第十一章弯曲问题的进一步研究与组合变形

第十一章弯曲问题的进一步研究与组合变形§11-1概述§11-3斜弯曲§11-4拉伸(压缩)与弯曲截面核心§11-6纵弯曲目录§11-2非对称截面梁的平面弯曲弯曲中心§11-5弯曲与扭转§11-1概述我们曾在第四章介绍过平面弯曲的概念：纵向对称面梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲。问题：当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但外力的作用面与该纵向对称平面间有一夹角，则该梁发生什么变形呢？斜弯曲斜弯曲平面弯曲与扭转工程中的许多受力构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形，称为组合变形。轴向压缩和弯曲轴向拉伸和扭转偏心压缩（轴向压缩和弯曲）当组合变形是属于小变形的范畴时，且材料是在线弹性范围内工作，就可以利用叠加法进行分析。其基本步骤是：（1）将载荷分解，得到与原载荷等效的几组简单载荷，使构件在每组简单载荷作用下只产生一种基本变形。（2）分别计算构件在每种基本变形下的应力和位移。（3）将每种基本变形下的应力和位移叠加，就是组合变形的解。本章讨论斜弯曲、拉压与弯曲、弯曲与扭转等的组合变形情况§11-2非对称截面梁的平面弯曲弯曲中心一非对称截面梁的平面弯曲1.对称截面梁的平面弯曲静力学条件横截面不会绕y轴转动，只会绕z轴转动，梁变形后的轴线一定位于xy平面内，与外力偶作用面共面，梁产生平面弯曲。2.非对称截面梁平面弯曲的条件平面弯曲非对称截面梁产生平面弯曲的条件：当外力（包括外力偶和横向力）作用在梁的形心主惯性平面内（或作用在与形心主惯性平面平行的平面内）时，梁将产生平面弯曲。二开口薄壁截面弯曲中心上述两个剪力Fsy和Fsz作用线的交点称为横截面的弯曲中心（也称剪切中心，简称弯心或剪心）只要横向力通过弯心并与一个形心主轴平行，则梁只发生平面弯曲。如果横向力与一个形心主轴平行但不通过弯心，则梁不仅发生平面弯曲，还将发生扭转变形。由于Fsy和Fsz在横截面上的作用线位置与外力的位置、大小无关，故截面弯心的位置也与外力的位置、大小无关，仅与截面的形状和尺寸有关。这就是说，弯心的位置是横截面的几何特性。常见开口薄壁截面的弯曲中心位置A和C重合A位于对称轴上A位于两矩形中心线的交点处开口薄壁截面梁受横向力作用时，其变形形式可归纳为：（1）若横向力和形心主轴平行或重合，且通过截面的弯心，则梁产生平面弯曲；（2）若横向力和形心主轴平行或重合，但不通过截面的弯心，则梁同时产生平面弯曲和扭转变形；（3）若横向力不和形心主轴平行或重合，但通过截面的弯心，则梁产生斜弯曲；（4）若横向力既不和形心主轴平行或重合，又不通过截面的弯心，则梁同时产生斜弯曲和扭转变形；例11-1悬臂梁的横截面分别采用如图所示三种截面，在自由端受集中力F作用，F力均通过这些截面的形心C。试指出这三种截面梁各产生何种变形形式。平面弯曲和扭转斜弯曲和扭转斜弯曲§11-3斜弯曲前面讲过只要作用在杆件上的横向力通过弯心，并与一个形心主轴方向平行，杆件将只发生平面弯曲。但在工程实际中，有时横向力通过弯心，但不与形心主轴平行。例如屋架上倾斜放置的矩形截面檩条，它所承受的屋面荷载q就不沿截面的形心主轴方向。试验结果以及后面的分析均表明此时挠曲线不再位于外力所在的纵向平面内，这种弯曲称为斜弯曲。(1)将力F沿y、z轴方向分解梁在竖直平面xy内发生平面弯曲，z轴为中性轴一.正应力计算及强度条件Fy单独作用：Fz单独作用：梁在水平平面xz内发生平面弯曲，y轴为中性轴斜弯曲：两个互相垂直方向的平面弯曲的组合(2)任意x截面上的弯矩(3)x截面上任一点C（y,z）处的正应力上两式弯矩均为绝对值叠加（代数和）：(4)危险截面（固定端）上的弯矩及正应力分布危险截面（固定端）上正应力分布规律a点:c点:(5)强度条件由于角点处切应力为零，应按单向应力状态建立强度条件在Fy和Fz单独作用下自由端的挠度分别为总挠度为若以b角表示总挠度与y轴之间的夹角，则二.挠度计算由于Iy≠Iz（矩形截面），所以b≠j表明：梁在斜弯曲时的挠曲平面与外力所在的纵向平面不重合讨论：（1）若梁的截面是正方形，由于Iy=Iz，所以b=j，故梁不会发生斜弯曲，而发生平面弯曲。正多边形也是如此。（2）若梁的截面是圆形，由于Iy=Iz，所以b=j，故梁不会发生斜弯曲，而发生平面弯曲。例11-2外力F通过截面形心，且与y方向的夹角j＝15°，材料许用应力[s]=170MPa,试校核此梁的强度。