考研数学知识点-高等数学
Edited by 杨凯钧 2005年 10月 1
一. 函数的概念
1.用变上、下限积分
示的函数
(1) ( )dttfy x∫= 0 ,其中 ( )tf 连续,则 ( )xfdxdy =
(2) ( )( )( ) dttfy xx∫= 21ϕϕ ,其中 ( )x1ϕ , ( )x2ϕ 可导, ( )tf
连续,
则 ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )xxfxxf
dx
dy
1122 ϕϕϕϕ ′−′=
2.两个无穷小的比较
设 ( ) 0lim =xf , ( ) 0lim =xg ,且 ( )( ) lxg
xf =lim
(1) 0=l ,称 ( )xf 是比 ( )xg 高阶的无穷小,记以
( ) ( )[ ]xgxf 0= ,称 ( )xg 是比 ( )xf 低阶的无穷
小。
(2) 0≠l ,称 ( )xf 与 ( )xg 是同阶无穷小。
(3) 1=l ,称 ( )xf 与 ( )xg 是等价无穷小,记以
( ) ( )xgxf ~
3.常见的等价无穷小
当 0→x 时
xx ~sin , xx ~tan , xx ~arcsin , xx ~arctan
2
2
1~cos1 xx− , xex ~1− , ( ) xx ~1ln + ,
( ) xx αα ~11 −+
二.求极限的方法
1.利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2.两个准则
准则 1.单调有界数列极限一定存在
(1)若 nn xx ≤+1 ( n为正整数)又 mxn ≥ ( n为正
整数),则 Axnn =∞→lim 存在,且 mA ≥
(2)若 nn xx ≥+1 ( n为正整数)又 Mxn ≤ ( n为正
整数),则 Axnn =∞→lim 存在,且 MA ≤
准则 2.(夹逼定理)设 ( ) ( ) ( )xhxfxg ≤≤
若 ( ) Axg =lim , ( ) Axh =lim ,则 ( ) Axf =lim
3.两个重要
公式 1. 1sinlim
0
=→ x
x
x
公式 2. e
n
n
n
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞→
11lim ; e
u
u
u
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞→
11lim ;
( ) ev v
v
=+→
1
0
1lim
4.用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5.用泰勒公式(比用等价无穷小更深刻)(数学一和
数学二)
当 0→x 时, ( )nnx x
n
xxxe 0
!!2
1
2
+++++= Λ
( ) ( ) ( )12
1253
0
!12
1
!5!3
sin +
+
++−+++−=
n
n
n x
n
xxxxx Λ
( ) ( ) ( )n
n
n x
n
xxxx 2
242
0
!2
1
!4!2
1cos +−+−+−= Λ
( ) ( ) ( )nnn x
n
xxxxx 01
32
1ln 1
32
+−+−+−=+ +Λ
( ) ( )1212153 0
12
1
53
arctan +
++ ++−+−+−=
n
n
n x
n
xxxxx Λ
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )nn xx
n
nxxx 0
!
11
!2
111 2 +−−−++−++=+ ααααααα ΛΛ
6.洛必达法则
法则 1.(
0
0 型)设(1) ( ) 0lim =xf , ( ) 0lim =xg
(2) x变化过程中, ( )xf ′ , ( )xg ′ 皆存在
(3) ( )( ) Axg
xf =′
′
lim (或∞)
则 ( )( ) Axg
xf =lim (或∞)
(注:如果 ( )( )xg
xf
′
′
lim 不存在且不是无穷大量情形,则
不能得出 ( )( )xg
xflim 不存在且不是无穷大量情形)
法则 2.( ∞
∞型)设(1) ( ) ∞=xflim , ( ) ∞=xglim
(2) x变化过程中, ( )xf ′ , ( )xg ′ 皆存在
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(3) ( )( ) Axg
xf =′
′
lim (或∞)
则 ( )( ) Axg
xf =lim (或∞)
7.利用导数定义求极限
基本公式: ( ) ( ) ( )0000lim xfx
xfxxf
x
′=∆
−∆+
→∆ [如果
存在]
8.利用定积分定义求极限
基本公式 ( )∫∑ =⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∞→
1
