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牛顿莱布尼兹公式的推广第26卷第6期 2008年12月江西 JIANGXI 科学 SCIENCE V01．26No．6 Dec．2008 文章编号：1001—3679(2008)06—0858—05 牛顿一莱布尼兹公式的推广马保国，雷艳亮 (延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000) 摘要：在一元函数中，被积函数在闭区间上连续是牛顿一莱布尼兹公式成立的重要条件。本文通过减弱该条件使牛顿一莱布尼兹公式得到推广，并给出了应用实例。同时，讨论了二重积分和曲线积分的牛顿一莱布尼兹公式。关键词：牛顿一莱布尼兹...

第26卷第6期 2008年12月江西 JIANGXI 科学 SCIENCE V01．26No．6 Dec．2008 文章编号：1001—3679(2008)06—0858—05 牛顿一莱布尼兹公式的推广马保国，雷艳亮 (延安大学

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与计算机科学学院，陕西延安716000) 摘要：在一元函数中，被积函数在闭区间上连续是牛顿一莱布尼兹公式成立的重要条件。本文通过减弱该条件使牛顿一莱布尼兹公式得到推广，并给出了应用实例。同时，讨论了二重积分和曲线积分的牛顿一莱布尼兹公式。关键词：牛顿一莱布尼兹公式；连续；二重积分；曲线积分中图分类号：0172 文献标识码：A TheGeneralizationofNewton．．LeibnizFormula MABao—guo，LEIYan—liang (CollegeofMathematicsandComputerScience，Ya’nanUniversity，ShanxiYa’nan716000PRC) Abstract：Totheunvariedfunction，thecontinuityofintegrandfunctiononclosedintervalistheim- portantconditionswhichmakeNewton—Leibnizformulahold．Inthispaper，weakeningtheexisting condition，whichmakeNewton—Leibnizformulageneralize，andalsotheexamplesofusing舡esly— en．Meanwhile，Newton—Leibnizformulasofdoubleintegralandcurvilinearintegralarediscussed． Keywords：Newton—Leibnizformula，Continuity，Doubleintegral，Curvilinearintegral O 前言牛顿一莱布尼兹公式是微积分学中一个极其重要的基本公式，它之所以重要，是由于它揭示了函数的定积分与原函数(或不定积分)之间的内在联系，因此人们也常将其称为微积分基本公式。利用它可将定积分的计算问题转化为原函数的计算问题，但由于该公式的条件比较强’，影响了它的应用。如求定积分f二以茗)也，其中心)：』蛐÷一隅{，一吾s茗分析

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教学。基金项目：“陕西省第三轮高等教育教学改革”与“陕西省精品课程”项目资助。万方数据第6期马保国等：牛顿一莱布尼兹公式的推广 ·859· 1 一元函数牛顿一莱布尼兹公式的推广定理2‘21：若函数人名)在闭区间[a9b]上可积，且存在函数F(菇)使得 (1)V(x)在[口，b]上连续； (2)，(菇)在(口，6)内可导，且，’(茗)=以戈)，则有 J八x)dx=F(b)一F(n)。证明：在区间[口，b]中插入17,一1个点石。，茹：， ⋯，石f-1，石∥一，省¨，将区间[口，b]，l等分，其中菇。 =叩。=岫f=。+字i(i-1'2，⋯，n_1)，记ZXxf=茗i一戈i一1o 因为r(x)在[n，b]上连续，故有 F(6)一F(Ⅱ)=∑[F(茗i)一F(戈，，)]= 一lim。；[F(菇i)一F(Xi-I)]。又因为F(石)在[a，b]上连续，在(口，6)内可导，且F’(菇)=以戈)，于是r(x)在各个小区间 [簟小气]上满足文献[3]中定理1．2的条件，故有fi∈(菇i一1，菇i)(i=1，2，⋯，，1)，使得 V(x{)一V(xi一1)=F’(蠹)(茹i一名i一1)= 以￡)／Xxi。所以， F(6)一F(口)=!i2∑以基)／Xx。”∞j 又因为人茗)在闭区间[口，b]上可积，所以无论对区间(口，b)怎样划分，以及区间[戈H，茗；]上的任意一点￡，姆荟八基)△茗t皆存在并等同于同一个常数I八菇)也，故按照将[口，b]等分并取上述这些￡的方法也有 F(6)一F(口)=!i罂∑八￡)Ax；=fl八菇)如。n一∞：。=弋 J口现在来看一个例子。例1：设以戈)= f2戈sin上一c。s上，一三5舅<0或o<茗s一2， Io．茗茗菇二。o 77 求定积分f：八茄)dx。解：因为八石)在[一三，三]上只有一个问断点且有界，所以，由文献[1]中的定理9．5知以z) 在[一三，三]上可积。现取 F(菇)= f茗2sin一1，一一2≤戈<0或o<石冬一2 Io．戈戈!o 田则F(戈)在[一三，三]上连续，在(一三，三)内可导且有F’(菇)=八菇)。根据定理2，得廖帕叫吾)州一号)=嘉一(一 4、8 2，一 2o 7『 7r 事实上，还能进一步放宽牛顿一莱布尼兹公式成立的条件。定理3‘21：函数八茗)在[口，b]闭区间上可积，若存在函数F(菇)满足条件 (1)r(x)在[o，b]上连续； (2)(口，6)内除有限个点外有F’(石)=火石) 恒成立，则有 J以茗)也=F(6)一F(Ⅱ)。证明：假设点茗1，戈2，⋯，戈训∈(o，b)(口=粕 <茗1<名2<⋯<菇州<菇。=b)是开区间(口，b) 内使得F7(z)=八戈)不成立的全部点，这些点将整个闭区间[a，b]分割成m个小闭区间：[并。，茹1]，[石1，髫2]，⋯，[茗。一1，石。](其中Xo=n，菇。=b)，八戈)和F(X)在这m个小区间上皆满足定理2的条件，于是有上八z)也2荟J拈l菇)出2荟[，(髫i)一 V(xH)]=F(b)一F(口)。注：定理2、定理3也参考文献[7]。例2：设八髫)= r2，0<菇O，使得V茗E[口，b]有I以茗)Is 肘。又F(菇)在[a，b]上连续，从而F(x)在[口，b] 上一致连续，故对V占>0，j占>0，且可

