PAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#第一章随机变量习
一1、写出下列随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和=‘:3,4,,18)(2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数=110,11,''(3)对某工厂出厂的产品进行检验,合格的记上“正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出2个次品就停止,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。用“0”表示次品,用“1”表示正品。={00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}(4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标,「二{(x,y)|x2y2<1}(5)将一尺长的木棍折成三段,观察各段的长度1={(x,y,z)|x0,y0,z0,xyz=1}其中x,y,z分别表示第一、二、三段的长度(6).10只产品中有3只次品,每次从其中取一只(取后不放回),直到将3只次品都取出,写出抽取次数的基本空间U=“在(6)中,改写有放回抽取”写出抽取次数的基本空间U=解:(1)U={e3,e4,…e10。}其中ei表示“抽取i次”的事件。i=3、4、…、10(2)U={e3,e4,…}其中ei表示“抽取i次”的事件。i=3、4、…2、互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件的关系⑴1x-a|
20与xW20对立事件(3)x>20与x<18互不相容(4)x>20Jfx<22相容事件(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品互不相容(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品对立事件解:互不相容:AB=@;对立事件:(1)AB=®且AuB=C3、设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件(1)A发生,B与C不发生-aBC(2)A与B都发生,而C不发生-ABC(3)A,B,C中至少有一个发生-A=B=C(4)A,B,C都发生-ABC(5)A,B,C都不发生-ABC(6)A,B,C中不多于一个发生-ABuAC^BC(7)A,B,C中不多于两个发生-A'JBuC(8)A,B,C中至少有两个发生-AB〜ACuBC4、盒内装有10个球,分别编有1-10的号码,现从中任取一球,设事件A表示“取到的球的号码为偶数”,事件B表示“取到的球的号码为奇数”,事件C表示“取到的球的号码小于5",试说明下列运算分别表示什么事件.(1)AUB必然事件(2)(3)C取到的球的号码不小于5(4)(5)AC2或4(6)(7)B°C6或8或10(8)5、指出下列命题中哪些成立,哪些不成立(1)aUb=abUb成立(3)AJBC=ABC不成立AB不可能事件aUc1或2或3或4或6或8或10AC5或7或9BC2或4或5或6或7或8或9或10(2)AB=aUb不成立(4)(AB)(AB)=*成立⑸若人=8,则人=人8成立(6)若AB=®,且CuA,则BC=®成立⑺若AuB,则B匚A成立(8)若BUA,则AUB=A成立7、设一个工人生产了四个零件,A表示事件“他生产的第i个零件是正品”(i=123,4),用A,A2,A3,4的运算关系表达下列事件(1)没有一个产品是次品;(1)B1=A1A2A3A4⑵至少有一个产品是次品;(2)B2=A=A2=A32A4=A1A2A3A4(3)只有一个产品是次品;(3)b3=A4AAUAA2A3A4UAA2A3A43AA2A3A4(4)至少有三个产品不是次品4)B4=A1A2A1A4-AiA2A3A4-AA2A3A4-AiA2A3A4-AiA2A3A48.设E、F、G是三个随机事件,试利用事件的运算性质化简下列各式:(euh)n(Euf)(2)(Euf”(euf)n(EUF)(3)(eUf,(fUg)解:(i)原式=(eriE)u(enFw(en「)u(Fn「)=E原式=(eUfq(eufn(EUh)=Fn(EUh)=FnE原式=(EnFW(ECg)U(FnF)U(FPlG)=FU(E「G)9、设A,B是两事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7,问(1)在什么条件下P(AB)取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P(AB)取到最小值,最小值是多少?