0
1
1lim dxxf
n
kf
n
n
kn
[如果存在]
三.函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类:
(1)第一类间断点
设 0x 是函数 ( )xfy = 的间断点。如果 ( )xf 在间断点
0x 处的左、右极限都存在,则称 0x 是 ( )xf 的第一类间断
点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
(2)第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断
点。
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
四.闭区间上连续函数的性质
在闭区间 [ ]ba, 上连续的函数 ( )xf ,有以下几个基本
性质。这些性质以后都要用到。
定理 1.(有界定理)如果函数 ( )xf 在闭区间 [ ]ba, 上
连续,则 ( )xf 必在 [ ]ba, 上有界。
定理 2.(最大值和最小值定理)如果函数 ( )xf 在闭
区间 [ ]ba, 上连续,则在这个区间上一定存在最大值M 和
最小值m。
其中最大值M 和最小值m的定义如下:
定义 设 ( ) Mxf =0 是区间 [ ]ba, 上某点 0x 处的函数
值,如果对于区间 [ ]ba, 上的任一点 x,总有 ( ) Mxf ≤ ,
则称M 为函数 ( )xf 在 [ ]ba, 上的最大值。同样可以定义最
小值m。
定理 3.(介值定理)如果函数 ( )xf 在闭区间 [ ]ba, 上
连续,且其最大值和最小值分别为M 和m,则对于介于m
和M 之间的任何实数 c,在 [ ]ba, 上至少存在一个ξ ,使
得
( ) cf =ξ
推论:如果函数 ( )xf 在闭区间 [ ]ba, 上连续,且 ( )af
与 ( )bf 异号,则在 ( )ba, 内至少存在一个点ξ ,使得
( ) 0=ξf
这个推论也称为零点定理
五.导数与微分计算
1.导数与微分表
( ) 0=′c ( ) 0=cd
( ) 1 −=′ αα α xx (α实常数) ( ) dxxxd 1 −= αα α (α实常数)
( ) xx cossin =′ xdxxd cossin =
( ) xx sincos −=′ xdxxd sincos −=
( ) xx 2sectan =′ xdxxd 2sectan =
( ) xx 2csccot −=′ xdxxd 2csccot −=
( ) xxx tansecsec =′ xdxxxd tansecsec =
( ) xxx cotcsccsc −=′ xdxxxd cotcsccsc −=
( )
ax
xa ln
1log =′ ( )1,0 ≠> aa
ax
dxxd a ln
log = ( )1,0 ≠> aa
( )
x
x 1ln =′ dx
x
xd 1ln =
( ) aaa xx ln=′ ( )1,0 ≠> aa
adxada xx ln= ( )1,0 ≠> aa
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( ) xx ee =′ dxede xx =
( )
21
1arcsin
x
x
−
=′ dx
x
xd
21
1arcsin
−
=
( )
21
1arccos
x
x
−
−=′ dx
x
xd
21
1arccos
−
−=
( ) 21
1arctan
x
x +=
′ dx
x
xd 21
1arctan +=
( ) 21
1cot
x
xarc +−=
′ dx
x
xdarc 21
1cot +−=
( )[ ]
22
22 1ln
ax
axx
+
=′++
( ) dx
ax
axxd
22
22 1ln
+
=++
( )[ ]
22
22 1ln
ax
axx
−
=′−+
( ) dx
ax
axxd
22
22 1ln
−
=−+
2.四则运算法则
( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxf ′±′=′±
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfxgxf ′+′=′⋅
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )xg
xgxfxgxf
xg
xf
2
′−′=
′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
( )( )0≠xg
3.复合函数运算法则
设 ( )ufy = , ( )xu ϕ= ,如果 ( )xϕ 在 x处可导, ( )uf
在对应点u处可导,则复合函数 ( )[ ]xfy ϕ= 在 x处可导,
且有
( )[ ] ( )xxf
dx
du
du
dy
dx
dy ϕϕ ′′==
