2021年高考全国乙卷解析数学理

角三角函数的基本关系可求得结果.【解析】（1）PD平面ABCD，四边形ABCD为矩形，不妨以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz，设BC2a，则D0,0,0、P0,0,1、B2a,1,0、Ma,1,0、A2a,0,0，则PB2a,1,1，AMa,1,0，2PBAM，则PBAM2a210，解得a，故BC2a2；22AM,1,0（2）设平面PAM的法向量为mx1,y1,z1，则，AP2,0,1，22mAMxy011由2，取x12，可得m2,1,2，mAP2x1z102BM,0,0设平面PBM的法向量为nx2,y2,z2，，BP2,1,1，22rnBMx20由2，取y21，可得n0,1,1，nBP2x2y2z20mn3314cosm,n，mn721470所以，sinm,n1cos2m,n，1470因此，二面角APMB的正弦值为.14【解析】思路解析：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.2119.记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知2．Snbn（1）证明：数列bn是等差数列;（2）求an的通项公式．3,n12【答案】（1）证明见解析；（2）a.n1,n2nn1212bn3【分析】（1）由已知2得Sn,且bn0，取n1,得b1,由题意得Snbn2bn122b2b2b2bb12nn1n1bn,消积得到项的递推关系,进而证明数列bn是2b112b212bn12bn11bn等差数列;（2）由（1）可得bn的表达式,由此得到Sn的表达式,然后利用和与项的关系求得3,n12a.n1,n2nn1212bn1【解析】（1）由已知2得Sn,且bn0，bn,Snbn2bn123取n1,由Sb得b1,112由于bn为数列Sn的前n项积，2b12b22bn所以bn,2b112b212bn12b12b22bn1所以bn1，2b112b212bn112bn1bn1所以,2bn11bn由于bn10211*所以，即bn1bn其中nN2bn11bn2,31所以数列b是以b1为首项，以d为公差等差数列;n2231（2）由（1）可得，数列b是以b1为首项，以d为公差的等差数列，n2231nbn11,n2222bn2nSn,2bn11n3当n=1时，aS,1122n1n1当n≥2时,anSnSn1,显然对于n=1不成立,1nnnn13,n12∴a.n1,n2nn1【解析】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项2b12b22bn2b12b22bn1的关系，其中由bn,得到bn1，进而2b112b212bn12b112b212bn112bn1bn1得到是关键一步；要熟练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和（积）2bn11bn得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法.20.设函数fxlnax，已知x0是函数yxfx的极值点．（1）求a；xf(x)（2）设函数g(x)．证明:gx1．xf(x)【答案】1；证明见解析【分析】（1）由题意求出y'，由极值点处导数为0即可求解出参数a；xln1x（2）由（1）得g(x)，x1且x0，分类讨论x0,1和x,0，可xln1x等价转化为要证gx1，即证xln1xxln1x在x0,1和x,0上恒成立，结合导数和换元法即可求解1x【解析】（1）由fxlnaxf'x，yxfxy'lnax，xaxa又x0是函数yxfx的极值点，所以y'0lna0，解得a1；xf(x)xln1x（2）由（1）得fxln1x，g(x)，x1且x0，xf(x)xln1xxln1x当x0,1时，要证g(x)1，x0,ln1x0，xln1x0，即xln1x证xln1xxln1x，化简得x1xln1x0；xln1x同理，当x,0时，要证g(x)1，x0,ln1x0，xln1x0，xln1x即证xln1xxln1x，化简得x1xln1x0；令hxx1xln1x，再令t1x，则t0,11,，x1t，令gt1ttlnt，g't1lnt1lnt，当t0,1时，g'x0，gx单减，假设g1能取到，则g10，故gtg10；当t1,时，g'x0，gx单增，假设g1能取到，则g10，故gtg10；xln1x综上所述，g(x)1在x,00,1恒成立xln1x【解析】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数a，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题.221.已知抛物线C:x2pyp0的焦点为F，且F与圆M:x2(y4)21上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求△PAB面积的最大值．【答案】（1）p2；（2）205.【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于p的等式，即可解出p的值；（2）设点Ax1,y1、Bx2,y2、Px0,y0，利用导数求出直线PA、PB，进一步可求得直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出AB以及点P到直线AB的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得△PAB面积的最大值.pp【解析】（1）抛物线C的焦点为F0,，FM4，22p所以，F与圆M:x2(y4)21上点的距离的最小值为414，解得p2；22xx（2）抛物线C的方程为x24y，即y，对该函数求导得y，42设点Ax1,y1、Bx2,y2、Px0,y0，xxx直线PA的方程为yy1xx，即y1y，即xx2y2y0，1212111同理可知，直线PB的方程为x2x2y22y0，x1x02y12y00由于点P为这两条直线的公共点，则，x2x02y22y00所以，点A、B的坐标满足方程x0x2y2y00，所以，直线AB的方程为x0x2y2y00，xx2y2y00022联立x，可得x2x0x4y00，y4由韦达定理可得x1x22x0，x1x24y0，所以，22x02x0222AB1x1x24x1x214x016y0x04x04y022，2x04y0点P到直线的距离为d，AB2x0423x04y01122122所以，S△PABABdx04x04y0x04y0，2222x042222x04y01y044y0y012y015y0621，312由已知可得5y03，所以，当y05时，△PAB的面积取最大值20205.2【解析】方法解析：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为C2,1，半径为1．（1）写出C的一个参数方程;（2）过点F4,1作C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．x2cos【答案】（1），（为参数）；（2）2cos()43或y1sin32cos()43.3【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【解析】（1）由题意，C的普通方程为(x2)2(y1)21，x2cos所以C的参数方程为，（为参数）y1sin（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为y1k(x4)，即kxy14k0，|2k|由圆心到直线的距离等于1可得1，1k23解得k，所以切线方程为3x3y3430或3x3y3430，3将xcos，ysin代入化简得2cos()43或2cos()4333【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数fxxax3．（1）当a1时，求不等式fx6的解集;（2）若fxa，求a的取值范围．3【答案】（1）,42,.（2）,.2【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简fxa，由此求得a的取值范围.【解析】（1）当a1时，fxx1x3，x1x3表示数轴上的点到1和3的距离之和，则fx6表示数轴上的点到1和3的距离之和不小于6，故x4或x2，所以fx6的解集为,42,.（2）依题意fxa，即xax3a恒成立，xax3axx3a3，故a3a，所以a3a或a3a，3解得a.23所以a的取值范围是,.2【解析】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．