数学建模之预测模型

第六章 预测模型（Forecast Models） 本讲主要内容 1. 预测和预测模型 2. 时间序列预测模型 3. 灰色预测模型 4. 数学建模案例：SARS疫情对某些经济指标影响问题 6.1预测和预测模型 6.1.1 什么是预测 预测作为一种探索未来的活动早在古代已经出现，但作为一门科学的预测学，是在科学 技术高度发达的当今才产生的。“预测”是来自古希腊的术语。我国也有两句古语：“凡事预 则立，不预则废”， “人无远虑，必有近忧” 。预测的目的在于认识自然和社会发展规律， 以及在不同历史条件下各种规律的相互作用，揭示事物发展的方向和趋势，分析事物发展的 途径和条件，使人们尽早地预知未来的状况和将要发生的事情，并能动地控制其发展，使其 为人类和社会进步服务。因而预测是决策的重要的前期工作。决策是指导未来的，未来既是 决策的依据，又是决策的对象，研究未来和预测未来是实现决策科学化的重要前提。预测和 决策是过程的两个方面，预测为决策提供依据，而预测的目的是为决策服务，所以不能把预 测模型和决策模型截然分开，有时也把预测模型称为决策模型。 20 世纪以来，预测技术所以得以长足进步，一方面，与社会需求有很大关系，另一方 面通过社会实践和长期历史验证，明事物的发展是可以预测的。而且借助可靠的数据和科 学的方法，以及预测技术人员的努力，预测结果的可靠性和准确性可以达到很高的程度，这 也是预测技术迅速发展的另一个重要原因。 6.1.2 预测的方法和内容 为保证预测结果的精确度，预测之前的主要工作是数据的准备，数据是预测工作的前提 和重要依据，预测不能是臆造和空想，任何事物的发展都有一定的规律，认真研究预测对象 并充分考察预测对象所处的环境，以系统分析的方法对过去和现在的数据进行，从中找 出规律，便可科学地推断未来。 1.数据的收集和整理 按时态分，数据可分为历史数据和现实数据；按预测对象分，可 分为内部数据和外部数据；就收集的手段分，可分为第一手数据和第二手数据。第一手数据， 包括以各种形式初次收集的数据。收集第一手数据的途径包括：抽样调查，连续调查，或全 面调查。在预测的定性方法中常常需要第一手数据，但获取第一手数据的费用较高，时间较 【产品销量预测问题】假设商店某种产品的销售量如下表 6-1。 表 6-1 某产品销量资料 年份 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 销 售 量 （万件） 10 18 25 30.5 35 38 40 39.5 38 试预测 2011年的销售量，并且在 90%的概率保证下，给出预测的置信区间。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 长，所以定量方法常采用第二手数据。第二手数据多为已经公布和发表的资料，易于获取， 代价低，数据精度也有一定的保证。其缺点是数据可能不能直接适用于预测情况。因此，常 常需要对已公布的数据进行修正和处理，使其适应于预测需要。 无论是第一手数据还是第二手数据，都可能是混乱的、无序的、彼此间孤立的。预测人 员都应将原始数据按“单元”或“类别”整理和集中，以便使其成为内容上完整、有序、系 统，形式上简明统一的数据。 2.数据的分析和处理 建模不仅需要大量的数据，同时数据必须可靠，并适合建模的要 求。这些数据虽然是历史的客观写照，但有可能是失真的数据。对于失真的数据，以及不符 合建模的数据，必须通过分析，加以适当处理。处理的原则是准确、及时、适用、经济、一 致，处理方法有判别法、剔除法、平均值法、差分法等等。有些模型只能处理平稳数据，如 果原始数据为非平稳数据，则需釆取差分处理。 在预测过程中，由于预测对象不同，预测内容不同，以及预测期限不同，所需的数据内 涵及数量也不同。经济预测的数据主要包括： （1）国民经济总产值及各部类的分配情况； （2）各行业的生产规模和生产能力以及技术水平； （3）政府的经济政策及产业政策； （4）生产力布局； （5）人口发展趋势及就业情况； （6）国民经济投资及分配； （7）国际环境及变化趋势。 市场需求预测需要的数据主要有： （1）人口及人均收入； （2）国民收入的增长及分配情况；； （3）与产品消费直接有关的政府政策和法规，如进口限制、进口税、销售稅和其它税 费、信贷管理及外费管理等； （4）一段时期内产量和产值的生产能力； （5）一段时期内的产品的进口量； （6）代用品或近似代用品的产量和进口量； （7）与有关新投入的产品前后关联度高的产品的产量； （8）国家计划规定的产品或代用品的生产指标； （9）产品出口量； （10）个人或集体消费者们的习惯或嗜好； （11）法律方面的资料。 针对不同的预测问题可选取适当的数学模型进行预测。