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6< minIb—n，蠢}，使得对V菇’，∥E[口，6]只要I菇’ 一茗”I<占，便有IF(x’)一F(茗”)I<导。由于孝为E中的唯一点，且矿(蠡；占)n(口， b)≠①从而在(口，口+睾)内几乎含有E的全部点，而在(a+等，6)内至多含有中有E限多个点。又由于I口+辜一口I；导<6，从而有l，(口 +导)一F(a)l<导。显然以菇)在[口+睾，6]上可积，，(菇)在[口 +孚，6]上连续且在(口+拿，6)内含有E中有限个点，从而除去这有限多个点之外均有F’(石)= 火菇)。根据定理3，有￡∥菇)也=F(6)一(口+导)。于是 l f八菇)如一[F(6)一F(a)]I=If‘以石) 一埘+彳 dx+f+∥茗)也一[F(6)一，(n)]I-’上‘以石) 一6 一+彳 dx+F(6)一F(口+睾)一F(6)+S(a)I5IF(口 +孚)一，(口)I+r+欲茗)出<手+南·M=8。由P的任意性可知，l以茹)觑=F(6)一F(口)。对于f=b或者亭E(a，b)类似可证。 (2)设E有有限个点，总可在[口，b]中插入有限个点口2％下册

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)[M]．北京：高等教育出版社，2003． [2]陈启娴．牛顿一莱布尼兹公式应用范围的推广[J]．西华大学学报，2005，(24)5：78—80．【3]马保国．微积分学中值定理研究[M]．北京：中国教育文化出版社，2006． [4]巩子坤．牛顿一莱布尼兹公式的再推广[J]．洛阳大学学报，1996，14(2)：16—18． [5]李信明．牛顿一莱布尼兹公式的推广[J]．潍坊学院学报，2001，(1)2：23-24． [6]张若峰．牛顿一莱布尼兹公式在平面曲线积分和空间曲线积分中的应用【J]．河西学院学报，2004， (20)：2：8-9．【7】汤泽滢，周敏，邓小妮．对牛顿一莱布尼兹公式的一点认识[J]．数学理论与应用，1999，(19)4：46-48． [8]滕文凯．谈牛顿一莱布尼兹公式[J]．承德民族师专学报，1995，15(2)：18—23．万方数据牛顿-莱布尼兹公式的推广作者：马保国，雷艳亮， MA Bao-guo， LEI Yan-liang 作者单位：延安大学数学与计算机科学学院,陕西,延安,716000 刊名：江西科学英文刊名： JIANGXI SCIENCE 年，卷(期)： 2008，26(6) 引用次数： 0次参考文献(8条) 1.华东师范大学数学系数学分析 2003 2.陈启娴牛顿-莱布尼兹公式应用范围的推广[期刊论文]-西华大学学报（自然科学版） 2005(5) 3.马保国微积分学中值定理研究 2006 4.巩子坤牛顿-莱布尼兹公式的再推广[期刊论文]-洛阳大学学报 1996(2) 5.李信明牛顿--莱布尼兹公式的推广[期刊论文]-潍坊学院学报 2001(2) 6.张若峰牛顿-莱布尼茨公式在平面曲线积分和空间曲线积分中的应用[期刊论文]-河西学院学报 2004(2) 7.汤泽滢.周敏.邓小妮对牛顿-莱布尼兹公式的一点认识 1999(4) 8.滕文凯谈牛顿-莱布尼兹公式 1995(2) 相似文献(6条) 1.期刊论文陈启娴.CHEN Qi-Xian 牛顿-莱布尼兹公式应用范围的推广 -西华大学学报（自然科学版）2005,24(5) 被积函数在闭区间上连续是牛顿-莱布尼兹公式成立的重要条件,通过削弱该条件使牛顿-莱布尼兹公式的应用范围得到了推广,并举例说明.同时,结合实际提出使用牛顿-莱布尼兹公式时应注意的问题.最后,结合拉格朗日微分中值定理改进了积分中值定理的条件和结论. 2.期刊论文刘德厚一类在积分区间上不连续函数的积分法 -科技信息（学术版）2008(23) 用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分,只能计算在积分区间上连续的函数的定积分,本文给出了一个计算在积分区间上有无穷间断点并满足一定条件的函数的积分法. 