上海高考函数大题整理
(2012)20.已知函数.
(1)若,求的取值范围;(6分)
(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数
的反函数.(8分)
[解](1)由,得.
由得. ……3分
因为,所以,.
由得. ……6分
(2)当x([1,2]时,2-x([0,1],因此
. ……10分
由单调性可得.
因为,所以所求反函数是,. ……14分
【点评】本...
(2012)20.已知函数.
(1)若,求的取值范围;(6分)
(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数
的反函数.(8分)
[解](1)由,得.
由得. ……3分
因为,所以,.
由得. ……6分
(2)当x([1,2]时,2-x([0,1],因此
. ……10分
由单调性可得.
因为,所以所求反函数是,. ……14分
【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识.考查数形结合思想,熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质,属于中档题.
(2012春)20. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为
千米(忽略内、外环线长度差异).
(1)当
列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为
分钟,求内环线列车的最小平均速度;
(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为
千米/小时,外环线列车平均速度为
千米/小时.现内、外环线共有
列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过
分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行?
(2012春)23. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
定义向量
的“相伴函数”为
函数
的“相伴向量”为
(其中
为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为
(1)设
求证:
(2)已知
且
求其“相伴向量”的模;
(3)已知
为圆
上一点,向量
的“相伴函数”
在
处取得最大值.当点
在圆
上运动时,求
的取值范围.
当
时,函数
单调递减,∴
;
当
时,函数
单调递减,∴
.
综上所述,
.
(2011)20、(12分)已知函数
,其中常数
满足
。
⑴ 若
,判断函数
的单调性;
⑵ 若
,求
时
的取值范围。
20、解:⑴ 当
时,任意
,则
∵
,
,
∴
,函数
在
上是增函数。
当
时,同理,函数
在
上是减函数。
⑵
当
时,
,则
;
当
时,
,则
。
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分, 第3小题满分4分.
定义域为
,且对任意实数
都满足不等式
的所有函数
组成的集合记为
.例如
.
(1) 已知函数
证明:
;
(2) 写出一个函数
,使得
,并说明理由;
(3) 写出一个函数
,使得数列极限
,
.
【解】(1) 当
时,
,则
不等式
成立;
当
时,
,则
不等式
成立;
当
,且
时,
,则
不等式
成立;
当
,且
时,
,则
不等式
成立.
综合以上,不等式
成立.所以
.
(2) 例如函数
,
取
,
,
则
,
.
所以
.
也可以从
的图象看出,
,不满足
.所以
.
(3) 例如函数
满足
,
,
.
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分10分。
若实数
、
、
满足
,则称
比
远离
.
(1)若
比1远离0,求
的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数
、
,证明:
比
远离
;
(3)已知函数
的定义域
.任取
,
等于
中远离0的那个值.写出函数
和
的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).
解析:(1)
.
单调递减,k(Z,
4(函数f(x)的值域为
单调递增,在区间
,
3(函数f(x)在区间
,
性质:1(f(x)是偶函数,图像关于y轴对称,2(f(x)是周期函数,最小正周期
;
(3)
,即a3(b3比a2b(ab2远离
,
所以
,
因为
,
;
(2) 对任意两个不相等的正数a、b,有
20(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。
有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度,其中x
示某学科知识的学习次数(
),
表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关。
(1) 证明:当
时,掌握程度的增加量
总是下降;
(2) 根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为
,
,
。当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科。
20.证明(1)当
而当
,函数
单调递增,且
>0……..3分
故
单调递减
当
,掌握程度的增长量
总是下降……………..6分
(2)由题意可知0.1+15ln
=0.85……………….9分
整理得
解得
…….13分
由此可知,该学科是乙学科……………..14分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。
已知函数
的反函数。定义:若对给定的实数
,函数
与
互为反函数,则称
满足“
和性质”;若函数
与
互为反函数,则称
满足“
积性质”。
(1) 判断函数
是否满足“1和性质”,并说明理由;
(2) 求所有满足“2和性质”的一次函数;
(3) 设函数
对任何
,满足“
积性质”。求
的表达式。
22(1)解,函数
的反函数是
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
而
其反函数为
故函数
不满足“1和性质”
(2)设函数
满足“2和性质”,
…….6分
而
得反函数
………….8分
由“2和性质”定义可知
=
对
恒成立
即所求一次函数为
………..10分
(3)设
,
,且点
在
图像上,则
在函数
图象上,
故
,可得
, ......12分
,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
令
,则
。
EMBED Equation.DSMT4 ,即
。 ......14分
综上所述,
EMBED Equation.DSMT4 ,此时
,其反函数就是
,
而
,故
与
互为反函数 。 ......16分
20. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分10分.
设函数
,其中
为正整数.
(1)判断函数
的单调性,并就
的情形证明你的结论;
(2)证明:
;
(3)对于任意给定的正整数
,求函数
的最大值和最小值.