对应地 ( ) ( )[ ] ( )dxxxfduufdy ϕϕ ′′=′=
由于公式 ( )duufdy ′= 不管 u 是自变量或中间变量
都成立。因此称为一阶微分形式不变性。
4.由参数方程确定函数的运算法则
设 ( )tx ϕ= , ( )ty ψ= 确定函数 ( )xyy = ,其中 ( )tϕ′ ,
( )tψ ′ 存在,且 ( ) 0≠′ tϕ ,则
( )
( )t
t
dx
dy
ϕ
ψ
′
′= ( )( )0≠′ tϕ
二阶导数
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]32
2 1
t
tttt
dt
dxdt
dx
dyd
dx
dx
dyd
dx
yd
ϕ
ϕψϕψ
′
′′′−′′′=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=
5.反函数求导法则
设 ( )xfy = 的反函数 ( )ygx = ,两者皆可导,且
( ) 0≠′ xf
则 ( ) ( ) ( )[ ]ygfxfyg ′=′=′
11
( )( )0≠′ xf
二阶导数 ( ) ( )[ ] ( )
dx
dydx
xf
d
dy
ygdyg 1
1
⋅
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
′=′=′′
( )
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]{ }33 ygf
ygf
xf
xf
′
′′−=′
′′−= ( )( )0≠′ xf
6.隐函数运算法则
设 ( )xyy = 是由方程 ( ) 0, =yxF 所确定,求 y′的方
法如下:
把 ( ) 0, =yxF 两边的各项对 x求导,把 y看作中间变
量,用复合函数求导公式计算,然后再解出 y′的表达式(允
许出现 y变量)
7.对数求导法则
先对所给函数式的两边取对数,然后再用隐函数求导
方法得出导数 y′。
对数求导法主要用于:
①幂指函数求导数
②多个函数连乘除或开方求导数
关 于 幂 指 函 数 ( )[ ] ( )xgxfy = 常 用 的 一 种 方 法
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( ) ( )xfxgey ln= 这样就可以直接用复合函数运算法则进行。
8.可微与可导的关系
( )xf 在 0x 处可微 ( )xf⇔ 在 0x 处可导。
9.求n阶导数( 2≥n ,正整数)
先求出 ,,, Λyy ′′′
出规律性,然后写出 ( )ny ,最后
用归纳法
。
有一些常用的初等函数的 n阶导数公式
(1) xey = ( ) xn ey =
(2) ( )1,0 ≠>= aaay x ( ) ( )nxn aay ln=
(3) xy sin= ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
2
sin πnxy n
(4) xy cos= ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
2
cos πnxy n
(5) xy ln= ( ) ( ) ( ) nnn xny −− −−= !11 1
两个函数乘积的 n阶导数有莱布尼兹公式
( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑
=
−=
n
k
knkk
n
n xvxuCxvxu
0
其 中 ( )!!
!
knk
nC kn −= ,
( ) ( ) ( )xuxu =0 ,
( ) ( ) ( )xvxv =0
假设 ( )xu 和 ( )xv 都是 n阶可导。
微分中值定理
一.罗尔定理
设函数 ( )xf 满足
(1)在闭区间 [ ]ba, 上连续;
(2)在开区间 ( )ba, 内可导;
(3) ( ) ( )bfaf =
则存在 ( )ba,∈ξ ,使得 ( ) 0=′ ξf
二.拉格朗日中值定理
设函数 ( )xf 满足
(1)在闭区间 [ ]ba, 上连续;
(2)在开区间 ( )ba, 内可导;
则存在 ( )ba,∈ξ ,使得
( ) ( ) ( )ξf
ab
afbf ′=−
−
或写成 ( ) ( ) ( )( )abfafbf −′=− ξ ( )ba << ξ
有时也写成 ( ) ( ) ( ) xxxfxfxxf ∆⋅∆+′=−∆+ θ000
( )10 <<θ
这里 0x 相当 a或b都可以, x∆ 可正可负。
推论 1.若 ( )xf 在 ( )ba, 内可导,且 ( ) 0≡′ xf ,则 ( )xf
在 ( )ba, 内为常数。
推论 2.若 ( )xf , ( )xg 在 ( )ba, 内皆可导,且
( ) ( )xgxf ′≡′ ,则在 ( )ba, 内 ( ) ( ) cxgxf += ,其中 c为
一个常数。
三.柯西中值定理(数学四不要)
