高考导数大题必刷热点题型—MST

高中数学探究562298495PAGE\*MERGEFORMAT12020高考导数大题必刷热点题型—MST1．（2020•抚顺模拟）已知函数．（1）若在处取得极值，求的单调区间；（2）若在，上没有零点，求的取值范围．2．（2020•镇海区校级模拟）已知实数，设函数．（Ⅰ）当，，，时，证明：；（Ⅱ）若有两个极值点，，证明：．3．（2020•宣城二模）已知函数，．（1）当时，求曲线在，处的切线方程；（2）若时，恒成立，求的取值范围．4．（2020春•东海县期中）已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数在区间，上的最大值．5．（2020•大兴区一模）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求证：函数有且只有一个零点．6．（2020春•海淀区校级期中）已知函数，其中，．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）讨论函数的极值点的个数，并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数；（3）若函数有两个极值点，，证明：．7．（2020春•沙坪坝区校级期中）已知函数，．（1）若的切线过，求该切线方程；（2）讨论与图象的交点个数．8．（2020春•浙江期中）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．（1）求实数的取值范围；（2）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式．9．（2020•徐州模拟）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域，，，百米，百米．该区域内原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点），，．（1）用表示直道的长度；（2）在区域内修建健身广场，在区域内种植花草．已知修建健身广场的成本为每平方百米4万元，种植花草的成本为每平方百米2万元，新建道路的成本为每百米4万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：万元）．10．（2020•东湖区校级模拟）已知函数．（1）当时，若函数在上有两个零点，求的取值范围；（2）当时，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由．11．（2020•榆林三模）已知是函数的极值点．（1）求的最小值；（2）设函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．12．（2020•榆林三模）已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若对存在，使得，求实数的取值范围．13．（2020•抚顺模拟）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论在区间上的零点个数．14．（2020•深圳一模）已知函数．（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）当时，求证：对任意的，，．15．（2020•江西模拟）设函数．（1）试讨论函数的单调性；（2）设，记，当时，若函数与函数有两个不同交点，，，，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．16．（2020•甘肃模拟）函数，且．（1）若，判断函数的单调性；（2）当时，求证：的图象恒在函数的图象的下方．17．（2020•全国Ⅱ卷模拟）已知：仅有1个零点．（1）求实数的取值范围；（2）证明：．18．（2020春•滨海新区期中）已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，，且，使得成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．19．（2020•厦门一模）已知函数．（1）当时，求函数的极值点；（2）若在区间，内有且仅有4个零点的充要条件为，求证：．20．（2020•山东模拟）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在，上的零点个数．21．（2020•台州模拟）已知函数，．（Ⅰ）求证：存在唯一的实数，使得直线与曲线相切；（Ⅱ）若，，，，求证：．（注为自然对数的底数．、22．（2020•宿迁模拟）某公司准备一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆、半圆和正方形组成的，且．设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签，标签的其中两个顶点，在上，另外两个顶点，在上，分别是，的中点）设的中点为，，矩形的面积为．