大学数学练习题

大学数学习及一填空题:1一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.2二阶线性齐次微分方程的两个解y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.3方程0'2''yyy的基本解组是_________.4一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5方程21ydxdy的常数解是________.6方程0')('')(xqxtpxt一个非零解为x1(t),经过变换_______7若4(t)是线性方程组XtAX)('的基解矩阵,则此方程组的任一解4(t)=___________.8一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________.9满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.10如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.11一阶线性方程)()('xqyxpy有积分因子().12求解方程yxdxdy/的解是().13已知(0)()3222dyxyxdxyxaxy为恰当方程,则a=____________.140)0(22yyxdxdy,1:xR,1y由存在唯一性定理其解的存在区间是().15方程0652ydxdydxdy的通解是().16方程534yxydxdy的阶数为_______________.17若向量函数)()();();(321xxxxn在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w(x)=____________.18若P(X)是方程组)(xAdxdy的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________.19．方程0d)1(1)d(22yxyxyx所有常数解是____________________．20．方程04yy的基本解组是____________________．21．方程1ddyxy满足解的存在唯一性定理条件的区域是____________________．22．函数组)(,),(),(21xxxn在区间I上线性无关的____________________条件是它们的朗斯基行精选文库--2列式在区间I上不恒等于零．23．若)(),(21xyxy是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们____________________共同零点．二单项选择:1方程yxdxdy31满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是().(A)上半平面(B)xoy平面(C)下半平面(D)除y轴外的全平面2方程1ydxdy()奇解.(A)有一个(B)有两个(C)无(D)有无数个3在下列函数中是微分方程0''yy的解的函数是().(A)1y(B)xy(C)xysin(D)xey4方程xeyyx''的一个特解*y形如().(A)baex(B)bxaxex(C)cbxaex(D)cbxaxex5)(yf连续可微是保证方程)(yfdxdy解存在且唯一的()条件．（A）必要（B）充分(C)充分必要(D)必要非充分6二阶线性非齐次微分方程的所有解().(A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间(C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间7方程323ydxdy过点(0,0)有().(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解8初值问题10'x01x,11)0(x在区间,t上的解是().(A)ttut)((B)teut)((C)etut)((D)eeut)(9方程0cos2xyxdxdy是().(A)一阶非线性方程(B)一阶线性方程（C)超越方程(D)二阶线性方程10方程032dxdydxdy的通解是().(A)xeCC321(B)xeCxC321(C)xeCC321(D)xeC32精选文库--311方程0442ydxdydxdy的一个基本解组是().(A)xex2,(B)xe2,1(C)xex22,(D)xxxee22,12若y1和y2是方程0)()(2yxqdxdyxpdxdy的两个解,则2211yeyey（e1,e2为任意常数）(A)是该方程的通解(B)是该方程的解(C)不一定是该方程的通解(D)是该方程的特解13方程21ydxdy过点(0,0)的解为xysin,此解存在().(A)),((B)]0,((C)),0[(D)]2,2[14方程xeyxy23'是().(A)可分离变量方程(B)齐次方程(C)全微分方程(D)线性非齐次方程15微分方程01yxdxdy的通解是().(A)xcy(B)cxy(C)cxy1(D)cxy16在下列函数中是微分方程0''yy的解的函数是().(A)1y(B)xy(C)xysin(D)xey17方程xeyyx''的一个数解xy形如().