设函数 ( )xf 和 ( )xg 满足:
(1)在闭区间 ],[ ba 上皆连续;
(2)在开区间 ( )ba, 内皆可导;且 ( ) 0≠′ xg
则存在 ( )ba,∈ξ 使得
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )ξ
ξ
g
f
agbg
afbf
′
′=−
−
( )ba << ξ
(注:柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特
殊情形 ( ) xxg = 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定
理。)
四.泰勒定理(泰勒公式)(数学一和数学二)
定理 1.(皮亚诺余项的 n阶泰勒公式)
设 ( )xf 在 0x 处有 n阶导数,则有公式
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xRxx
n
xfxxxfxxxfxfxf n
n
n
+−++−′′+−′+= 00200000 !!2!1 Λ
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( )0xx→
其中 ( ) ( )[ ]nn xxxR 00 −= ( )0xx→ 称为皮亚诺
余项。
( )
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ =−→ 0lim 00 n
n
xx xx
xR
前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形,根据不
同情形取适当的 n ,所以对常用的初等函数如
( )xxxe x +1ln,cos,sin, 和 ( )αx+1 (α为实常数)等的 n
阶泰勒公式都要熟记。
定理 2(拉格朗日余项的 n阶泰勒公式)
设 ( )xf 在包含 0x 的区间 ( )ba, 内有 1+n 阶导数,在
[ ]ba, 上有 n阶连续导数,则对 [ ]bax ,∈ ,有公式
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xRxx
n
xfxxxfxxxfxfxf n
n
n
+−++−′′+−′+= 00200000 !!2!1 Λ
其中 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 10
1
!1
++ −+=
n
n
n xxn
fxR ξ ,(ξ 在 0x 与 x之
间)
称为拉格朗日余项。
上面展开式称为以 0x 为中心的 n 阶泰勒公式。当
00 =x 时,也称为 n阶麦克劳林公式。
如果 ( ) 0lim =∞→ xRnn ,那么泰勒公式就转化为泰勒级
数,这在后面无穷级数中再讨论。
导数的应用:
一.基本知识
1.定义
设函数 ( )xf 在 ( )ba, 内有定义, 0x 是 ( )ba, 内的某一
点,则
如果点 0x 存在一个邻域,使得对此邻域内的任一点
( )0xxx ≠ ,总有 ( ) ( )0xfxf < ,则称 ( )0xf 为函数 ( )xf
的一个极大值,称 0x 为函数 ( )xf 的一个极大值点;
如果点 0x 存在一个邻域,使得对此邻域内的任一点
( )0xxx ≠ ,总有 ( ) ( )0xfxf > ,则称 ( )0xf 为函数 ( )xf
的一个极小值,称 0x 为函数 ( )xf 的一个极小值点。
函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值
点统称极值点。
2.必要条件(可导情形)
设函数 ( )xf 在 0x 处可导,且 0x 为 ( )xf 的一个极值
点,则 ( ) 00 =′ xf 。
我们称 x满足 ( ) 00 =′ xf 的 0x 为 ( )xf 的驻点可导函
数的极值点一定是驻点,反之不然。
极值点只能是驻点或不可导点,所以只要从这两种点
中进一步去判断。
3.第一充分条件
设 ( )xf 在 0x 处连续,在 δ<−< 00 xx 内可导,
( )0xf ′ 不存在,或 ( ) 00 =′ xf 。
°1 如果在 ( )00 , xx δ− 内的任一点 x处,有
( ) 0>′ xf ,而在 ( )δ+00 , xx 内的任一点 x处,有
( ) 0<′ xf ,则 ( )0xf 为极大值, 0x 为极大值点;
°2 如果在 ( )00 , xx δ− 内的任一点 x处,有
( ) 0<′ xf ,而在 ( )δ+00 , xx 内的任一点 x处,有
( ) 0>′ xf ,则 ( )0xf 为极小值, 0x 为极小值点;
°3 如果在 ( )00 , xx δ− 内与 ( )δ+00 , xx 内的任一点
x处, ( )xf ′ 的符号相同,那么 ( )0xf 不是极值, 0x 不是
极值点。
4.第二充分条件