实用的预测模型很多，数学建模 中常用的预测模型有时间序列模型，回归分析模型和灰色预测模型等等。回归模型在第四章 中已经介绍，本章讲分别介绍时间序列预测模型和灰色预测模型。 6.2 时间序列预测模型 时间序列一般指一组按时间顺序排列的数据，展示了研究对象在一定时期的发生变化过 程。时间序列模型，就是根据预测对象时间变化特征，研究事物自身的发展规律，探讨未来 发展趋势，是一种重要的定量预测方法。它是在时间序列变量分析的基础上，运用一定的数 学方法建立预测模型，使时间趋势向外延伸，从而预测未来市场的发展变化趋势，确定变量 预测值。时间序列模型包括多种模型，主要适用于经济预测、商业预测、需求预测、库存预 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 测等，预测期限主要为中、短期，不适用于有拐点的长期预测。 在时间序列中，通常根据影响因素将数据的变化趋势分为四大类：长期趋势、季节变动、 循环变动和不规则变动。对于前三种数据趋势预测问题，由于数据均呈现出某种规律性，因 此我们能够将数据进行简化、分析，从而使预测成为可能；而不规则变动是指由某种偶然因 素引起的突然变动，如战争的发生、政权的更迭、重大自然灾害的发生等，不规则变动没有 周期性。 在建模中常用的时间序列预测方法有移动平均法、指数平滑法、趋势外推法、季节指数 预测法等等。 6.2.1 移动平均预测法 移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数，以反 映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不 易显示出发展趋势时，可用移动平均法消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。 移动平均法有简单移动平均法、加权移动平均法、趋势移动平均法等，这些都是比较简单的 时间序列预测方法。 移动平均法的基本方法是，选一个固定的周期 N，对数据进行平均，每递推一个周期就 加上后一个数据，舍去初始数据，依次类推，直至把数据处理完毕。以 N=5为例： 5 12345)1( 5 yyyyyM ++++= ， 5 23456)1( 6 yyyyyM ++++= . ( ) ( )1 1 5 6M M、 分别表示第五、第六个周期的一次移动平均值，依次类推。若移动平均的周期为 N，则可得到计算移动平均值的一般公式： N yyyy M Nttttt )1(21)1( ---- ++++= L ， 其中， )1( tM 表示第 t期的一次移动平均值。 可见，移动平均法实际上是对于某一期数据，取前 N 个数据进行平均，N 个数权数相 同，而其它数据的权为零，这样经过移动平均，将消除数据列中异常的因素，对数据进行修 匀。一般情况下，如果数据没有明显的周期变化和趋势变化，可用第 t期的一次移动平均值 作为 t+1期的预测值，即 )1(1ˆ tt My =+ . 表 6-2中的的第二列和第三列，即是原始数据与一次移动平均值的对比。始取 N=3的 3 期移动平均，则第三期数据的移动值为 5766.33，它可以作为第 4期的预测值。 一次移动平均法只能用来对下一期进行预测，不能用于长期预测。使用移动平均法，最 重要的是移动周期 N的选择。由于移动平均修匀后的方差，随着 N的加大而减少。也就是 N越大，对原始数据修匀能力越强。必须选择合理的移动跨期，跨期越大对预测的平滑影响 也越大，移动平均数滞后于实际数据的偏差也越大。跨期太小则又不能有效消除偶然因素的 影响。跨期取值可在 3~20间选取。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 表 6-2 移动平均值 序 列 原 始 数 据 一次移动平均值 二次移动平值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5600 5796 5930 6092 6257 6567 6851 7141 7436 7738 8045 5775.3 5939.3 6093.0 6305.3 6558.3 6853.0 7142.7 7438.3 7739.7 5935.9 6112.5 6318.9 6572.2 6851.3 7144.7 7440.2 在一次移动平均值的基础上，应用移动平均的原理，还可以进行二次甚至多次的移动平 均，二次移动平均，就是以一项移动平均值为原始数据，再进行一次移动平均。二次移动平 均法的公式为： N yyyy M Nttttt )1(21)1( ---- ++++= L ， N MMMM M Nttttt )1( )1( )1( 2 )1( 1 )1( )2( ---- ++++= L . 