解：梁跨中截面上的弯矩最大，故为危险截面，该截面上的弯矩值为在两个形心主惯性平面内的弯矩分量分别为故此梁满足正应力强度条件讨论：若F力的作用线与y轴重合，即j＝0，则梁的最大正应力为若梁的横截面没有外棱角，例如图所示的椭圆形截面，y、z轴为形心主轴。以y0、z0表示中性轴上任一点的坐标，因中性轴上各点的正应力都为零，故将y0和z0带入（11-1）式，得（中性轴方程）可见斜弯曲时中性轴是一条通过横截面形心的直线。该直线的斜率（中性轴与y轴的夹角的正切）为比较(a)式和(11-4)式中性轴确定了中性轴的位置后，作两条与中性轴平行而与横截面周边相切的直线，将所得切点的坐标分别代入（11-1）式，就可求得指定横截面上的最大拉应力和最大压应力。而弯矩最大截面上的切点就是梁的危险点。故中性轴总是垂直于挠曲平面例11-3直径为d的圆截面悬臂梁，在自由端受集中力Fy和Fz作用。试求该梁的最大弯曲正应力。解：绘弯矩图由弯矩图可知：A为危险截面所以课堂练习：（1）圆形截面悬臂梁的直径为d，受力如图。对危险截面A上的危险点位置，分别用a点表示最大拉应力，b点表示最大压应力，则正确的危险点位置为（），其值为（2）矩形截面简支梁受横向力F1和轴向力F2作用，如图所示。危险截面为跨中D截面，D截面上最大拉应力作用点位置为（），梁的最大拉应力为§11-4拉伸（压缩）与弯曲截面核心一、轴向拉伸(压缩)和弯曲的组合变形危险截面为固定端A截面由左图可知，A截面的上边缘各点有最大拉应力，这些点处于单向应力状态。设材料的抗拉和抗压强度相同，则拉伸与弯曲组合时的强度条件为例11-4简易吊车，最大吊重F=13kN，AB梁为工字钢，材料为Q235钢，许用应力[s]=100MPa。试按正应力强度条件选择工字钢型号。解（1）受力分析（取AB）由受力分析可知，AB梁为轴向压缩和弯曲的组合变形。分解：（2）变形分析绘AB杆的弯矩图和轴力图D截面为危险截面初选：先不考虑轴力FN的影响，由弯曲正应力强度条件进行选择。查表，16号：W=141cm3A=26.1cm2再按压、弯组合进行强度校核，最大应力为压应力（D截面，上边缘）故无需重新选择截面型号（3）选择工字钢型号当直杆受到与杆的轴线平行但不通过截面形心的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。(1)力F向形心简化实质：轴向拉伸和两个平面弯曲的组合变形(2)任一截面上C(y,z)点应力二、偏向拉伸(压缩)叠加得C点的应力为(3)最大应力和强度条件设材料的拉压强度不等，则偏心拉压的强度条件为+=+==设材料的抗拉和抗压强度相同，则压缩和弯曲组合时的强度条件为例11-5力F平行于杆的轴线。求杆的st,max和sc,max解：（1）求形心位置(设z1为参考轴)y为对称轴，zC=0(2)外力向形心简化(3)计算截面的几何性质(4)求st,max和sc,max经分析可知，a点有最大拉应力最大压应力可能在b点或c点三、无棱角情况及截面核心(1)确定中性轴位置即由(I-9b)式（中性轴方程）可见中性轴是一条不通过横截面形心的直线。中性轴(2)确定危险点位置作两条与中性轴平行而与截面周边相切的直线，其切点即为危险点，将两个切点的坐标分别带入(a)式，就可求得横截面上的最大拉应力和最大压应力。截面核心的概念由上式可知，中性轴在y、z轴上的截距（ay，az）与偏心力作用点的坐标（yF，zF）符号相反，所以中性轴与偏心力的作用点总是位于形心的相对两侧。同时，ay与yF及az与zF的绝对值分别成反比，表明偏心力作用点离形心越近，中性轴就离形心越远。作为极端情况，当偏心距为零时，中性轴就位于无穷远处。对于砖、石或混凝土等材料，由于它们的抗拉强度较低，在这类材料的偏心受压杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因而当偏心力的作用点位于形心附近的一个限界上时，可以使得中性轴恰与截面的周边相切，这时横截面上只出现一种性质的应力（偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力）。截面形心附近的这样一个界限所围成的区域就称为截面核心。中性轴例11-6求直径为d的圆截面的截面核心解：过B点作圆周的切线①，将它看作是中性轴，它在形心轴y、z上的截距分别为圆截面的将它们带入（11-6）式，得由于截面对于圆心是极对称的，因而核心边界对于圆心也应该是极对称的，所以圆截面核心边界是一个半径为d/8的圆。