偏微分方程数值解例题答案

二、改进的Euler梯形方法的迭代公式(1.10)比Euler方法精度高,但其计算较复杂,在应用公式(1.10)进行计算时,每迭代一次,都要重新计算函数的值,且还要判断何时可以终止或转下一步计算.为了控制计算量和简化计算法,通常只迭代一次就转入下一步计算.具体地说,我们先用Euler公式求得一个初步的近似值,称之为预测值,然后用公式(1.10)作一次迭代得,即将校正一次.这样建立的预测－校正方法称为改进的Euler方法:预测:校正:(1.15)这个计算公式也可以表示为例1取步长，分别用Euler方法及改进的Euler方法求解初值问题解这个初值问题的准确解为.根据题设知(1)Euler方法的计算式为由,得这样继续计算下去，其结果列于表9.1.(2)改进的Euler方法的计算式为由，得这样继续计算下去，其结果列于表9.1.表9.1Euler方法改进的Euler方法准确值0.10.90000000.90095000.90062350.20.80190000.80526320.80463110.30.70884910.71532790.71442980.40.62289020.63256510.63145290.50.54508150.55761530.55634600.60.47571770.49055100.48918000.70.41456750.43106810.42964450.80.36108010.37863970.37720450.90.31454180.33262780.33121291.00.27418330.29235930.2909884从表9.1可以看出,Euler方法的计算结果只有2位有效数字,而改进的Euler方法确有3位有效数字,这表明改进的Euler方法的精度比Euler方法高.例2试用Euler方法、改进的Euler方法及四阶经典R-K方法在不同步长下计算初值问题在0.2、0.4、0.8、1.0处的近似值，并比较它们的数值结果.解对上述三种方法,每执行一步所需计算的次数分别为1、2、4。为了公正起见，上述三种方法的步长之此应为。因此，在用Euler方法、改进的Euler方法及四阶经典R-K方法计算0。2、0。4、0。8、1。0处的近似值时，它们的步长应分别取为0。05、0。1、0。2，以使三种方法的计算量大致相等。Euler方法的计算格式为改进的Eluer方法的计算格式为四阶经典R-K方法的计算格式为初始值均为，将计算结果列于表9.2.表9.2Euler方法（步长h=0.05）改进的Euler方法（步长h=0.1）四阶经典R-K方法（步长h=0.2）准确解0.20.80318660.80526320.80463630.80463110.40.62717770.63256510.63146530.63145290.60.48255860.49055100.48919790.48918000.80.36930360.37863970.37722490.37720451.00.28274820.29235930.29100860.2909884从表9.2可以看出，在计算量大致相等的情况下，Euler方法计算的结果只有2位有效数字，改进的Euler方法计算的结果有3位有效数字，而四阶经典R-K方法计算的结果却有5位有效数字，这与理论是一致的。例1和例2的计算结果说明，在解决实际问题时，选择恰当的算法是非常必要的。需要指出的是Runge-Kutta方法的基于Taylor展开法，因而要求解具有足够的光滑性。如果解的光滑性差，使用四阶Runge-Kutta方法求得数值解的精度，可能不如改进的Euler方法精度高。因此，在实际计算时，要根据具体问题的特性，选择合适的算法。一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分所确定的函数y在点x=0.5,1.0,1.5的近似值。解：该积分问题等价于常微分方程初值问题其中h=0.5。其向前欧拉格式为改进欧拉格式为将两种计算格式所得结果列于下表向前欧拉法改进欧拉法000010.50.50.4447021.00.889400.7313731.51.073340.84969二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题取步长h=0.1.解：4步显式法必须有4个起步值，已知，其他3个用4阶龙格库塔方法求出。本题的信息有：步长h=0.1；结点；经典的4阶龙格库塔公式为算得,,4阶4步阿达姆斯显格式由此算出三、用Euler方法求问步长应该如何选取，才能保证算法的稳定性？解：本题本题的绝对稳定域为得，故步长应满足求梯形方法的绝对稳定域。证明：将Euler公式用于试验方程，得到整理算时有舍入误差，则有据稳定性定义，要想，只须因此方法绝对稳定域为复平面的整个左半平面（？），是A-稳定的。五、对初值问题证明：用梯形公式求得的数值解为并证明当步长时，收敛于该初值问题的精确解证明：由梯形公式，有整理，得由此递推公式和初值条件，有，则有在区间上有，步长，由前面结果有由x的任意性，得所证。六、对于微分方程，已知在等距结点处的y的值为，h为步长。试建立求的线性多步显格式与与隐格式。解：取积分区间，对两端积分：对右端作的二次插值并积分得到线性4步显格式若对右端在两点上作线性插值并积分，有由此产生隐格式七、证明线性多步法存在的一个值，使方法是4阶的。解：由本题的公式，有当=9时，，局部截断误差是4阶的，故该多步法是4阶方法。数值积分习题解答说明1.确定下列求积公式中的参数，使其代数精度尽可能高，并指出对应的代数精度（1）（2）（3）（4）6.若用复化梯形公式计算问区间[0,1]应分成多少等份才能使截断误差不超过？若用复化辛普森公式，要达到同样的精度，区间[0,1]应分成多少等份？7．如果，证明用梯形公式计算定积分所得结果比准确值I大，说明其几何意义。10．构造Gauss型求积公式11.用n=2,3的高斯-勒让德公式计算积分13.证明等式试依据的值，用外推算法求π的近似值。定理6.4设函数QUOTE逼近数QUOTE的余项为QUOTE(6.23)则由，q为任意常数定义的函数QUOTE也逼近QUOTE，且有