解.⑴AB,P(AB)=0.6(2)AB=S,P(AB)=0.310.设事件A,B,C分别表示开关a,b,c闭合,D表示灯亮,TOC\o"1-5"\h\z则可用事件A,B,C表示:(1)D=ABJC;⑵D=(AUBC。1111、设A,B,C是二事件,且P(A)=P(B)=P(C)=—,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=-,48求A,B,C至少有一个发生的概率.解:P(A-B..C):P(A)P(B)P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)P(ABC)AB二ABC0-P(ABC):P(AB)=0.P(ABC)=01.112.(1)设事件A,B的概率分别为-与—,且A与B互斥,则P(AB)=541.5-.一个盒中有8只红球,3只白球,9只蓝球,如果随机地无放回地摸3只14球,则取到的3只都是红球的事件的概率等于—285。一袋中有4只白球,2只黑球,另一只袋中有3只白球和5只黑球,如果从每只袋中各摸一只球,则摸到的一只是白球,一只是黑球的事件的概率13等于240.设A1,A2,A3是随机试验E的三个相互独立的事件,已知P(A1)=a,P(A2)=P,P(A3)=¥,则A1,A2,A3至少有一个发生的概率是1y-二)(1-0(1-)..一个盒中有8只红球,3只白球,9只蓝球,如果随机地无放回地摸3只球,34则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于5713、在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任取200个,求(1)恰有90个次品的概率;(2)至少有2个次品的概率.P(1)=90110C400C1100解:2001500C200P(2)=1-泮_C15001199C400C11002000C150014、两射手同时射击同一目标,甲击中的概率为0.9,乙击中的概率为0.8,两射手同时击中的概率为0.72,二人各击中一枪,只要有一人击中即认为“中”的,求“中”的概率.解:A=“甲中"B=“乙中”P(A.B)=P(A)P(B)-P(AB)=0.90.8-0.72=0.9815、8封信随机地投入8个信箱(有的信箱可能没有信),问每个信箱恰有一封信的概率是多少?-8!解:P(A)=-8816、房间里有4个人,问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少?解:设所求事件a=“至少有两个人的生日在同一个月的”A="任何两个人的生日都不在同一个月”一A4AA4P(A)=潦,P(A)=1—P(A)=1一有=0.427121217、将3个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各是多少?解:3个球放入4个杯子中去共有43种放法,设Bi表示杯子中球的最大个数为n的事件(n=1,2,3),B1表示每只杯子最多只能放一个球,共有A3种,故TOC\o"1-5"\h\zA33P(B1)=忖=-;B2表小有一只杯子中放2个球,先在3个球中任取2只放入4个48杯子中的任意一只,共有C/m4种方法,剩下的一个球可以放入剩下的3只杯子中的任一只,有3种放法,故B2包含的基本事件数为C:2M4M3=36,于是369P(B2)=二■=—;B3表小有一只杯子中放3个球,共有4种万法,故43161618.设一个质点等可能地落在xoy平面上的三角形域D内(其中D是x=0,y=0,x+y=2所围成的),设事件A为:质点落在直线y=1求P(A)y八2■1D1o2xP(A)=D1D2(1.2)22219、(1)已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(B|aUb),求P(AB)一―一111(2)EaP(A)=-,P(B|A)=-,P(A|B)=-432解:(1)P(B|AB)=0.25…1⑵P(A-B)=-320、一批产品共100个,其中有次品5个,每次从中任取一个,取后不放回设A(i=1,2,3,)表示第i次抽到的是次品,求:,P^XL包99PAA)=&,P(A2|A)=959999P(KAJ=9499叫AA2噎,21、市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%乙厂占30%甲厂产品的合格率为95%乙厂的合格率是80%若用事件A、A分别表示甲、乙两厂产品,B表示合格品。试写出有关事件的概率.⑴P(A)=70%(2)P(A)=30%⑶P(B|A)=95%(4)P(B|A)u80%(5)P(B|A)-5%(6)P(B|A)-20%22、袋中有10个球,9个是白球,1个是红球,10个人依次从袋中各取一球,每人取一球后,不再放回袋中,问第一人,第二人,……,最后一人取得红球的概率各是多少?