（1）写出关于的函数关系式；（2）当为何值时，矩形的面积最大？23．（2020•合肥模拟）已知函数．（1）当时，求证：；（2）若函数，求证：函数存在极小值．24．（2020•盐城三模）设函数，，其中恒不为0．（1）设，求函数在处的切线方程；（2）若是函数与的公共极值点，求证：存在且唯一；（3）设，是否存在实数，，使得在上恒成立？若存在，请求出实数，满足的条件；若不存在，请说明理由．25．（2020•湖北模拟）已知函数，．（1）若，求曲线在点，处的切线方程；（2）若，求的取值范围．26．（2020•武汉模拟）已知函数，（1）求的单调区间，（2）若关于不等式对任意和正数恒成立，求的最小值．27．（2020•肇庆三模）设函数，为自然对数的底数．（1）求的单调区间：（2）若成立，求正实数的取值范围．28．（2020•济宁模拟）已知两个函数．（Ⅰ）当时，求在区间，上的最大值；（Ⅱ）求证：对任意，不等式都成立．29．（2020•和平区校级二模）已知函数，，若曲线与曲线都过点．且在点处有相同的切线．（Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）若关于的不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．30．（2020•嘉兴模拟）定义两个函数的关系：函数，的定义域分别为，，若对任意的，总存在，使得，我们就称函数为的“子函数”．已知函数，，，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若为的一个“子函数”，求的最小值．参考答案与试题解析1．（2020•抚顺模拟）已知函数．（1）若在处取得极值，求的单调区间；（2）若在，上没有零点，求的取值范围．【】（1）求出原函数的导函数，由（1）求得，代入导函数的解析式，再由导函数小于0求解减区间，导函数大于0求解增区间；（2），得，把在，上没有零点转化为在，上满足或．结合（1），只需证在，上满足．对分类讨论可得在，上的单调性，求出最小值，由最小值大于0可得的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为，且．在处取得极值，（1），得，经验证符合题意；．当时，，当时，．的单调减区间为，单调增区间为；（2），则．要使在，上没有零点，只需在，上满足或．又（1），只需证在，上满足．①当时，在，上单调递减，则，解得，与矛盾；②当时，在，上单调递减，在，上单调递增，由，得，；③当时，，在，上单调递增，，满足题意．综上，的取值范围是．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查分类讨论的数学思想，是中档题．2．（2020•镇海区校级模拟）已知实数，设函数．（Ⅰ）当，，，时，证明：；（Ⅱ）若有两个极值点，，证明：．【分析】（Ⅰ）依题意，即证，换元令，则即证，令，又令二次函数的对称轴，则利用导数可知在，上递增，等价于证明（1），即证，再令，利用导数判断函数的单调性，进而求得其大于等于0恒成立，由此得证；（Ⅱ）根据题意，可求得，，，，构造函数，可证，令，则，令，利用导数可知，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ），即为，亦即，令，则，令，令对称轴，则，时，，时，，，时，，在上递增，在，上递减，且，在，上递增，故只需证（1），即证，即证，令，则，在上递减，而（1），当时，，当时，，即时，，当时，，即成立，当，，时，成立；（Ⅱ），有两个极值点，，，，令，则，易知，当时，，当时，，在上递减，在上递增，，故，即，由，可得，，则，，则，，由，得，下证，即证，即证，，等价于证，令，则，故，，即，令，则，令，则，在上递减，，即．【点评】本题考查导数的综合运用，涉及了变换主元法，分析法，消元法，换元法，构造法等常见数学方法的运用，培养了转化思想，放缩思想等数学思想的建立，锻炼了学生运算化简，逻辑推理等数学能力，综合性强，难度大．3．（2020•宣城二模）已知函数，．（1）当时，求曲线在，处的切线方程；（2）若时，恒成立，求的取值范围．【分析】（1）把代入函数解析式，求导函数，再求出与的值，利用直线方程的点斜式得答案；（2）由，得，即．设，可得令，可得△，分，，三类分析求解满足题意的的取值范围．【解答】解：（1）当时，，．则，又，曲线在，处的切线方程为；（2）由，得，即．设，则．令，△．①若△，即，，当时，在上单调递增，而，时，恒成立，满足题意；②若，，当时，在上单调递增，而，时，恒成立，满足题意；③若，当时，由，解得，．在上单调递减，则，不满足题意．综上所述，的取值范围是，．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．4．（2020春•东海县期中）已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数在区间，上的最大值．【分析】（1）求出原函数的导函数，求出导函数的零点，分与可得导函数在不同区间内的符号，得到函数的单调性，从而求得函数的极值；（2）当时，由（1）知，在，上单调递减，故的最大值；当时，，由（1）知，在，上单调递减，的最大值；当时，由（1）知，在，上单调递减，在，上单调递增．