调和分析讲义004---进一步的注记

1 第 4.1 节 进一步的注记 注记 1.存在  0C  中的函数,它不是某个可积函数的 Fourier 变换. 设  0f C  ,且为奇函数,若存在  1g L  ,使得 ˆf g ,则      sin 2f x i g t xt dt    ,于是           1, 1, sin 2 b b f x xt dx i dx g t dt x x         2 2 sinbt t xi g t dt dx x       ,由于 sin x dx x    收敛,故得   1 b f x dx M x  . 令   sgn ln xf x x  ,则  0f C  ,且为奇函数,但   1 lim b b f x dx x   . 注记 2.卷积算子的范数. 设  1 ng L E ,令  B f f g  ,则B是    p pn nL E L E 的有界线性算子,并且   1 ppB f g f ,故   1pB g ,其中    sup : 1p pB Bf f  . 当 1p  时,取 f  ,其中  1 nL E , 1 1  ,则 1 1f  ,   1 0B f g   ,   11B f g  ,即得  1 1B g . 当 2p  时,  2 ˆB g  ,见定理 3.18.并且,此时,若 0g  ,则  2 1B g ,因为:  1 1ˆ ˆ0g g g g   . 利用算子插值理论.可以推出,当 0g  时,   1 pB g ,1 p   . 定理 3.18.设u  ,则    2 2 ˆ, nu L L u L E   ;并且,此时 uˆ B  ,这里的 B为到  2 nL E 的算子 u  . 注记 3.定理 1.3 的推广. 定理 1.3.设1 p   ,  p nf L E ,  1 ng L E ,则 1p pf g f g  . 定理(Young 不等式).设  p nf L E ,  r ng L E ,若1 ,p r  , 1 1 1p r  ,则  q nh f g L E   ,其中 1 1 1 1q p r   ,且 q p rh f g . 证.不妨设 r   ,则 1p p q r   , 1 r r q p   , 1 1 1 1 r q p     ,故 2                n n p p r r r q q p E E f g x f y g x y dy f y f y g x y g x y dy                 1 1 1 n n n r q p p p r r E E E f y dy f y g x y dy g x y dy                             n r qp r p r p rp r p r p q q p r r p r p r r p E f f y g dy g f g f g g f           ,证毕. 注.也可以利用算子插值理论推出该不等式. 注记 4.按 pL 范数的导数,1 p   . 定理.设  pf L  ,则 f 按 pL 范数可导 f g  局部绝对连续,且  pf L  . 注.(1)  f x 在 ,a b 上绝对连续 0   , 0  ,当 ,a b 的两两不交子区间族    1 1, , , ,n na b a b 满足   1 n k k k b a     时,     1 n k k k f b f a     . (2)设  f x 在 ,a b 上绝对连续,则它可以示为两个绝对连续的递增函数之差, 故  f x 在 ,a b 上有界变差,于是在  ,a b 上几乎处处可导. (3)设  f x 在 ,a b 上绝对连续,则  f x 可积,且      b a f x dx f b f a   . (4)  f x 在 ,a b 上绝对连续      x a f x f a g t dt    ,其中  g x 可积. 定理.设  p nf L E ,则按 pL 范数 k f 存在作为缓变广义函数的 k f 存在,且  pk nf L E  . 注记 5.作为缓变广义函数的导数. 定理.设  p nf L E ,若1 p   ,则作为缓变广义函数的  1k f k n   均存在, 并且    pk n h pf L E f f O h     . 定理.设  1 nf L E ,则作为缓变广义函数的所有  1, ,k f k n   均存在,并且    1 1k n hf L E f f O h     . 注记 6.有限 Borol 测度的绝对连续性. 定理.设  nM E ,则绝对连续 0lim 0hh      ,其中     h hE E    . 3 注记 7.离散有限 Borel 测度的 Fourier 变换. 设 1 kk x k a    ,其中 k nx E , 1 k k a     ,则作为广义函数,   1 2ˆ kk k i t xt a e       . 并且   2 1 1 ˆ kn kn t R t dt a R      ,一般地,若   0k kx a   ,则该式仍成立. 注记 8.非负有限 Borel 测度的 Fourier 变换. 定理.设  nf C E ,则存在正测度  nM E ,使得 ˆf f  为正定函数,即  1 1 0k k i j i jj i f x x       ,  1, , k nx x E  , 1, , k   . 注记 9.Abel 可求和与 Gauss 可求和的等价性. 引理.设 0  ,则 2 4 0 1 u uee e du u         . 由此可以看出,   2 1 k m k k e c e     ,若 f 有 Abel 与 Gauss 平均  A f 与  G f ,则     0 0 lim limG f l A f l      . 注记 10.积分可微点处 Poisson 积分的收敛性. 定理.设      2 2 12, | |n nt P t c t        为 Poisson 核. (1)若  p nf L E ,则在 f 的积分可微点处,     f x f x  . (2)若  nM E  是奇异的,则         . . 0 n a e E x x t d t        . (3)  nM E  ,         . ., n a e E u x x t d t d dx x      . 注.(1)可以换成任意非负的径向递减,满足 1 1  的函数,它的证明关键在于         0 n n t r E F t dt o r F t t dt      . (2)关键的理由是    n t r d t o r  . (3)由 Radon-Nikodym 定理, s a    ,其中 s dx  ,奇异, a dx  ,绝对连续, 且 a hdx  ,其中  1 nh L E 是 a 关于 dx的 Radon-Nikodym 导数,于是,有            . ., n n a e s E E u x x t d t x t h t dt h x          . 4 注记 11.与平移可交换的算子. 定理.设 p q ,若B是与平移可交换的  ,p q 型线性算子,则 0B  . 证.   ,则    12 ph h p pqB B B h           ,同时,      12 qh h qq qB B B B h           ,故得 1 1 1 1 1 12 2 2 2q p p q p q q p q p B B B B B B         ,故 0B  ,证毕. 定理.设B是与平移可交换的有界线性算子,若  ,p pB L L ,则  ,q qB L L ,其中 1 1 2 1 1 2q p   . 证.利用对偶性与算子插值理论,证毕. 注记 12.作为广义函数的微分算子. :k  也是与平移可交换的线性算子,虽然它不能扩张为  ,p q 型算子,但是 它也是卷积型的,事实上,令    0ku     ,则u  ,并且,有          0k k x xx u u x           . 一般地,设   :B P    ,则存在u  ,使得B u   ,并且  ˆ 2u P ix . 注记 13.当 2p  时,存在  p nf L E ,使得  1Locˆ nf L E . 注记 14.旋转群上的积分. 设  1 nf L E , d 为  SO n 上的规范 Haar 测度,则   nE f x dx             1 1 1 1 1 0n n n n n SO n SO n dx f rx r dr x dx d x dx dx x d                                             1 1 1 1 n n n SO n SO n SO n dx e d dx d d                        . 注记 14.缓变广义函数的表示. 定理.设u  ,则 m u a f      ,其中 f 均为缓增连续函数. 定理 3.11.设 L为上的线性泛函,则 L   存在 , 0k m  ,使得   ,均有    , , sup n k m x Ek m L C x x          .