例11-7确定边长为h和b的矩形截面的截面核心解：作矩形截面BC边的切线①，将它看作是中性轴，它在y、z上的截距分别为将它们带入（11-6）式，得再作CD边的切线②，它在y、z轴上的截距分别为ay2=∞，az2=b/2，由此可得核心边界上点2的坐标为当中性轴①按逆时针方向绕C点旋转到②时，有无数多中性轴通过C点，但均未进入横截面之内。将C点的坐标带入中性轴方程(11-5)式，可见，中性轴绕C点旋转过程中，偏心力作用点移动的轨迹为直线，因此，连接点1与点2的直线，即为核心边界的一部分。因为y、z轴为横截面的对称轴，所以核心边界对y轴和z轴应分别对称。于是得到矩形截面的截面核心为一菱形。菱形的对角线长度分别为h/3和b/3。得练习：铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力[t]＝30MPa，许用压应力[c]＝120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。解：（1）计算截面的几何性质（2）立柱横截面的内力（3）立柱横截面的最大应力（4）求压力F§11-5弯曲与扭转弯曲与扭转的组合变形是机械工程中常见的情况。本节主要研究圆截面杆（实心、空心）在弯曲与扭转组合时的强度计算问题。研究AB杆（1）外力F向B截面形心简化，得（2）作AB杆的内力图由内力图可知，固定端A截面为危险截面。（3）危险截面A的应力分布及危险点危险点：1点，2点（4）强度条件若材料为拉、压屈服极限相同的塑性材料，则应采用第四强度理论，也可以用第三强度理论来建立强度条件。式中：可以看出，对于许用应力相同的材料，1、2两点同等危险，只需对其中一点进行强度校核即可。式中，Wz为圆截面的弯曲截面系数；M和T分别是危险截面上的弯矩和扭矩。由于圆截面的WP＝2Wz，为计算方便，将相当应力表达式改写为(11-11a)(11-12a)以上的分析和计算公式同样适用于空心圆截面杆的弯曲与扭转组合变形，因为空心圆截面的扭转截面系数也是其弯曲截面系数的两倍。注意：(11-11a)和(11-12a)只适用于圆杆的弯曲和扭转组合变形。（）圆轴在危险截面上为两向弯曲（Mz、My）与扭转（T）组合强度条件：例11-8图示一45号钢制的实心圆轴。齿轮C的直径dC＝200mm，齿轮D的直径dD＝100mm。材料的许用应力[s]=90MPa，试按第四强度理论求轴的直径。解：将齿轮上的切向力向轴线简化，得计算简图。由于圆截面不会发生斜弯曲，故可以把My与Mz按矢量合成的方法求出总弯矩，经分析，B截面总弯矩最大。求第四强度理论的相当弯矩根据公式所建立强度条件为代入数据有所以取轴的直径为68mm。例11-9图示结构中，AB杆为直径d＝101mm的圆截面杆，其许用正应力[s]=170MPa。试校核AB杆的强度。解：将作用在BC杆上的载荷向B截面的形心简化。根据简化后的载荷图，作出相应的内力图由内力图可知A为危险截面A截面总弯矩A截面上的最大弯曲正应力为A截面上的轴向拉伸应力为A截面总的拉应力危险点的应力状态如图所示用第四强度理论校核其强度故AB杆的强度满足要求。A截面上的最大扭转切应力为也可用第三强度理论校核其强度*例11-10两根材料相同且直径均为d的立柱，上、下两端分别与强劲的顶、底板刚性连接，如同（a）所示。在顶板面内施加扭转力偶矩Me，试求两杆顶端的内力。解：由于两杆的材料及几何特性完全相同，所以顶板将在其自身平面内绕两杆之间的中点转动某角。如图（b）所示。由于顶板转动角，从而带动每根杆的顶端在水平面内也转动了角，并产生了水平线位移Δ。如图（c）所示。取顶板为分离体（图e）每一根杆作为悬臂梁，在自由端在Fs和M时，其自由端的挠度为Δ，转角为零。每一根悬臂梁其自由端的扭转角与杆端的扭矩的关系为联立求解（1）~（5）式，得杆端内力为§11-6纵弯曲本节讨论小挠度的情形，即小刚度秆在小偏心压缩问题。挠曲线近似微分方程7-1为了考虑由挠度引起的附加弯矩，需要求出偏心压杆的挠曲线方程。w为任一x截面处的挠度，则截面上的弯矩为则上式可以改写为二阶齐次线性微分方程通解为两端铰支压杆的位移边界条件x＝0处，w＝0x＝l处，w＝0从而w与F及EIz之间的关系隐含在k之中。由对称性可知，最大挠度d发生在杆的中点，将x＝l/2代入，得横截面上最大压应力发生在杆中点的凹侧边缘，其表达式为由前面可以看出，尽管材料在线弹性范围内工作，但是由于考虑了挠度对内力的影响，从而使位移、内力和应力均与压力F成非线性关系，也就不能在用叠加法进行计算。这种非线性问题通常称为几何非线性问题。书中还有关于强度计算的说明。(P227)