1
第 4.1 节 进一步的注记
注记 1.存在 0C 中的
,它不是某个可积函数的 Fourier 变换.
设 0f C ,且为奇函数,若存在 1g L ,使得 ˆf g ,则
sin 2f x i g t xt dt
,于是
1, 1,
sin 2
b b
f x xt
dx i dx g t dt
x x
2
2
sinbt
t
xi g t dt dx
x
,由于 sin x dx
x
收敛,故得
1
b f x
dx M
x
.
令 sgn
ln
xf x
x
,则 0f C ,且为奇函数,但
1
lim
b
b
f x
dx
x
.
注记 2.卷积算子的范数.
设 1 ng L E ,令 B f f g ,则B是 p pn nL E L E 的有界线性算子,并且
1 ppB f g f ,故 1pB g ,其中 sup : 1p pB Bf f .
当 1p 时,取 f ,其中 1 nL E , 1 1 ,则 1 1f , 1 0B f g ,
11B f g ,即得 1 1B g .
当 2p 时, 2 ˆB g ,见定理 3.18.并且,此时,若 0g ,则 2 1B g ,因为:
1 1ˆ ˆ0g g g g .
利用算子插值理论.可以推出,当 0g 时,
1
pB g ,1 p .
定理 3.18.设u ,则 2 2 ˆ, nu L L u L E ;并且,此时 uˆ B ,这里的
B为到 2 nL E 的算子 u .
注记 3.定理 1.3 的推广.
定理 1.3.设1 p , p nf L E , 1 ng L E ,则 1p pf g f g .
定理(Young 不等式).设 p nf L E , r ng L E ,若1 ,p r , 1 1 1p r ,则
q nh f g L E ,其中 1 1 1 1q p r ,且 q p rh f g .
证.不妨设 r ,则 1p p
q r
, 1
r r
q p
,
1 1 1 1
r q p
,故
2
n n
p p r r
r q q p
E E
f g x f y g x y dy f y f y g x y g x y dy
1 1 1
n n n
r q p
p p r r
E E E
f y dy f y g x y dy g x y dy
n
r
qp r p r p rp
r p r p q q
p r r p r p r r p
E
f f y g dy g f g f g g f
,证毕.
注.也可以利用算子插值理论推出该不等式.
注记 4.按 pL 范数的导数,1 p .
定理.设 pf L ,则 f 按 pL 范数可导 f g 局部绝对连续,且 pf L .
注.(1) f x 在 ,a b 上绝对连续 0 , 0 ,当 ,a b 的两两不交子区间族
1 1, , , ,n na b a b 满足
1
n
k k
k
b a
时,
1
n
k k
k
f b f a
.
(2)设 f x 在 ,a b 上绝对连续,则它可以
示为两个绝对连续的递增函数之差,
故 f x 在 ,a b 上有界变差,于是在 ,a b 上几乎处处可导.
(3)设 f x 在 ,a b 上绝对连续,则 f x 可积,且 b
a
f x dx f b f a .
(4) f x 在 ,a b 上绝对连续 x
a
f x f a g t dt ,其中 g x 可积.
定理.设 p nf L E ,则按 pL 范数 k f 存在作为缓变广义函数的 k f 存在,且
pk nf L E .
注记 5.作为缓变广义函数的导数.
定理.设 p nf L E ,若1 p ,则作为缓变广义函数的 1k f k n 均存在,
并且 pk n h pf L E f f O h .
定理.设 1 nf L E ,则作为缓变广义函数的所有 1, ,k f k n 均存在,并且
1 1k n hf L E f f O h .
注记 6.有限 Borol 测度的绝对连续性.
定理.设 nM E ,则绝对连续 0lim 0hh ,其中 h hE E .
3
注记 7.离散有限 Borel 测度的 Fourier 变换.
设
1
kk x
k
a
,其中 k nx E ,
1
k
k
a
,则作为广义函数,
1
2ˆ kk
k
i t xt a e
.
并且 2
1
1 ˆ kn
kn t R
t dt a
R
,一般地,若 0k kx a ,则该式仍成立.
注记 8.非负有限 Borel 测度的 Fourier 变换.
定理.设 nf C E ,则存在正测度 nM E ,使得 ˆf f 为正定函数,即
1 1 0k k i j i jj i f x x , 1, , k nx x E , 1, , k .
注记 9.Abel 可求和与 Gauss 可求和的等价性.
引理.设 0 ,则
2
4
0
1 u uee e du
u
.
由此可以看出,
2
1
k
m
k
k
e c e
,若 f 有 Abel 与 Gauss 平均 A f 与 G f ,则
0 0
lim limG f l A f l .
注记 10.积分可微点处 Poisson 积分的收敛性.
定理.设 2 2 12, | |n nt P t c t
为 Poisson 核.
(1)若 p nf L E ,则在 f 的积分可微点处, f x f x .
(2)若 nM E 是奇异的,则 . . 0
n
a e
E
x x t d t .
(3) nM E , . .,
n
a e
E
u x x t d t d dx x .
注.(1)可以换成任意非负的径向递减,满足
1
1 的函数,它的证明关键在于
0
n
n
t r E
F t dt o r F t t dt
.
(2)关键的理由是 n
t r
d t o r .
(3)由 Radon-Nikodym 定理, s a ,其中 s dx ,奇异, a dx ,绝对连续,
且 a hdx ,其中 1 nh L E 是 a 关于 dx的 Radon-Nikodym 导数,于是,有
. .,
n n
a e
s
E E
u x x t d t x t h t dt h x .
4
注记 11.与平移可交换的算子.
定理.设 p q ,若B是与平移可交换的 ,p q 型线性算子,则 0B .
证. ,则 12 ph h p pqB B B h ,同时,
12 qh h qq qB B B B h ,故得
1 1 1 1 1 12 2 2 2q p p q p q
q p q p
B B B B B B ,故
0B ,证毕.
定理.设B是与平移可交换的有界线性算子,若 ,p pB L L ,则 ,q qB L L ,其中
1 1 2 1 1 2q p .
证.利用对偶性与算子插值理论,证毕.
注记 12.作为广义函数的微分算子.
:k 也是与平移可交换的线性算子,虽然它不能扩张为 ,p q 型算子,但是
它也是卷积型的,事实上,令 0ku ,则u ,并且,有
0k k x xx u u x .
一般地,设 :B P ,则存在u ,使得B u ,并且 ˆ 2u P ix .
注记 13.当 2p 时,存在 p nf L E ,使得 1Locˆ nf L E .
注记 14.旋转群上的积分.
设 1 nf L E , d 为 SO n 上的规范 Haar 测度,则
nE
f x dx
1 1 1 1
1
0n n n n
n
SO n SO n
dx f rx r dr x dx d x dx dx x d
1 1
1 1
n n
n
SO n SO n SO n
dx e d dx d d
.
注记 14.缓变广义函数的表示.
定理.设u ,则
m
u a f
,其中 f 均为缓增连续函数.
定理 3.11.设 L为上的线性泛函,则 L 存在 , 0k m ,使得 ,均有
,
,
sup
n
k m
x Ek m
L C x x
.