结合（1），得的最大值为；当时，由（1）知，在，上单调递减，在，上单调递增．结合（1），知的最大值为（1）．【解答】解：（1），．由，解得．①当时，若，可得，若，可得，在上单调递减，在上单调递增，则当时，函数取得极小值；②当时，若，可得，若，可得，在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数求得极大值．综上，若，当时，函数取得极小值；若，当时，函数取得极大值．（2）当时，由（1）知，在，上是单调减函数，而，，，在，上单调递减，故的最大值；当时，，由（1）知，为，上的单调减函数，而，，，在，上单调递减，故的最大值；当时，由（1）知，在，上单调递减，在，上单调递增．又满足（1），故的最大值为；当时，由（1）知，在，上单调递减，在，上单调递增．又满足（1），故的最大值为（1）．综上，．【点评】本题考查利用导数求函数的极值与最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．5．（2020•大兴区一模）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求证：函数有且只有一个零点．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，然后分别求出时的函数值、导数值，利用点斜式即可求切线方程；（Ⅱ）函数有且只有一个零点，可转化为在上只有一个零点，可通过研究的单调性、极值的符号结合零点存在性定理求解．【解答】解：（Ⅰ）当时，函数，，所以，，，所以函数在点，（1）处的切线方程是．（Ⅱ）函数的定义域为，要使函数有且只有一个零点，只需方程有且只有一个根，即只需关于的方程在上有且只有一个解．设函数，则，令，则，由，得．10单调递减极小值单调递增由于（1），所以，所以在上单调递增，又（1），，①当时，（1），函数在有且只有一个零点，②当时，由于，所以存在唯一零点．综上所述，对任意的函数有且只有一个零点．【点评】本题考查了函数的零点的判断方法，导数在研究函数单调性、极值中的应用．同时考查学生利用函数与方程思想、转化与化归思想解决问题的能力，同时考查了学生的运算能力．属于中档题．6．（2020春•海淀区校级期中）已知函数，其中，．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）讨论函数的极值点的个数，并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数；（3）若函数有两个极值点，，证明：．【分析】（1）当时，，求出导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．（2）因为，通过①当时，②当时，③当时，判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值．（3）函数有两个极值点，，，，是方程两个根．利用韦达定理，转化求解，令，利用函数的导数，通过函数的单调性，推出即可．【解答】解：（1）当时，，，（1），又因为（1），所以切线方程为：．（2）因为，①当时，令，解得，0极大值函数仅有1个极大值点，没有极小值点；②当时，与同正负，又因为△，所以在上存在两个不相等的根，，又，，所以，，不妨设，，，00极大值极小值函数恰有2个极值点，它们是1个极大值点和1个极小值点；③当时，恒成立，则函数在上单调递增，所以函数没有极值点．（3）函数有两个极值点，，由（2）可知，并且，是方程两个根．，．令，恒成立，在上单调递增，（1）成立．即．【点评】本题考查函数的导数的应用，考查切线方程的求法，函数的极值以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难题．7．（2020春•沙坪坝区校级期中）已知函数，．（1）若的切线过，求该切线方程；（2）讨论与图象的交点个数．【分析】（1）求得的导数，设切点为，，运用导数的几何意义和两点的斜率公式，求得切点，可得切线的斜率，进而得到所求切线的方程；（2）设，即讨论的零点个数．求得的导数，分别讨论，，，结合函数的零点定义和零点存在定理，以及函数的单调性、极值，可得所求零点个数．【解答】解：（1）的导数为，设切点为，，则，化简得，所以，，切线方程为；（2）设，即讨论的零点个数．，时，只有一个零点；时，在，，，，时，均，此时，有两个零点；时，时，，时，，由得，，若时，在上递增，只有一个零点；若时，，，极大值、极小值均小于0，从而也只有一个零点．综上，时，与的图象只有一个交点；时，有两个交点．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值，考查函数的零点个数的判断，主要考查分类讨论思想和方程思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题．8．（2020春•浙江期中）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．