083049493.unknown _1083049323.unknown _1083049380.unknown 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