3.期刊论文萧明达变上限定积分的两个应用 -南京经济区域广播电视大学学报1999(1) 在微积分学中,变上限定积分∫xaf(t)dt(也称积分上限函数)作为连续函数f(x)的一个原函数F(X)即F(x)=∫xaf(t)dt,在微积分基本定理即牛顿--莱布尼兹公式的证明中是起着关键作用,这是众所周知的.现在,本文拟着重就它的以下两个重要应用:积分第一中值定理的推广和一类含有变上限定积分的函数方程的求解作些探讨. 4.期刊论文潘学锋.PAN Xue-feng 浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别 -甘肃联合大学学报（自然科学版） 2007,21(5) 从积分的定义,可积函数的连续性,积分的可加性,积分极限定理,牛顿-莱布尼兹公式五个方面阐述了黎曼积分与勒贝格积分的区别. 5.期刊论文郑权基于微分中值定理证明微积分基本公式和积分中值定理 -大学数学2003,19(6) 我们都知道证明微积分基本公式(牛顿-莱布尼兹公式)和证明积分中值定理的通常的方法,也就是先利用积分中值定理推出积分上限的函数的导数公式,然后由此再借助原函数的概念证明微积分基本公式,以及利用定积分的性质(即估值定理)和闭区间上连续函数的介值定理证明积分中值定理,其中积分中值定理的中间点ξ的范围是a≤ξ≤b[1].本文将根据微分中值定理和定积分定义直接证明微积分基本公式,并直接揭示微分学和积分学的密切联系;进一步,根据微分中值定理和原函数存在定理简洁地证明积分中值定理,并阐明它的中间点ξ的范围是a＜ξ＜b,这使得微分中值定理和积分中值定理的中间点ξ的取值范围都一致的是开区间(a,b). 6.学位论文王殿坤不确定系统及中立型非线性大系统的鲁棒镇定 2005 本论文利用Lyapunov稳定性理论，建立在状态空间模型的基础上，研究了不确定时滞系统及区间中立型非线性大系统的鲁棒镇定问题，得到了判定系统渐近稳定的充分条件.就研究的时滞而言，有单个时滞的，也有多时滞的，有定常时滞的，也有时变时滞的.就系统的参数不确定性而言，既有满足匹配条件的不确定性，也有不满足匹配条件的不确定性，还有区间系数的控制系统. 本论文的主要工作有以下几个方面： 1.首先研究了一类时变多时滞系统的鲁棒稳定性问题.采用引入牛顿-莱布尼兹公式的方法，借助于线性矩阵不等式理论，得到了判定系统渐近稳定的充分条件.然后，研究了具有不确定项的时变多时滞系统的鲁棒稳定性问题，在不确定项范数有界的假设条件下，同样获得了判定该种类型的不确定系统鲁棒稳定的充分条件. 2.本部分主要讨论了一类状态和控制输入均含有时滞的连续时间系统的二次镇定问题.系统中所有的不确定参数都假定是范数有界的，但是它们并不满足所谓的“匹配”条件.通过引入二次镇定性的概念，本文给出了一种利用状态反馈控制律来控制该系统的方法.这种反馈控制律是通过解代数矩阵方程得到的.所得到的结果保守性小，此结论由一个定理作了说明. 3.本部分借助于线性矩阵不等式理论，通过引入一类特殊的LyapunovKrasovskii函数，讨论了一类多时滞时变中立型不确定系统的鲁棒稳定性问题，得到了系统渐近稳定的充分条件. 4.采用无滞后控制系统与滞后控制系统的鲁棒镇定等价性方法，利用把非线性项视为线性孤立系统的扰动项的处理方法，研究了一类多组多滞后区间系数中立型非线性定常大系统的鲁棒镇定问题，给出了区间长度及时间滞后的估计范围，进而得到了判定系统一致渐近稳定的充分条件. 5.采用和第4部分相同的方法，研究了一类多组多滞后区间系数中立型非线性时变大系统的鲁棒镇定问题，给出了区间长度及时间滞后的估计范围，并得到了判定系统渐近稳定的充分条件. 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jxkx200806006.aspx 下载时间：2010年5月10日

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