解:(1)
在
上均为单调递增的函数. 潜在的知识与
需求(单调函数的运算)
对于函数
,设
,则
EMBED Equation.3 , 潜在的知识与方法需求(函数的表示形式)
EMBED Equation.3 ,
函数
在
上单调递增. 数学模式识别能力(单调函数的证明)
(2)
原式左边
潜在的知识与方法需求(函数的表示形式)
. 计算能力(三角函数的化简)
又
原式右边
. 计算能力(三角函数的化简)
. 准备知识需求(等量代换)
(3)当
时,函数
在
上单调递增, 数学模式识别能力(单调函数的运算)
的最大值为
,最小值为
. 数学模式识别能力(用函数单调性求最值)
当
时,
,
函数
的最大、最小值均为1. 计算能力(三角函数的化简)
当
时,函数
在
上为单调递增. 数学模式识别能力(单调函数的运算)
的最大值为
,最小值为
. 数学模式识别能力(用函数单调性求最值)
当
时,函数
在
上单调递减, 数学模式识别能力(单调函数的运算)
的最大值为
,最小值为
. 数学模式识别能力(用函数单调性求最值)
下面讨论正整数
的情形:
当
为奇数时,对任意
且
, 潜在的知识与方法需求(函数的表示形式)
以及
,
,从而
. 显现的知识与方法 需求(不等式的性质)
在
上为单调递增,则 数学模式识别能力(函数单调性的证明)
的最大值为
,最小值为
. 数学模式识别能力(用单调性求函数最值)
当
为偶数时,一方面有
. 显现的知识与方法需求(不等式性质)
另一方面,由于对任意正整数
,有
, 数学模式识别能力(判断函数的单调性)
. 准备知识需求(不等式性质)
函数
的最大值为
,最小值为
. 数学模式识别能力(用单调性求函数最值)
综上所述,当
为奇数时,函数
的最大值为
,最小值为
.
当
为偶数时,函数
的最大值为
,最小值为
.
18.(本题满分15分)本题共有2个小题,第1个题满分5分,第2小题满分10分.
已知函数
,
EMBED Equation.3 ,直线
与函数
的图像分别交于M、N两点。
(1) 当
时,求
值;
(2) 求
在
时的最大值.
[解]
19.(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分.
已知函数
。
(1) 若
,求
的值;
(2) 若
+
≥0对于
恒成立,求实数
的取值范围。
[解]
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。
已知函数
。
(1)求证:函数
在
内单调递增;
(2)记
为函数
的反函数。若关于
的方程
在
上有解,求
的取值范围。
19.[证明](1)任取
,则
,
,
,
,即函数
在
内单调递增。……6分
[解](2)
,……9分
[解法一]
,……11分
当
时,
,
的取值范围是
。……14分
[解法二]解方程
,得
。……11分
,
解得
。
的取值范围是
……14分
18、近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快,已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦,年增长率为34%。在此后的四年里,增长率以每年2%的速度增长(例如2003年的年生产量增长率为36%)
(1)求2006年的太阳能年生产量(精确到0.1兆瓦)
(2)已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦,在此后的4年里年生产量保持42%的增长率,若2010年的年安装量不少于年生产量的95%,求4年内年安装量的增长率的最小值(精确到0.1%)
【解析】(1)由已知得2003,2004,2005,2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为
,
,
,
.
则2006年全球太阳电池的年生产量为
(兆瓦).
(2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为
,则
.解得
.
因此,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到
.
19、已知函数
(1)判断
的奇偶性 (2)若
在
是增函数,求实数
的范围
【解析】(1)当
时,
,
对任意
,
,
为偶函数.
当
时,
,
取
,得
,
,
函数
既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)解法一:设
,
EMBED Equation.3 ,
要使函数
在
上为增函数,必须
恒成立.
,即
恒成立.
又
,
.
的取值范围是
.
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分)
已知函数
=
+
有如下性质:如果常数
>0,那么该函数在
0,
EMBED Equation.3 上是减函数,在
EMBED Equation.3 ,+∞
上是增函数.
(1)如果函数
=
+
(
>0)的值域为
6,+∞
,求
的值;
(2)研究函数
=
+
(常数
>0)在定义域内的单调性,并说明理由;
(3)对函数
=
+
和
=
+
(常数
>0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明),并求函数
=
+
(
是正整数)在区间[
,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究结论).
[解](1)函数y=x+
(x>0)的最小值是2
,则2
=6, ∴b=log29.
(2) 设0
y1, 函数y=
在[
,+∞)上是增函数;
当00),其中n是正整数.