（1）求实数的取值范围；（2）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式．【分析】（1）先通过求出，再对函数求导，令（1），可得，将其代入中，令，则或，由于在取得最大值，所以，解之即可得解；（2）通过列表、随的变化情况可知，函数的单调区间和极值，若方程恰好有两个不同的根，则使其极小值等于，求出的值即可得解．【解答】解：（1）函数的图象经过坐标原点，，，对函数求导，有，（1），，，令，则或，当时，取得极大值，，解得，故实数的取值范围是．（2）、随的变换情况如下表，100单调递增极大值单调递减极小值单调递增极小值．方程恰好有两个不同的根，，解得，．故的解析式为．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．9．（2020•徐州模拟）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域，，，百米，百米．该区域内原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点），，．（1）用表示直道的长度；（2）计划在区域内修建健身广场，在区域内种植花草．已知修建健身广场的成本为每平方百米4万元，种植花草的成本为每平方百米2万元，新建道路的成本为每百米4万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：万元）．【分析】（1）根据解三角形和正弦定理可得，，（2）分别求出，，可得，设三项费用之和为，可得，，利用导数求出最值．【解答】解：（1）过点作，垂足为，在中，，，，，在中，，，，，，，，在中，由正弦定理可得，，；（2）在中，由正弦定理可得，，，又，，设三项费用之和为，则，，，令，解得，当，时，，函数单调递减，当，时，，函数单调递增，，答：三项费用总和的最小值为万元．【点评】本题考查了函数解析式的求解，解三角形，函数最值的计算，属于中档题．10．（2020•东湖区校级模拟）已知函数．（1）当时，若函数在上有两个零点，求的取值范围；（2）当时，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将代入，求导，当时显然不成立，当时，利用零点存在性定理可得出结论；（2）分析可知（1）是函数的最大值，也是函数的极大值，故（1），，而当时，利用导数可知恒成立，进而得出结论．【解答】解：（1）当时，，，当时，，在上单调递增，不合题意，舍去；当时，令，解得，进而在上单调递增，在上单调递减，依题意有，，解得，又（1），且，在上单调递增，进而由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，下先证恒成立，令，则，易得在上单减，在上单增，进而（e），，，，若，得，，，即当时，取，有，即存在，使得，进而由零点存在性定理可知在上存在唯一零点．综上可得，；（2）当时，存在，使得不等式恒成立，证明如下：当时，设，依题意，恒成立，又（1），进而条件转化为不等式（1）对任意恒成立，（1）是函数的最大值，也是函数的极大值，故（1），，又当时，，令可得，令可得，故在上递增，在上递减，（1），即恒成立，综上，存在且的取值集合为．【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查利用导数研究函数的零点，不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于较难题目．11．（2020•榆林三模）已知是函数的极值点．（1）求的最小值；（2）设函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．【分析】（1），．．根据是函数的极值点．可得，解得．进而得出的最小值．（2）对任意，存在，使得对，，．由（1）可得：．对分类讨论利用单调性即可得出．【解答】解：（1），．．是函数的极值点．，解得．可得时函数取得进极小值即最小值．，．的最小值为：．（2）对任意，存在，使得对，，．由（1）可得：．①时，，，不适合题意，舍去．②若，，满足，适合题意．③若，，可得时，，函数单调递减；时，，函数单调递增．时，函数取得极小值即最小值，（1）．，解得．综上可得实数的取值范围是，，．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（2020•榆林三模）已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若对存在，使得，求实数的取值范围．【分析】（1），由，可得时，；时，．即可得出单调性．（2）对分类讨论：若，则，容易判断出结论．若，可得．若，由（1）可知：函数的最小值为（1），只要，解得范围即可得出．【解答】解：（1），，时，；时，．函数在上单调递增，在上单调递减．时，函数取得极小值即最小值（1）．（2）对分类讨论：若，则，不存在，使得成立．若，则，满足题意．若，由（1）可知：函数的最小值为（1），，解得．