设函数 ( )xf 在 0x 处有二阶导数,且 ( ) 00 =′ xf ,
( ) 00 ≠′′ xf ,则
当 ( ) 00 <′′ xf 时, ( )0xf 为极大值, 0x 为极大值点。
当 ( ) 00 >′′ xf 时, ( )0xf 为极小值, 0x 为极小值点。
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二.函数的最大值和最小值
1.求函数 ( )xf 在 [ ]ba, 上的最大值和最小值的方法
首先,求出 ( )xf 在 ( )ba, 内所有驻点和不可导点
kxx ,,1 Λ ,其次计算 ( ) ( ) ( ) ( )bfafxfxf k ,,,,1 Λ 。
最后,比较 ( ) ( ) ( ) ( )bfafxfxf k ,,,,1 Λ ,
其中最大者就是 ( )xf 在 [ ]ba, 上的最大值M ;其中最
小者就是 ( )xf 在 [ ]ba, 上的最小值m。
2.最大(小)值的应用问
首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间,
然后再求出目标函数在区间内的最大(小)值。
三.凹凸性与拐点
1.凹凸的定义
设 ( )xf 在区间 I 上连续,若对任意不同的两点 21 , xx ,
恒有
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++>⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
21
21
21
21
2
1
22
1
2
xfxfxxfxfxfxxf
则称 ( )xf 在 I 上是凸(凹)的。
在几何上,曲线 ( )xfy = 上任意两点的割线在曲线下
(上)面,则 ( )xfy = 是凸(凹)的。
如果曲线 ( )xfy = 有切线的话,每一点的切线都在曲
线之上(下)则 ( )xfy = 是凸(凹)的。
2.拐点的定义
曲线上凹与凸的分界点,称为曲线的拐点。
3.凹凸性的判别和拐点的求法
设函数 ( )xf 在 ( )ba, 内具有二阶导数 ( )xf ′′ ,
如果在 ( )ba, 内的每一点 x,恒有 ( ) 0>′′ xf ,则曲线
( )xfy = 在 ( )ba, 内是凹的;
如果在 ( )ba, 内的每一点 x,恒有 ( ) 0<′′ xf ,则曲线
( )xfy = 在 ( )ba, 内是凸的。
求曲线 ( )xfy = 的拐点的方法步骤是:
第一步:求出二阶导数 ( )xf ′′ ;
第二步:求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的
点 1x 、 2x 、…、 kx ;
第三步:对于以上的连续点,检验各点两边二阶导数
的符号,如果符号不同,该点就是拐点的横坐标;
第四步:求出拐点的纵坐标。
四.渐近线的求法
1.垂直渐近线
若 ( ) ∞=+→ xfaxlim 或 ( ) ∞=−→ xfaxlim
则 ax = 为曲线 ( )xfy = 的一条垂直渐近线。
2.水平渐近线
若 ( ) bxf
x
=+∞→lim ,或 ( ) bxfx =−∞→lim
则 by = 是曲线 ( )xfy = 的一条水平渐近线。
3.斜渐近线
若 ( ) 0lim ≠=+∞→ ax
xf
x
, ( )[ ] baxxf
x
=−+∞→lim
或 ( ) 0lim ≠=−∞→ ax
xf
x
, ( )[ ] baxxf
x
=−−∞→lim
则 baxy += 是曲线 ( )xfy = 的一条斜渐近线。
五.曲率(数学一和数学二)
设 曲 线 ( )xfy = , 它 在 点 ( )yxM , 处 的 曲 率
( )[ ] 2321 yyk ′+ ′′= ,若 0≠k ,则称 kR 1= 为点 ( )yxM , 处
的曲率半径,在M 点的法线上,凹向这一边取一点D,
使 RMD = ,则称D为曲率中心,以D为圆心,R为半
径的圆周称为曲率圆。
不定积分
一.基本积分公式
1. Cxdxx ++=∫
+
1
1
α
α
α ( ),实常数1−≠α
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2. ∫ += Cxdxx ln1
3. ∫ += Caadxa xx ln1 ( )1,0 ≠> aa
Cedxe xx +=∫
4. ∫ += Cxxdx sincos
5. ∫ +−= Cxxdx cossin
6. Cxdx
x
xdx +== ∫∫ tancos1sec 22
7. Cxdx
x
xdx +−==∫ ∫ cotsin1csc 22
8. Cxxdxx +=∫ secsectan
9. Cxxdxx +−=∫ csccsccot
10. Cxxdx +−=∫ coslntan
11. Cxxdx +=∫ sinlncot
12. Cxxxdx ++=∫ tanseclnsec
13. Cxxxdx +−=∫ cotcsclncsc
