整数裂项52776

整数裂项后延减前伸  差数除以N——例谈整数裂项河南省太康县城关镇建南小学（461400)对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法.通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。例1、 计算1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋98×99＋99×100分析：这个算式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和.算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。1×2=（1×2×3-0×1×2）÷(1×3）2×3=（2×3×4—1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5—2×3×4）÷（1×3）4×5=(4×5×6-3×4×5）÷（1×3）……98×99=(98×99×100—97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为(99×100×101-0×1×2）÷3。解:1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100  =（99×100×101—0×1×2）÷3  =333300例2、 计算3×5＋5×7＋7×9＋……＋97×99＋99×101分析：这个算式实际上也可以看作是:等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和.算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。3×5=(3×5×7—1×3×5）÷（2×3）5×7=（5×7×9—3×5×7）÷（2×3)7×9=（7×9×11—5×7×9)÷（2×3）……97×99=（97×99×101—95×97×99)÷(2×3）99×101=（99×101×103—97×99×101)÷（2×3）将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。解：3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101  =(99×101×103-1×3×5）÷(2×3）  =1029882÷6  =171647  例3、 计算1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋96×97×98＋97×98×99分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3.   1×2×3=(1×2×3×4—0×1×2×3)÷（1×4)   2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4)÷（1×4)   3×4×5=(3×4×5×6—2×3×4×5）÷(1×4）   ……   96×97×98=（96×97×98×99—95×96×97×98）÷（1×4）   97×98×99=（97×98×99×100—96×97×98×99）÷（1×4）右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4).解:1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+96×97×98×+97×98×99  =（97×98×99×100—0×1×2×3）÷（1×4）  =23527350例4、 计算10×16×22＋16×22×28＋……＋70×76×82＋76×82×88分析：算式的特点为：数列公差为6,因数个数为3。解：10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88 =（76×82×88×94—4×10×16×22）÷（6×4） =2147376通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加.其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数,再把算式中最前面一项向前伸展一个数,用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。将以上叙述可以概括一个口诀是:等差数列数，依次取几个。所有积之和,裂项来求作.后延减前伸,差数除以N。N取什么值,两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数,减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果.此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。例5、  计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100分析:n×n=(n-1）×n+n解：1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100 =1+（1×2+2）+（2×3+3）+……+（98×99+99)+（99×100+100） =（1×2+2×3+……+98×99+99×100)+（1+2+3+……+99+100） =99×100×101÷3+(1+100）×100÷2 =333300+5050 =338350例6、  计算1×2+3×4+5×6+……+97×98+99×100分析:（n—1)×n=（n—2)×n+n解：1×2+3×4+5×6+7×8+……+97×98+99×100 =2+（2×4+4）+（4×6+6）+（6×8+8）+……+(96×98+98)+（98×100+100） =（2×4+4×6+6×8+……+96×98+98×100)+(2+4+6+8+……+98+100） =98×100×102÷6+（2+100)×50÷2 =169150例7、   计算1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100分析：n×n×n=（n-1)×n×（n+1)+n解:1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100  =1+（1×2×3+2）+（2×3×4+3）+……+（98×99×100+99）+（99×100×101+100）  =(1×2×3+2×3×4+……+98×99×100+99×100×101）+(1+2+3+……+99+100）  =99×100×101×102÷4+(1+100)×100÷2 =25492400例8、  计算1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101解：1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101 =（1×3+3×5+……+99×101)+(2×4+4×6+……+98×100） =（99×101×103—1×3×5）÷6+1×3+98×100×102÷6=171650+166600=338250例9、  计算1+(1+2）+（1+2+3)+……+（1+2+3+4+……+100)解：1+(1+2)+（1+2+3）+……+（1+2+3+4+……+100) =1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+……+100×101÷2 =(1×2+2×3+3×4+……+100×101）÷2 =（100×101×102÷3)÷2 =171700将上面的口诀继续编写是:前延比零小,取负就是了。小学不可为，首项先甩掉.平方和立方,变形再裂项。式长要转化,类比解决它。口诀需熟记,灵活靠练习.练习题：1、         计算1×4+4×7+7×10+……+94×97+97×1002、         计算2×4×6+4×6×8+……+94×96×98+96×98×1003、         计算5×5×5+6×6×6+7×7×7+……+65×65×654、         计算3+（3+6)+（3+6+9）+……+（3+6+9+12+……+300