综上可得：实数的取值范围是，，．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（2020•抚顺模拟）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论在区间上的零点个数．【分析】（1）对函数求导，然后分别求出处的函数值、导数值，利用点斜式求直线方程；（2）分离参数，然后将问题转化为：与函数的图象交点个数的问题，利用导数研究的单调性、极值、端点处函数值的情况即可．【解答】解：（1）因为，所以，所以，所以，，故所求切线方程为．（2）令，得，设，则，令，得；令，得或，则在和上单调递减，在上单调递增．因为，，，．当或时，无解，即在区间上没有零点；当或或时，有且仅有一个实解，即在区间上有且仅有一个零点；当或时，有两解，即在区间上有两个零点．综上，当或时，在区间上没有零点；当或或时，在区间上有且仅有一个零点；当或时，在区间上有两个零点．【点评】本题考查导数的概念与应用，函数的零点问题等，要注意转化思想、分类讨论、函数与方程思想的应用，同时考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．属于中档题．14．（2020•深圳一模）已知函数．（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）当时，求证：对任意的，，．【分析】（1）根据导数和的几何意义，即可求出切线方程；（2）根据导数和函数单调性及最值，即可求出．【解答】解：（1）当时，，则，切线的斜率，，曲线在点，处的切线方程为，即．证明：（2）当时，，当，时，，则，，，在，上恒成立，在，上单调递增，（2），故对任意的，，．【点评】本题考查了导数和几何意义和导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．15．（2020•江西模拟）设函数．（1）试讨论函数的单调性；（2）设，记，当时，若函数与函数有两个不同交点，，，，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．【分析】（1）求导可得，然后分，及分类讨论即可得出单调性；（2）假设，则只需证明，而，则进一步转化为证明，构造函数，利用导数可知，，由此假设不成立，即不是的根．【解答】解：（1）由可知，，因为函数的定义域为，所以①若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；②若时，则在恒成立，函数单调递增；③若，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；（2）证明：由题可知，，，当时，，当时，，且，欲证，只需证明，设，是方程的两个不相等的实根，不妨设，则，两式相减并整理得，从而，故只需证明，即，式可转化为，即，因为，所以，不妨令，即证成立，记，则，当且仅当时等号成立，在上单调递增，又（1），，，故，即不成立，故不是的根．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值以及函数的零点问题，考查分类讨论思想以及推理论证能力，运算求解能力，属于中档偏上题目．16．（2020•甘肃模拟）函数，且．（1）若，判断函数的单调性；（2）当时，求证：的图象恒在函数的图象的下方．【分析】（1）直接对函数求导，然后判断导数在定义域内的符号；（2）只需要证明恒成立即可，然后求的单调性、极值以及最大值即可．【解答】解：（1）当时，，．，当或时，；当，时，，所以的减区间为，增区间为，．（2）令，．，由得，由得，所以在上递增，在上递减．故（1），又因为，所以恒成立，即当时，的图象恒在函数的图象的下方．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值以及不等式恒成立问题，同时考查学生运用方程思想、转化思想的解题意识以及运算能力和逻辑推理能力．属于中档题．17．（2020•全国Ⅱ卷模拟）已知：仅有1个零点．（1）求实数的取值范围；（2）证明：．【分析】（1）求出的导数，对进行分类讨论，判断导函数的符号，判断函数单调性，利用零点存在性定理，判断是否为符合题意的的范围即可；（2）将不等式的左边可变形为，构造函数，利用导数证明，由（1）可得不等式右边有，利用放缩法证明原不等式成立即可，在放缩过程中需要注意等号成立的条件．【解答】解：（1），定义域为，，，当时，，为增函数，而，仅有一个零点，满足题意；当时，令，解得，令，解得，在上，单调递减，在上，单调递增，，①当，即时，，当，，时，，此时仅有一个零点，满足题意；②当，即时，，在上，单调递增，，有一个零点，，在上，单调递减，而，由零点存在性定理可得在上也有一个零点，不满足题意；③当，即时，在上，单调递减，，有一个零点，，在上，单调递增，由①值，，，即，，，由零点存在性定理可得在也有一个零点，不满足题意；综上所述，实数的取值范围为，；（2）证明：，令，则，令，则，即在上单调递增，又，在有且仅有一个零点，设为，，则，即，，的最小值为，即，当且仅当时取等号，又由（1）知，，当且仅当时取等号，可得，而以上两式不同时取等，故．