最佳位置应该设置在哪里?
中学数学教学参考
3年第1—2期 (上甸 )
最洼 位 置
⋯ ⋯ 解题 思想方i去
应该设置在哪里
韩红军 田忠海(陕西省麟游县中学)
l 问题
在一条笔直的流水线上依次在 A ,A。,⋯,A 处
有 n个机器人在工作,并且在 A 处 的机器人的工作
效率为 (1,2,⋯,n),现欲设一零件供应点,使得 ”
个机器人与供应点的距离总和为最小.
实际上,此问题属于最佳位置的设置问题 ,可以转
化为:对 >0(i一1,2,⋯, ),z ∈R,且 z1
中学数学教学参考
3年第1—2期 (上甸 )
最洼 位 置
⋯ ⋯ 解题 思想方i去
应该设置在哪里
韩红军 田忠海(陕西省麟游县中学)
l 问题
在一条笔直的流水线上依次在 A ,A。,⋯,A 处
有 n个机器人在工作,并且在 A 处 的机器人的工作
效率为 (1,2,⋯,n),现欲设一零件供应点,使得 ”
个机器人与供应点的距离总和为最小.
实际上,此问题属于最佳位置的设置问题 ,可以转
化为:对 >0(i一1,2,⋯, ),z ∈R,且 z1
分析 ,最 后高屋建瓴地得 出了如下一般性 的结
论 :(1)当 7/为奇数时,-厂( )的最小值点为 z— ,
即在中间的绝对值 零点处取得,厂( )有最 小值
I f( )]⋯一 l + ⋯ +z }一 l + ⋯ +z I;
(2)当 为 偶 数 时,厂(z)的 最 小 值 点 为 一 t,t
∈[z导,l'n+。2],即在中间的两个绝对值零点之间任意
值取得,厂(z)有最小值[厂( )]⋯:( +⋯+z半 )
一 (z要+ ⋯ + 1).
2.2 探究过程
下面我们可以沿着罗教授 的思路继续探究上述
“ + “—·卜 “+ “+ “—卜“——卜”+ ”+ “+ “+ “+ ”+ u+ “+ ”+ 一+ n+ “+ ”+ 一+ 一+ + 一+ *+ 一+ “+ ”+ “+
理难以奏效,观察等式 的左边是一个对称轮换式 ,运
用数与形的转换 ,构造几何图形去证明.
证法 1:如 图 4,构造边长为 1的等边三角形,设
由点 D、E、1F分割后的各边 的长度依次为.27、1一 、 、
1一 、Y、1一 ,显然有 S△ADF+S△肋£+5△cEF
0,
即 f(xo)>-厂(z ).
②设 z。≥z ,不妨设 z ≤z。7 0.
又‘. z。一z1≥0,.’.f(x。)一f(x1)≥0,即 f(xo)
≥f(x ).
故当 z=z 时 ,厂(z)有最小值.
(2)当 1+ 2+⋯+ ^一l< M时
,而 l+ 2+ ⋯
+ ㈠ + ≥ ,
f(x )一 1 Iz 一z1{+ 2 Ix 一z2 l+ 3 I 一 3 l
--x^ 一1)+ (z --xo)+ ⋯ + (z -- x0),
f(x0)一f(x )一 l(z0一 )+ 2(z0一 )+⋯
+ 一l(zo-- x )+ (z 一^ zo)+ ⋯ + (z 一zo)
= ( 1+ 2+ ⋯ + 一1一 一 ⋯ 一 )(zo--x ).
·
.· + + ⋯ + 一 < ,
.
’
. l+ 2+ ⋯ + 女一l— 一 ⋯ 一 一 2( l+ 2
+ ⋯ + 一1)一M < O.
‘. x0一z < O,
.
。
. f(xo)一f(x女)>0,即 f(xo)>-厂(z々).
②设 。≥ ,不妨设 z ≤ 。< 川 ,其他情况同
理可证.
f(x0)一 1 l z0一z1 I+ 2 l z0一z2 l+ 3 1 zo—z3 l
+⋯+ lzo—z l
= 1(zo— z1)+ 2( 0一 2)+ ⋯ + (z0一 )
+ +l(z什1一 o)+ ⋯ + ( 一 z0),
f(xo)一f(x^ )一 1(zo—z )+A2(z0一 女)+⋯
+ (^ o-- .z^ )+ 女+1( 女-- x0)+ ⋯ + ( 一z0)
一 ( l+ 2+ ⋯ + --i +1一 ⋯ 一 )(z0一x )^.