(A)baex(B)bxaxex(C)cbxaex(D)cbxaxex18初值问题10'x11)0(;01xx在区间t上的解是().(A)ttut)((B)teutt)((C)ttetu)((D)ttteeu)(19．方程yxydd的奇解是（）．（A）xy（B）1y（C）1y（D）0y20.方程21ddyxy过点)1,2(共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三21．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．精选文库--4（A）n（B）n-1（C）n+1（D）n+222．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）．（A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解（C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解23．如果),(yxf，yyxf),(都在xoy平面上连续，那么方程),(ddyxfxy的任一解的存在区间（）．（A）必为),(（B）必为),0(（C）必为)0,(（D）将因解而定三求下列方程的解:1求下列方程的通解或通积分:(1)nyydxdy1(2)xyxydxdy21(3)5xyydxdy(4)0)(222dyyxxydx(5)3)'(2'yxyy2求方程的解01)4()5(xtx3解方程:xydxdycos2并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解4求方程:xytgxydxdy5求方程:26xyxydxdy的通解6求0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解.7求解方程:022244xdtxddtxd8求方程:014455dtxdtdtxd的解9求方程25'5''xyy的通解10求下列方程组的通解xdtdytydtdxsin1精选文库--511求初值问题0)1('yyxy11:xR1y的解的存在区间并求出第二次近似解12求方程的通解(1)2yxydxdy(2)xyxydxdytan(3)0)4()3(2dyxydxxy(三种)(4)04524ydxdydxdy13计算方程xyy2sin34''的通解14计算方程txdtdxdtxdcos44215求下列常系数线性微分方程:xxeyyy210'2''16试求02x21x的基解矩阵17试求矩阵12A41的特征值和对应的特征向量.18试求矩阵53A35的特征值和特征向量19解方程组13''21yy2221yy20．求下列方程组的通解yxtyyxtx43dd2dd．四名词解释1微分方程2常微分方程、偏微分方程3变量分离方程4伯努利方程5Lipschitz条件6线性相关五证明题1在方程0)(')(''yxqyxpy中已知p(x);q(x)在);(上连续求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.2设x1(t)、x2(t)分别是非齐次性线方程精选文库--6)()()(1111tfxtGdtxdtGdtxdnnnnn)()()(2111tfxtGdtxdtGdtxdnnnnn证明：x1(t)+x2(t)是方程)()()()(21111tftfxtGdtxdtGdtxdnnnnn的解。3设f(x)在[0；+]上连续且limf(x)=0求证：方程)(xfydxdy的一切解y(x)；均有limy(x)=04在方程0)(')(''yxqyxpy中p(x)、q(x)在（,）上连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w（x）是（,）上的严格单调函数。5证明：x1(t)+x2(t)是方程)()()(2111tfxadtxdtcdexdtnnnnn的解。6证明：函数组xxxneee21,（其中当ji时ji）在任意区间（a,b）上线性无关。7．在方程)()(ddyyfxy中，已知)(yf，)(x在),(上连续，且0)1(．求证：对任意0x和10y，满足初值条件00)(yxy的解)(xy的存在区间必为),(．8．在方程0)()(yxqyxpy中，已知)(xp，)(xq在),(上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切．练习题答案一填空题:1、22、线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3、ex;xex4、开5、1y6、ydtxx17、ct)(,c为常数列向量xx精选文库--78、y=x2+c9、初始10、常微分方程11、ep(x)dx12、x2+y2=c;c为任意正常数13、/14、21;2115、261656665ppycpx16、417、018、cx)(；其中c是确定的n维常数列向量19．1,1xy20．xx2cos,2sin21．}0),{(2yRyxD，（或不含x轴的上半平面）22．充分23．没有二单项选择1、D2、C3、C4、D5、B6、C7、A8、D9、A10、C11、D12、B13、D14、D15、B16、C17、D18、D19．D20．B21．