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，考查了利用导数证明不等式以及放缩法在不等式证明中的应用，考查了分类讨论的思想，属于较难题．18．（2020春•滨海新区期中）已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，，且，使得成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．【分析】（Ⅰ）研究函数导数的符号，然后确定原函数的单调性；（Ⅱ）要满足题意，只需函数在内有增有减，即存在极值点，则问题转化为函数的导数在内存在变号根即可；（Ⅲ）先求出的两个极值点，然后对两个极值点的函数值结合单调性作比较来证明结论．【解答】解：（Ⅰ），，当，，时，，的增区间是，；当时，，所以的减区间是．（Ⅱ）依题意，函数在上不是单调函数，因为是连续函数，所以在上需有极值，由于，即在内有变号根，令，显然该函数在上递增，故需，即，解得．所以的范围是．（Ⅲ），设方程的两个不等实根是，，则首先满足△，即：．又由解得，，此时，．随着的变化，，的变化如下：，，00递增极大值递减极小值递增所以是函数的极大值点，是的极小值点．所以是极大值，是极小值．，又因为，所以．所以．【点评】本题考查导数的综合运用，即利用导数研究函数的单调性、极值以及不等式问题．同时考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力等，属于较难的题目．19．（2020•厦门一模）已知函数．（1）当时，求函数的极值点；（2）若在区间，内有且仅有4个零点的充要条件为，求证：．【分析】（1）将代入，可得，，则在上单调递增，又，则易得函数的单调性情况，进而求得极值点；（2）依题意，等价于，，令，求导可知在单调递减，在单调递增，而为偶函数，故只需函数与在上有两个交点，由，接下来估计的范围，可得，由此即可得证．【解答】解：（1），，，，在上单调递增，又，当时，，单调递减，当时，，单调递增，是函数的极小值点，无极大值点；（2）证明：当时，，故等价于，，令，则，①当时，，单调递减，当时，，，②当时，令，则，单调递减，又，故存在，使得，且当时，，，单调递减，当，时，，，单调递增；③当时，，单调递增；综上在单调递减，在单调递增，由于为偶函数，只需函数与在上有两个交点，，，，，以下估计的范围：，，，又，，，，，结论得证．【点评】本题考查函数的单调性，导数及其应用，不等式等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，属于较难题目．20．（2020•山东模拟）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在，上的零点个数．【分析】（1）先求出导函数，再对分情况讨论，利用导函数的正负即可得到函数的单调性；（2）由已知得，，，对的范围分情况讨论，分别讨论函数的零点个数，从而得到在，上的零点个数为2个．【解答】解：（1）由已知得函数的定义域为，，①当时，因为，所以在上单调递增，②当时，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由已知得，，，则，①当时，因为，所以在，上单调递减，所以，所以在，上无零点，②当时，因为单调递增，且，，所以存在，使得，当时，；当时，，所以在，上单调递减，且，所以，又因为，所以，所以在，上存在一个零点，所以在，上有两个零点，③当，时，，所以在，上单调递增，因为，所以在，上无零点，综上所述，在，上的零点个数为2个．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点，是中档题．21．（2020•台州模拟）已知函数，．（Ⅰ）求证：存在唯一的实数，使得直线与曲线相切；（Ⅱ）若，，，，求证：．（注为自然对数的底数．、【分析】（Ⅰ）由导数的几何意义可知，函数在点，处的切线为，依题意，，则，则，设，对函数求导后，可知在单调递增，结合零点存在性定理可知，有唯一零点，即有唯一解，故也只有唯一解，即得证；（Ⅱ）要证，即证，变换主元令（a），则（a）是一次函数，故只需证明，同时注意到对于同一，，（1）（2），所以只要证明，接下来只需分别证明①②成立即可．【解答】证明：（Ⅰ）由知，在，处的切线为，当该直线为时，可得，，故，令，则当时，，在单调递增，而（1），（2），由零点存在性定理可知，存在唯一的实数，使得，相应的也是唯一的，即存在唯一的实数，使得直线与曲线相切；（Ⅱ）要证，即证，令（a），对于确定的，（a）是一次函数，只需证明，注意到对于同一，，（1）（2），所以只要证明，先证明①：记（1），则，令，由得，由此可知在区间，递减，在，递增，又因为，，（2），在区间，上存在唯一实数，使得，故在区间，，递减，在区间，，递增，于是，①得证；再证明②：记（2），当，时，利用不等式得；当，时，利用不等式得，于是，其中二次函数开口向上，对称轴为，当，时，有最小值为，（2），；综上，不等式①②均成立，，当，时，对任意，，总有，即得证．