3-11导弹追踪问题

* 数学建模实 验 王汝军 河西学院数学与统计学院 wangrujun711@163.com * 实验十一　导弹追踪问题 王汝军 河西学院数学与统计学院 wangrujun711@163.com 实验目的 1．进一步巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力。 2．初步研究微分方程解的稳定性和数值解法。 3．学习掌握用MATLAB软件求解常微分方程数值解的相关命令。 * 实验内容 设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上点 A（1，0）处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度v0 沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是5 v0，求导弹运行的曲线。当乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ * 实验准备 * 实验准备1 2．求一维极小的二点二次插值方法 设 是点 处的一个搜索方向，要在该方向上寻优问题，转化为求一维函数 的求极值问题。 最常用的一维搜索方法是插值法，即用某些点的函数值（或导数值）构造插值函数，用插值函数的极小点来近似函数 的极小点。 这里介绍一种有效的插值方法，称为二点二次插值方法，即用二点处的函数值和一个点处的导数值构造二次函数，反复用二次函数的极小点来逼近函数 的极小点。 * 实验准备1 * 实验准备1 3．最速下降法 前面介绍了一维搜索的二点二次插值方法，下面讨论如何选择搜索方向的问题，我们先来看看两个概念。 定义1　称n维向量 为函数 在 处的梯度，记为 定义2　设d是任意的单位向量，若极限 存在，则称该极限为函数 在 处沿方向d的一阶方向导数，简称为方向导数，记为 ， * 实验准备1 最速下降法的基本思想：选取一点 作为初始点，计算该点的梯度 ，求该点处的最速下降方向，即令 ，再沿 方向前进，寻找该方向上的极小点，得到点 ，再计算 ，令 ，沿 方向前进，得到点 ，如此下去……具体算法如下 * 实验准备1 * 实验准备1 在算法中， 为精度要求，即当梯度接近于0时，我们就认为达到极小点，终止计算。这样做的目的是避免算法产生死循环，算法中的一维搜索可用算法1来求解。 最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位。其优点是工作量小，存储变量较少，初始点要求不高； 缺点是收敛慢，效率不高，有时达不到最优解。 下面介绍一种简单而直观的方法——Newton法。 * 实验准备1 * 实验准备1 * 实验准备2 * x = fmin( ' fun ' , x1 , x2 )　 求一元函数y = f( x )在[ x1 , x2 ]内的极小值 x = fmin( ' fun ' , x1 , x2 , options )　同上，参数options的定义由表1给出 [ x , options ] = fmin( ... )　同上，同时返回参数options的值 fmin函数采用黄金分割法和抛物线插值法，fun可直接用函数表达式表示，也可以是用M文件定义的函数名。 实验准备2 * x = fmins( ' fun ' , x0 , options )　求多元函数以x0为迭代初值的局部极小值，参数options的定义由表1给出 [ x , options ] = fmins( ... )　同上，同时返回参数options的值 fmins函数采用Nelder–Meade单纯形搜索法，fun可直接用函数表达式表示，也可以是用M文件定义的函数名。 x = fminu( ' fun ' , x0 )　求多元函数以x0为迭代初值的局部极小值 x = fminu( ' fun ' , x0 , options )　同上，参数options的定义由表1给出 [ x , options ] = fminu( ' fun ' , x0 , ... )　同上，同时返回参数options的值 fminu函数为无约束优化提供了三种算法，由options（6）控制，为步长一维搜索提供了二种算法，由options（7）控制。这里，fminu必须先用M–文件定义函数fun。 实验准备2 * fminbnd替代fmin求解一元函数极值，使用格式、搜索算法与之相同，[ x , Fval ] = fminbnd( ' fun ' , x0 ,... )同时返回解x处的函数值，而不是参数options的返回值 fminsearch替代fmins求解多元函数（1）极值，使用格式、搜索算法与之相同 fminunc替代fminu求解多元函数（1）极值，使用格式、搜索算法与之相同 有关上述命令的详细信息和使用方式可在帮助文件中了解，或在命令框里输入help “命令名”查阅。在MATLAB5.3以上的各种最新版本中fmin、fmins和fminu命令仍然有用，但在MATLAB的未来版本将可能删除这些命令。 实验准备2 （3）命令中参数options的有关定义 在大多数MATLAB优化命令函数中有一个控制参数options，它是一个有18个分量的向量，包含了在优化程序中要用到的参数，以便在计算最优值时控制精度要求、输出形式、搜索算法、迭代次数、步长等等是。在对优化命令函数的第一次调用时，向量options会自动使用缺省值；当然在调用前，可以对options的某些分量进行赋值，以达到控制要求。 * 实验准备2 * 实验准备2 * 命令使用 1．MATLAB优化工具箱中解无约束问题的命令和参数options的基本用法 * * * 问题分析及模型建立 * 问题求解 * 问题求解 x = 35.8482 54.7380 fval = -1.0015e+004 甲种品牌产量为35.8482，乙种品牌产量为54.7380，最大利润和为1.0015e+004。 用fminu可得到同样结果，同时根据参数options可观察到函数采用拟牛顿的DFP并迭代计算了20次。 * 思考与练习 *