当n是奇数时,函数y=
在(0,
]上是减函数,在[
,+∞) 上是增函数,
在(-∞,-
]上是增函数, 在[-
,0)上是减函数;
当n是偶数时,函数y=
在(0,
]上是减函数,在[
,+∞) 上是增函数,
在(-∞,-
]上是减函数, 在[-
,0)上是增函数;
F(x)=
+
=
因此F(x) 在 [
,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.
所以,当x=
或x=2时,F(x)取得最大值(
)n+(
)n;
当x=1时F(x)取得最小值2n+1;
19. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.
已知函数
.
(1)若
,求函数
的值; (2)求函数
的值域.
19. [解](1)
, ……2分
……4分
. ……8分
(2)
, ……10分
,
,
,
函数
的值域为
.
21. (本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
设函数
.
(1)在区间
上画出函数
的图像;
(2)设集合
. 试判断集合
和
之间的关系,并给出证明;
(3)当
时,求证:在区间
上,
的图像位于函数
图像的上方.
21. [解](1)
……4分
(2)方程
的解分别是
和
,由于
在
和
上单调递减,在
和
上单调递增,因此
. ……8分
由于
. ……10分
(3)[解法一] 当
时,
.
, ……12分
EMBED Equation.3 . 又
,
① 当
,即
时,取
,
EMBED Equation.3 .
,
则
. ……14分
② 当
,即
时,取
,
=
.
由 ①、②可知,当
时,
,
.
因此,在区间
上,
的图像位于函数
图像的上方. ……16分
[解法二] 当
时,
.
由
得
,
令
,解得
或
, ……12分
在区间
上,当
时,
的图像与函数
的图像只交于一点
; 当
时,
的图像与函数
的图像没有交点. ……14分
如图可知,由于直线
过点
,当
时,直线
是由直线
绕点
逆时针方向旋转得到. 因此,在区间
上,
的图像位于函数
图像的上方. ……16分
21.(本题满分16分)(4+6+6=16分)对定义域是
、
的函数
、
,规定:函数
.
(1)若函数
,
,写出函数
的解析式;
(2)求问题(1)中函数
的值域;
(3)若
,其中
是常数,且
,请一个定义域为R的函数
,及一个
的值,使得
,并予以证明.
21.解(1)
(2)当
若
其中等号当x=2时成立,
若
其中等号当x=0时成立,
∴函数
(3)[解法一]令
则
于是
[解法二]令
,
则
于是
18、(本题满分12分)
某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位:m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
18、【解】由题意得
,∴
(
).
于定, 框架用料长度为
.
当
,即
时等号成立.
此时, x≈2.343,y=2
≈2.828.
故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.
19、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分
记函数
的定义域为
,
(
) 的定义域为B.
(1) 求
;
(2) 若
, 求实数a的取值范围.
19、【解】(1)
, 得
,
或
即A=(-∞,-1)∪[1,+ ∞)
(2) 由
, 得
.
∵
,∴
, ∴
.
∵
, ∴
或
, 即
或
, 而
,
∴
或
, 故当
时, 实数
的取值范围是(-∞,-2]∪[
,1)
20、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分
已知二次函数
的图象以原点为顶点且过点
,反比例函数
的图象与直线
的两个交点间距离为8,
.
(1) 求函数
的表达式;
(2) 证明:当
时,关于
的方程
有三个实数解.
20、【解】(1)由已知,设
,由
,得
, ∴
.
设
(k>0),它的图象与直线
的交点分别为
,
由
,得
, ∴
.故
.
(2) 【证法一】
,得
,
即
.
在同一坐标系内作出
和
的大致图象,其中
的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线,
与的图象是以
为顶点,开口向下的抛物线.
因此
与
的图象在第三象限有一个交点,
即
有一个负数解.
又∵
,
当
时,
,
∴当
时,在第一象限
的图象上存在一点
在
图象的上方.
∴
与
的图象在第一象限有两个交点,即
有两个正数解.
因此,方程
有三个实数解.
【证法二】由
,得
,
即
,得方程的一个解
.
方程
化为
,
由
,
,得
,
,
∵
, ∴
,且
.
若
,即
,则
,
,
得
或
,这与
矛盾, ∴
.
故原方程
有三个实数解.
19. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第一小题满分6分,第2小题满分8分.
某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门于2004年投入128辆电力型公交车,
随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,试问:
(1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车?
(2) 到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的
?
19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列
,其中
则在2010年应该投入的电力型公交车为
(辆)
(2)记
,依据题意,得
于是
(辆),即
,
则有
因此
所以,到2011年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的
21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知函数
,
(
为正常数),且函数
与
的图象在
轴上的截距相等
(1)求
的值;
(2)求函数
的单调递增区间;
(3)若
为正整数,证明:
.
21.(1)由题意,
,
又
,所以
(2)
当
时,
,它在
上单调递增;
当
时,
,它在
上单调递增
(3)设
,考查数列
的变化规律:
解不等式
,由
,上式化为
解得
,因
得
,于是
,而
所以
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