A22.C23．D三求下列方程的解1(1）解：当1,0yy时，分离变量取不定积分，得Cdxnyydy1通积分为1ny=Cex（2）解：令y=xu,则,dxduxudxdy代入原方程，得21udxdux分离变量，取不定积分，得nCxdxudu112（0C）精选文库--8通积分为：nCxxy1arcsin（3）解：方程两端同乘以y-5,得xydxdyy45令y-4=z，则,4y-5-dxdzdxdy代入上式，得xzdxdz41通解为414xCezx原方程通解为4144xCeyx（4）解：因为xNxyM2，所以原方程是全微分方程。取（x0,y0）=（0，0）原方程的通积分为xyCdyyxydx0022即Cyyx3231（5）解：原方程是克莱洛方程，通解为：y=cx+2c32解：设dtdxy则方程化为01ytdtdx，积分后得y=ct即ctdtdx于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5其中c1,c2,c3,c4,c5为任意常数=)]()()()()([)]()()()(dtx(t)d[21111111nntxtGdttxdtGdttxdtxtGdttxdtGnnnnnnnn=f1(t)+f2(t)故x1(t)+x2(t)为方程)()()()(111txGdttxdtGdttxdnnnnn=f1(t)+f2(t)的解。3解：将变量分离，得到xdxydycos2两边积分，即得cxysin1因而，通解为cxysin1精选文库--9这里c是任意常数。以x=0,y=1代入通解中以决定任意常数c，得到c=-1因而，所求特解为xysin114解：以uxy及udxdyxdxdy代入，则原方程变为tguuudxdux即xtgudxdu将上式分离变量,即有xdxctgudu两边积分,得到cxnunsin这里'c是任意函数,整理后,得到xeuc'sin令cee',得到sinu=cx5解:令z=y-1得dxdyydxdz2代入原方程得到xzxdxdz6这是线性方程,求得它的通解为826xxcz代回原来的变量y,得到8126xxcy这就是原方程的通解。此外，方程还有解y=0。6解：这里M=3x2+6xy2.N=6x2y+4y3，这时xyxNxyyM12.12因此方程是恰当方程。现在求u，使它同时满足如下两个方程2263xyxxu精选文库--103246yyxyu由（1）对x积分，得到)(3223yyxxu为了确定)(y，将（3）对y求导数，并使它满足（2），即得32246)(6yyxdyydyxyu于是dyyd)(=4y4积分后可得)(y=y4将)(y代入（3），得到u=x3+3x2y2+y4因此，方程的通解为x3+3x2y2+y4=c这里c是任意常数7解：特征方程01224即特征根i是重根，因此方程有四个实值解cost、tcost、sint、tsint故通解为x=(c1+c2t)cost+(c3+c4t)sin其中c1;c2;c3;c4为任意常数8解：令ydtxd44则方程化为：01ytdtdy积分后得y=ct即ctdtxd44于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t1+c5其中c1;c2⋯c5为任意常数，这就是原方程的通解。9解对应齐次方程的特征方程为052，特征根为5,021齐次方程的通解为y=C1+C2e5x因为a=0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为y1(x)=x（Ax2+Bx+C）代入原方程，比较系数确定出精选文库--11A=31，B=51，C=252原方程的通解为xxxeCCyx25251312352110解：先解出齐次方程的通解yx=C1ttsincos+C2ttcossin令非齐次方程特解为yx~~=C1(t)ttsincos+C2(t)ttcossin)('),('21tCtC满足ttsincosttcossin)(')('21tCtC=0sin1t解得1)(',sincos)('21tCtttC积分，得ttCtntC)(,sin1)(21通解为tttnttttntttCttCyxcossin1sinsinsin1coscossinsincos2111解：M=max),(yxf=441),min(Mbah故解的存在区间为411x2)q0(x)=0q1(x)=0313|3)02(xgdggxxq2(x)=0+xxggggdgggg]91362633[]91929[32=4211601893xxxx12求方程的通解:1)2yxydxdy解:变形yxyyyxdxdy12(1),将y看作自变量,x为未知函数解齐线性方程xydydx1,通解为x=cy精选文库--12令x=c(y)y⋯..(2)微分得,)()())((ycydyydcdyyycddydx由(1)(2)知yyyycycydyydcyyx)()()(1)(dyydc,积分得cyyc~)(故)~(cyxy(c~是任意常数)2)xyxydxdytan解:令uxy则uxy,于是udxduxdxdy则原方程变为uuudxduxtan即xudxdutan将上式分离变量有xdxuducot积分得,~1sin1cxnunc~为任意常数。整理xeuc?