【点评】本题考查导数的综合运用，考查了转化思想，变换主元思想，函数与方程思想等，考查逻辑推理能力及运算求解能力，掌握常见不等式，能提高解题效率，平时应多总结归纳，此题属于难题．22．（2020•宿迁模拟）某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆、半圆和正方形组成的，且．设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签，标签的其中两个顶点，在上，另外两个顶点，在上，分别是，的中点）设的中点为，，矩形的面积为．（1）写出关于的函数关系式；（2）当为何值时，矩形的面积最大？【分析】（1）依题意，可得，，则，；（2）由于恒成立，故当时，．【解答】解：（1）由题意知，（2分），，（4分）则，即，．（6分）（2）（8分）因为，所以，所以，（10分）故当时，恒成立，所以在上单调递增，（12分）故当时，．答：当为时，矩形的面积最大，最大值为64．（14分）【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查三角函数恒等变换及余弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．23．（2020•合肥模拟）已知函数．（1）当时，求证：；（2）若函数，求证：函数存在极小值．【分析】（1）求导可知，由此函数在上单调递减，进而得证；（2），求导，再令，可知导函数在上单调递增，且，使得，进而得到函数在，上单调递减，在上单调递增，由此求得函数的极小值．【解答】证明：（1）依题意，，因为，且，故，故函数在上单调递减，故．（2）依题意，，，令，则；而，可知当时，，故函数在上单调递增，故当时，；当时，函数单调递增，而，又，故，使得，故，，使得，即函数单调递增，即单调递增；故当，时，，故函数在，上单调递减，在上单调递增，故当时，函数有极小值．【点评】本题考查利用导数研究函数的性质，考查推理论证能力以及函数与方程思想，属于中档题．24．（2020•盐城三模）设函数，，其中恒不为0．（1）设，求函数在处的切线方程；（2）若是函数与的公共极值点，求证：存在且唯一；（3）设，是否存在实数，，使得在上恒成立？若存在，请求出实数，满足的条件；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求出函数在处的切线方程；（2）先求出导函数和，依题意，构造函数，，则是的零点，利用导数得到函数的零点存在且唯一；（3）先求出导函数和，记，，对，的值分情况讨论，分别分析导函数和的符号即可．【解答】解：（1）因为，所以，，（1），又（1），函数在处的切线方程为，即；（2）因为，所以，又，所以，是函数与的公共极值点，，，即，，，，令，，则是的零点，，函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，又（1），（e），且函数在上连续不间断，由零点存在性定理可知，函数的零点存在且唯一；（3）因为，由（2）得，，记，，①当时，，，若，则，此时，不符合题意（舍去）；若，与符号相反，此时，满足题意，②当时，若，则，若，当时，则，由，得，所以，所以，1，时，，，此时函数与，，不符合题意（舍去），若，则，由，得，所以，所以，时，，，此时函数与，，不符合题意（舍去），③当时，若，则，若，则，由，得，所以，所以，时，，，此时函数与，，不符合题意（舍去），若，当时，则，由，得，所以，1，时，，，此时函数与，，不符合题意（舍去），综上所述，当且时，函数与满足在上恒成立．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的极值，是中档题．25．（2020•湖北模拟）已知函数，．（1）若，求曲线在点，处的切线方程；（2）若，求的取值范围．【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）先判断函数的奇偶性，再根据导数和函数最值的关系即可求出的范围，需要分类讨论．【解答】解：（1）若时，，则，斜率，，曲线在点，处的切线方程为，即．（2），为偶函数，，当时，，，，令，，①当时，，在，上单调递增，，即，在，上单调递增，，满足条件，②当时，，显然不满足条件，③当时，若，令，解得，存在，使得当，，在上单调递减，即，即，在上单调递减，即，所以不满足条件，综上所述的取值范围为，．【点评】本题考查了曲线的切线，函数的单调性与极值，函数导数的综合应用，考查学生的推理论证能力，抽象概括能力，考查了化归与转化思想和分类讨论的思想．26．（2020•武汉模拟）已知函数，（1）求的单调区间，（2）若关于不等式对任意和正数恒成立，求的最小值．【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；（2）先根据（1）利用导数和函数最值的关系求出，可得，设（a），利用导数求出函数的最小值即可．【解答】解：（1），当时，，在上单调递减，若时，令，，在时，，为增函数，在时，，为减函数．（2），由题意，由（1）可知，当时，在上单调递减，无最小值，不符合题意，当时，，，设（a），则（a），，，（a）；，，（a），（a）（1）．