14. ∫ +=− Ca
x
xa
dx arcsin
22
( )0>a
15. C
a
x
axa
dx +=+∫ arctan122 ( )0>a
16. C
xa
xa
axa
dx +−
+=−∫ ln2122 ( )0>a
17. Caxx
ax
dx +±+=
±∫ 2222 ln ( )0>a
二.换元积分法和分部积分法
1.第一换元积分法(凑微分法)
设 ( ) ( ) CuFduuf +=∫ ,又 ( )xϕ 可导,则
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )duufxuxdxfdxxxf ∫∫∫ ==′ ϕϕϕϕϕ 令
( ) ( )[ ] CxFCuF +=+= ϕ
这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”,也就
是非常熟练地凑出微分。
常用的几种凑微分形式:
(1) ( ) ( ) ( )∫∫ ++=+ baxdbaxfadxbaxf 1
( )0≠a
(2) ( ) ( ) ( )∫∫ ++=+ − baxdbaxfnadxxbaxf nnnn 11
( )0,0 ≠≠ na
(3) ( ) ( ) ( )xdxf
x
dxxf lnlnln ∫∫ =
(4) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∫∫ xdxfxdxxf 111 2
(5) ( ) ( ) ( )∫∫ = xdxfxdxxf 2
(6) ( ) ( ) ( )∫∫ = xxxx adafadxaaf ln1
( )1,0 ≠> aa
( ) ( ) ( )∫∫ = xxxx edefdxeef
(7) ( ) ( ) ( )∫∫ = xdxfxdxxf sinsincossin
(8) ( ) ( ) ( )∫∫ −= xdxfxdxxf coscossincos
(9) ( ) ( ) ( )∫∫ = xdxfxdxxf tantansectan 2
(10) ( ) ( ) ( )∫∫ −= xdxfxdxxf cotcotcsccot 2
(11) ( ) ( ) ( )∫∫ = xdxfxdxxxf secsectansecsec
(12) ( ) ( ) ( )∫∫ −= xdxfxdxxxf csccsccotcsccsc
(13) ( ) ( ) ( )∫∫ =− xdxfdxx
xf arcsinarcsin
1
arcsin
2
(14) ( ) ( ) ( )∫∫ −=− xdxfdxx
xf arccosarccos
1
arccos
2
(15) ( ) ( ) ( )∫∫ =+ xdxfdxx xf arctanarctan1arctan2
(16) ( ) ( ) ( )∫∫ −=+ xarcdxarcfdxx xarcf cotcot1 cot2
考研数学知识点-高等数学
Edited by 杨凯钧 2005年 10月 8
(17) ∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
x
d
x
fdx
x
x
f
1arctan1arctan
1
1arctan
2
( 18 )
( )[ ] ( )[ ] ( )( )∫∫ ++++=+ ++ 222222 22 lnlnln axxdaxxfdxax axxf
( )0>a
( 19 )
( )[ ] ( )[ ] ( )( )∫∫ −+−+=− −+ 222222 22 lnlnln axxdaxxfdxax axxf
( )0>a
(20) ( )( ) ( ) Cxfdxxf
xf +=′∫ ln ( )( )0≠xf
2.第二换元积分法
设 ( )tx ϕ= 可 导 , 且 ( ) 0≠′ tϕ , 若
( )[ ] ( ) ( ) CtGdtttf +=′∫ ϕϕ ,
则
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] CxGCtGdtttftxdxxf +=+=′=∫ ∫ −1ϕϕϕϕ令
其中 ( )xt 1−= ϕ 为 ( )tx ϕ= 的反函数。
第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数,通过
换元把根式去掉,其常见的变量替换分为两大类:
第一类:被积函数是 x与 n bax + 或 x与 n
dcx
bax
+
+ 或
由 xe 构成的代数式的根式,例如 baex + 等。
只要令根式 ( ) txgn = ,解出 ( )tx ϕ= 已经不再有根
式,那么就作这种变量替换 ( )tx ϕ= 即可。
第二类:被积函数含有 ( )0 2 ≠++ ACBxAx ,
如果仍令 tCBxAx =++2 解出 ( )tx ϕ= 仍是根号,那
么这样变量替换不行,要作特殊处理,将 0>A 时先化为
( )[ ]220 lxxA ±− , 0