~sin令0~cce得)0(sinccxu方程还有解tanu=0即sinu=0,故通解为sinu=cx(c为任意常数)3）0)4()3(2dyxydxxy(三种方法)解：法一，这里M=y-3x2,N=-(4y-x)=4-4y,1,1xNyM因此此方程是恰当方程现求u使23xyxu（1），yxyu4（2）对（1）中x积分得)(3yxyxu（3）对（3）中y求导ydyydxyu4)(积分得22)(yy，代入（3）得232yxyxu故通解为cyxyx232，c为任意常数法二，重新组合得精选文库--130432xdyydydxxydx，即0223xdydydxydx)02(23yxxyd于是通解为cyxxy232其中c是任意常数。4）04)(5)(24ydxdydxdy解：令dxdyp则42244145,045ppyypp对x求导得0)25(,)25(25333pdxdpppdxdpppdxdppdxdppP积分得pcpppcppxcpxpp342424145445,)445(于是方程通解为42341454145ppypcppx（p=0）13方程xyy2sin34''的通解解：齐次方程是iyy2,04,04''2,12tctcy2sin2cos21由于2i是特征方程单根故所求特解应具形式)2sin2cos(1xbxAxy代入原方程0,430,34BABAxxy2cos431故通解为tctcxxy2sin2cos2cos4321，其中c1c2为任意常数14txdtdxdtxdcos442解：特征方程0442有重根221因此对应齐线性方程的通解为tetccx221)(，其中c1,c2为任意常数。因为i不是特征根，现求形如tBtAxsincos~的特征解，代入原方程化简cost3B)sint(4A4B)cost-(3A精选文库--14于是034143BABA故254253BA故通解为ttetccxtsin254cos253)(221其中c1,c2为任意常数15求下列常系数线性微分方程对应的齐次方程为010'2''yyy特征方程为01022特征根为ia31a不是特征根，故原方程有形如y*=(ax+b)e2x的特解代入原方程得501,101ba故原方程通解为xxextctcey221)501101()3sincos(，（21,cc为任意常数）16解：因为02A21=0220+0001而且后面的两个矩阵是可交换的得到02expexpAt20expt0001t=02tete21{E+0001t+00201}!22t但是，00201=0000所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是01exp2teAt0t17解：特征方程为12)det(AE096412因此，3是A的二重特征值.为了寻求对应于3的特征向量,考虑方程组11)3(cAE11021cc因此,向量ac11是对应于特征值3的特征向量,其中0a是任意常数.精选文库--1518解A特征方程为53)det(EA0366352特征根为i532,1对应于1=3+5i的特征向量uuu满足55)(1iuEA055i解得u=a0a为任意常数对应于i532特征向量uuv满足i10)(2vEA解得1ivvv为任意常数019解:2123A的特征方程为13)det(AE0)4)(1(221=1,2=4为特征根,aauuEA10)4(为方程组解a为任意常数.20)4(2uuEA为方程组解.这样2''21aayy为方程的解20．解方程组的特征方程为04321EA即0232特征根为11，2211对应的解为tbayxe1111其中11,ba是11对应的特征向量的分量，满足0014321111ba精选文库--16可解得1,111ba．同样可算出22对应的特征向量分量为3,212ba．所以，原方程组的通解为ttttCCyx2221e32eee四名词解释1联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，称之为微分方程。2如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。3形如)()(yxfdxdy的方程，称为变量分离方程，这里)()(yxf分别是x,y的连续函数。4形如nyxQyxPdxdy)()(的方程，称为伯努利方程，这里)(),(xQxP为x的连续函数，1,0n是常数5函数f(x,y)称为在R上关于y满足Lipschitz条件，如果存在常数L>0,使得不等式2121).().(yyLyxfyxf对于所有Ryxyx),(),,(21都成立,L称为Lipschitz常数.6定义在区间bta上的函数)(),(),(21txtxtxk,如果存在不全为零的常数c1,c2,⋯.ck使得恒等式0)()()(2211txctxctxckk对于所有bat,都成立,称这些函数是线性相关的.五1在方程0)(')(''yxqyxpy中,已知p(x),q(x)在),(上连续,求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.证明：方程0)(')(''yxqyxpy，设)(xy是它的任一非零解。若p(x),q(x)在),(上连续，假设)(xy在xoy平面上与轴相切。则0'',0)('yxy与方程有非零解)(xy矛盾。故)(xy与x轴不相切。