解:解:设A第i个人取得红球的事件(i=1,2,…,10),则刀为第i个人取得白球的事件,1TOC\o"1-5"\h\z显然P(A1)=—,A2=A1A2-A1A2=A1A2(AA2=)10911P(A2)=P(AA2)=P(A)P(A2|A1)二10910l9!1同理RA。)=P(A1A2A9A10)=一二一10!1023、某种动物由出生活到20年以上的概率为0.8,活25年以上的概率为0.4,问现年20岁的这种动物活支25岁以上的概率是多少?解:设A为{由出生活到20岁}的事件,B为{由出生活到25岁}的事件则所求事件的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)BAAB=BP(B|A)=P(AB)P(A)P(B)P(A)0.410.8一224、十个考签中四个难的,三人参加抽签,(不放回)甲先、乙次、丙最后,记事件A,B,C分别表示甲、乙、丙各抽到难签,求P(A),P(AB),P(AB),P(ABC).“42—41解:P(A)=—,P(AB)=—P(AB)=—P(ABC)=—1015153025.设00,则C的值应是—e»。二,.二,K二,K,解:'P*=k,'=1="C—=1=C%—=1=Ce=1=C=e1k=0k=0k!k=0k!5设随机变量之的分布律是,k=123,4c1产5则P/一<'-<一产0.8TOC\o"1-5"\h\z、22,14clA111115A解:P=k二A————二—Akm2481616—A=1得A=—1615P2:二:二5^p=1p=2=16-1=0.8215IL24.若定义分布函数F(x)=P^0.99,必须n之1g0.01%20.64,即射击次数必须不小于n=21次1g0.811、电话站为300个用户服务,在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01,试用泊松定理近似计算,在一小时内有4个用户使用电话的概率.解:由二项分布得P{x=k}=C:pkqn*P{x=4}=C20(0.01)4(0.99)296现用泊松定理近似计算,;n=300,p=0.01:九=np=3,故一.34e一一P{x=4}=0.1684!12、某一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在某天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?(利用泊松定理计算)解:设x为发生事故的次数,则P{x=k}=C1000(0.0001)k(0.9999)1000^用泊松定理计算,np=10000.0001=0.101__01P{x2}=1-P{x=0}-P{x=1}=1-e.-0.1e.=0.0046813设X服从泊松分布,且已知P{X=1}=P{X=2},求P{X=4}ke解:P{x=k}=——k!Tu一,由P{x=1}=P{x=2},得1e-1!2!24e=0.0903九=2,九=0(舍去儿=0,因为九>0)P{x=4}=-14、.求离散型随机变量之的分布律为Pd=k)=b九k,(k=1,2,••),的充分必要条件。解:由1—P'=k=b'k—0oO二bvbk=b1=11bh一二1T~bQOb'k=1bkd0"115设期艮从参数九=1的指数分布,求方程4x2+4改+M+2=0无实根的概率解:△=16U2—16G+2)<0知-1<£<2故P{—1<之<2}=je'dx=1-e^'Ax+B1MxM316.已知连续型随机变量亡的概率密度为(x)=J且知UTOC\o"1-5"\h\z,0在区间(2,3)内取值的概率是在区间(1,2)内取值的概率的二倍,试确定常数A,B。解:由条件p[2=2P舟119、在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标,这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求x的分布函数.’0x<0解:P{0<1}.解:P{Y=k}=C;e2k(1-e-)5Js,k=0,k,123,4,5P{Y_1}=0.5166224、设X〜N(3,22),求(1)P{22}P{X>3}(5)确定c使得P{XAc}=P{XEc}解:(1)P{2;x£5}=0.5328(2)0.9710⑶0.6977(4)0.5(5)c=325、一个工厂生产的电子管寿命X(以小时计),服从参数N=160,仃的正态分布,若要求P{1200.80,允许仃最大为多少?解200-160、/,120-160、/,40、丁,-40、-40x彳P{120设计
的,设男子身高x服从N=170cm,a=6cm的正态分布,即X〜N(170,62)问车门的高度应如何确定?解:设车门高度为hcm,按设计要求P{x2h}E0.01,或P{x