【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系以及和最值的关系，考查了函数恒成立的问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．27．（2020•肇庆三模）设函数，为自然对数的底数．（1）求的单调区间：（2）若成立，求正实数的取值范围．【分析】（1）函数，为自然对数的底数．，对分类讨论即可得出单调性．（2）成立，由（1）可得：．时，函数取得最大值，令，，利用导数研究其单调性即可得出．进而得出的取值范围．【解答】解：（1）函数，为自然对数的底数．，时，，可得：函数在上单调递减，在，上单调递增，在上单调递减．时，，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．时，，函数在上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增．（2）成立，．由（1）可得：．时，函数取得最大值，令，，，可得时，函数取得极小值即最小值．．，成立，解得．．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．28．（2020•济宁模拟）已知两个函数．（Ⅰ）当时，求在区间，上的最大值；（Ⅱ）求证：对任意，不等式都成立．【分析】（Ⅰ）先对求导，判断函数的的单调性，再分类讨论，利用函数的单调性求出函数的最大值；（Ⅱ）先证，，利用导数和函数的最值的关系即可证明，则原不等式转化为，设，，再利用导数和函数的最值的关系即可证明．【解答】解：（Ⅰ）由得，当时，，当时，，在上为减函数，在为增函数，①当时，在区间，上为增函数，的最大值为，②当时，，在上为减函数，在上为增函数，的最大值为，，下面比较与大小，，，，当时，，故在，上的最大值为，当时，，在，上的最大值为，综上所述当时，故在，上的最大值为，当时，在，上的最大值为．（Ⅱ）不等式即为，，不等式等价于，令，，，在上单调递增，，即，要证成立，只须证成立即可，即证，设，，，当时，，当时，，在上单调递减，在，上单调递增，，对任意，不等式都成立．【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系，以及导数和函数最值的关系，考查了不等式的证明，考查了论证推理能力，属于难题．29．（2020•和平区校级二模）已知函数，，若曲线与曲线都过点．且在点处有相同的切线．（Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）若关于的不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（Ⅱ）构造函数，利用导数求出函数的最小值，使得最小值大于等于0，需要分类讨论．【解答】解：（Ⅰ），，由已知可得，即，解得，，，切线的斜率（1），切线的方程为，即，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，设，即，对任意，恒成立，从而，，①当时，，在，上单调递减，又（1），显然不恒成立，②当时，，解得，，当时，即时，，单调递增，又，显然不恒成立，当时，即时，，单调递增，，即恒成立，当时，即时，当，时，，单调递减，当时，，单调递增，，解得，，综上所述得．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．30．（2020•嘉兴模拟）定义两个函数的关系：函数，的定义域分别为，，若对任意的，总存在，使得，我们就称函数为的“子函数”．已知函数，，，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若为的一个“子函数”，求的最小值．【分析】，，．即可得出单调性．由可得：，．时，，且为连续函数，因此只需．即有实数解．即，，，令，，．即在，，上有实数解，将看成直线，令，则，，过换元利用函数的单调性即可得出．【解答】解：，，．函数的单调递减区间为，单调递增区间为，．由可得：时，函数取得极小值即最小值，（3）．，．时，，且为连续函数，因此只需．即有实数解．即，，则，令，，，即在，，上有实数解．将看成直线，令，则，．令．，．的最小值为．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、换元法、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/5/2519:02:34；用户：利哥；邮箱：15015092009@xyh.com；学号：28368349高中语文资料全国卷新高考1072151107高中英语资料全国卷新高考1016476565高中物理资料全国卷新高考982587823资料全国卷新高考952976485高中生物资料全国卷新高考1060335210高中历史资料全国卷新高考1079537665高中地理资料全国卷新高考1079527299高中政治资料全国卷新高考1079526709高中资料高考资料全科VIP特供群732599440