精选文库--172由已知得)()()(11111tfxtGdtxdtGdtxdnnnnn)()()(22111tfxtGdtxdtGdtxdnnnnn把x1(t)+x2(t)代入方程)()()()(21111tftftxGdtxdtGdtxdnnnnn由左端得))()()(())()(()())()((21111txtxtGdttxtxdtGdttxtxdnnnnn=)()()()()()()()()()(2111111txtGtxtGdttxdtGndttxdtGdttxddttxdnnnnnnnnnn3证明设y=y(x)是方程任一解，满足y(x0)=y0，该解的表达式为0000)(0)()(xxxxxsxxedsesfeyxy取极限0000)(0)(limlim)(limxxxxxsxxedsesfeyxy0()(lim0000)xxxxeexf0000)()()()(xxsxxsdsesfdsesf若若4证明设y1(x),y2(x)是方程的基本解组,则对任意),(x,它们朗斯基行列式在),(上有定义,且0)(xW.又由刘维尔公式),(,)()(0)(00xexWxWxxdssp)()()(0)(0xpexWxWxxdssp由于0)(,0)(0xpxW,于是对一切),(x,有0)('xW或0)('xW故)(xW是),(上的严格单调函数5答案略xxxx精选文库--186证明:已知函数组的wronshi行列式为W(x)=xnnxnxnxnxxxxxnnnexeexeeeeee1121121212121,,,=)(21xne1111n121nn11nnnxx上述最后的行列式为范德蒙受行列式它等于)(ji由题设知)(jiji由此行列式不为零.从而0)(xW由性质知.已知的函数组在上线性无关证毕.7．证明由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．显然1y是方程的两个常数解．任取初值),(00yx，其中),(0x,10y．记过该点的解为)(xyy，由上面分析可知，一方面)(xyy可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过1y，下方不能穿过1y，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为),(．（10分）8．证明由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(．显然，该方程有零解0)(xy．假设该方程的任一非零解)(1xy在x轴上某点0x处与x轴相切，即有)()(0101xyxy=0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(xy可知),(,0)(1xxy，这是因为零解也满足初值条件)()(0101xyxy=0，于是由解的惟一性，有xxyxy,0)()(1,()．这与)(1xy是非零解矛盾．一、计算（20分）1）36431412272515312）axaaaaxaaaax二、证明：（20分）精选文库--191）若向量组n1线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。2）若向量组n1中部分向量线性相关，则向量组n1必线性相关三、（15分）已知A为n阶方阵A~为A的伴随阵，则|A|=0，A~的秩为1或0。四、（10分）设A为n阶阵，求证，rank（A+I）+rank（A-I）≥n五、（15分）求基础解系032030432143214321xxxxxxxxxxxx六、（10分）不含零向量的正交向量组是线性无关的七、（10分）求证△ABC的正弦正定理CcBbAasinsinsin答案(一)一、1）-1262）1)2]()2([naxanx二、证明：1）n1线性无关，r1是其部分向量组，若存在不全为0的数rkk1使011rrkk则取021nrrkkk，则000111nrrrkk，则可知n1线性相关矛盾，所以r1必线性无关。2）已知r1是向量组中n1中的部分向量，且线性相关即rkk1不全为0，使011rrkk，取01nrkk，于是有不全为0的001rkk，使000111nrrrkk即n1线性相关。三、证明：IAAAAAA||||||||~由于|A|=0，A的秩≤n-11）若A的秩为n-1，则A~中的各元素为A的所有n-1阶子式，必有一个子式不为0，又由于A~的各列都是AX=0齐次线性方程组的解，其基础解系为n-（n-1）=1，由此A~的秩为1。2）若A的秩＜n-1，则A~中的所有A的n-1阶子式全为0，即A~=0，A~的秩为0。四、证明：∵对任意n级方阵A与B，有精选文库--20rank（A+B）≤rank（A）+rank（B）又∵rank（A－I）=rank[－（A－I）]=rank（I－A）∴rank[（A+I）+（I－A）]=rank（2I）=rank（I）=n≤rank（A+I）+rank（I－A）=rank（A+I）+rank（A－I）五、000021001011321131111111A取10,0142xx基础解系0011112012六、证明：设neee21是正交向量组，且不含空向量。若有nnekekek2211则0),(),(21iinneeekek且),(21inneekek0)(iiieekni10)(iieeniki1,0即nee1线性无关七、证明：如图：caacaba)(cacaccb)(ACabbasin||cbBbccasin||Abccbsin||BaCBacCabAbcsinsinsinCcBbAasinsinsin