二次移动平均使原始数据得到了进一步修匀，使其显现线性趋势。表 6-2中的第四列数 据为 N=3的二次移动平均值。 在二次移动平均值的基础上，可建立线性模型： tt ttt bay +=+ˆ 其中 ,2 )2()1( ttt MMa -= )(1 2 )2()1( ttt MMn b - - = ，式中：t -预测超前期数。 对于表 6-1中的数据，如以 11期数据预测 12期值，当取 N=3时，则有： ,2.80392.74407.773922 )2(11 )1( 1111 =-´=-= MMa .5.2992.74407.7739)( 13 2 )2( 11 )1( 1111 =-=-- = MMb 预测方程为 tt 5.2992.8039ˆ 11 +=+y . 所以第 12期的预测值为 7.83385.2992.8039ˆ12 =+=y . 二次移动平均法是对一次移动平均数再次进行移动平均，并在两次移动平均的基础上建 立预测模型对预测对象进行预测。二次移动平均法与一次移动平均法相比，其优点是大大减 少了滞后偏差，使预测准确性提高。但它只适用于短期预测。而且只用于 0³T 的情形。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 6.2.2指数平滑预测法 指数平滑法（Exponential Smoothing,ES）是布朗（RobertG.Brown）所提出的，他认为 时间序列的态势具有稳定性或规则性，所以时间序列可被合理地顺势推延；他认为最近的过 去态势，在某种程度上会持续到未来，所以将较大的权数放在最近的资料。指数平滑法来自 于移动平均法，是一次移动平均法的延伸。它将时间数据加工平滑，从而获得其变化规律与 趋势。根据平滑次数的不同，指数平滑法可以分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次 指数平滑法等。 1. 一次指数平滑法 一次指数平滑公式为 )1( 1 )1( )1( --+= ttt SyS aa . 其中 )1( tS ：t期数据的指数平滑值；a ：平滑常数，00.95 <0.35 好 >0.80 <0.50 合格 >0.70 <0.65 勉强合格 ≤0.70 ≥0.65 不合格 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 不同的预测方法可以用在不同的场合，各种时间序列方法大都是依赖大量的时间序列数 据。时间序列数据间必须有明显的关系。回归分析同样需要大量的时间序列数据。灰色预测 预测模型克服了以上预测方法的缺点，只需要较少的数据，便能预测不同因素时间的关联度， 得出影响变量变化的主要因素。 6.4 数学模型案例：SARS疫情对某些经济指标影响问题 6.4.1 问题的提出 2003年的 SARS疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定的影响,特别是对部分疫情 较严重的省市的相关行业所造成的影响是明显的,经济影响主要分为直接经济影响何间接影 响.直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务业等行业.很多方面难以进行定量地评 估,现仅就 SARS 疫情较严重的某市商品零售业、旅游业、综合服务业的影响进行定量的评 估分析. 究竟 SARS疫情对商品零售业、旅游业、综合服务业的影响有多大,已知某市从 1997年 1月到 2003年 12月的商品零售额、接待旅游人数、综合服务收入的统计数据如表 6-8、6-9 和 6-10.试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估 2003年 SARS疫情给该市的商品零售 业、旅游业和综合服务业所造成的影响。 表 6-8 商品的零售额（单位：亿元） 年代 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 83.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9 101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.5 92.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 131.3 105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9 139.3 129.5