·
.
·
。+ + 。+⋯+ ≥ ,z。~z ≥o,
.
。
. 1+ 2+ ⋯ + 一 +1一 ⋯ 一 一 2( 1+ 2
+⋯十 )一M≥0,
.
。
.f(xo)一f(x )≥O,即 f(xo)≥f(x ).
故当 z—z 时,,(z)有最小值.
2.3 一般结论
对 >0(i一1,2,⋯, ),37 ∈R,且 zl< 2<⋯
0
一rain{f(x1),f(x2),⋯,f(x ));
(2)当 1-4. 2-4. ⋯ + < 0
一max{f(x1),f(x2),⋯,f(x )};
(3)当 -4. 。-4. ⋯ -4. 一 0时,[f(z)]
一rain{f(x1),f(1z )),[ (z)] 一max{f( 】),
,( )}.
4 结论的应用
下面我们选择两道例题进一步分析说明上述结
论如何应用 ,当然有兴趣的读者也可以从其他角度思
考解决.
例 1 (1978年 北京 市
数学竞 赛试题 )图 1是一个
工厂区的地图,一条公路(粗
线)通过这个地区,7个工厂
A1、A2、A3、A4、A5、A 6、A7分
布在这 条公路两 侧,由一些
小路(细线)与公路相连.现
在要在公路上设一个长途汽
车站,车 站 到各 工 厂 (沿 公 图 1
路 、小路走)的距离总和越小越好.
(I)这个车站设在什么地方最好?
(Ⅱ)如果在 P点的地方又建立一个工厂 ,并且沿
着图 1上的虚线修了一条小路,这时车站设在什么地
方最好?
解法1:(I)由于公路通过工厂区,设小路与公
路相连点分别记为B、c、D、E、F,如图1所示。车站站
点记为 z,车站到各工厂 (沿公路 、小路走)的距 离总
和记为 S,则
S===I —z1 l+ {32—372 i-4-2 I z— 3 I+ I z—z4 l
+2 J — 5』
一 l z— l+ I —z2 l+ I z—z。l+l —z。J-4.j z
—z4 I+ I z—z 5 l+l z—z5 1.
根据文献[2]得出的结论知,车站站点设在 D
处 ,车站到各工厂的距离总和最小.
(Ⅱ)如果在 P点的地方又建立一个工厂 ,则
S===l z~ 1 f+ I —z2 l+2 l z—z3 l+ l z—z l
+3I 一375 f
= 1 — l 1+1 z—z2 l+1 z一.z3 1+ l 2/7一z3 1+ 1
— z4 l+l z~lz5 l十 l z—z5 l+ I z—z5 1.
一 ≮解题 思想方I芒
根据文献[2]得出的结论知,车站站点设在 D、E
处,车站到各工厂的距离总和最小.
解法 2:(1)由于公路通过工厂区,设小路与公路
相连点分别记为 B、C、D、E、F,如图 1所示.车站站点
记为 ,车站到各工厂 (沿公路、小路走)的距离 总和
记为 S,则 S— I — l-4. 』 — 。l+2 j — 。I-4. I
—lz4 f+2 I — 5 f.
々 7
由于1+1<÷,而1+1+2>÷,根据上述结论
厶 厶
知:当 —z。时 ,S最小.即车站站点设在 D处,车站
到各工厂的距离总和最小.
(11)如果在 P点的地方又建 立一个 工厂,则 S
一 {z— I+ l 一.Sg。l-4. 2 l z—z。l-4. I 一 }
-4.3 J z—z 1.
由于1+1<4—4,而1+1+2≥ 一4,或由于1 厶
+1+1<要一4,而1+1-4.1-4.2>要一4.根据上述结
[一 厶
论知:当5t2一 。或 .72 时,S最小.即车站站点设在 D、
E处 ,车站到各工厂的距离总和最小.
例 2 在一条公路上 ,每隔 lO0 km有个仓库 ,如
图2所示,共有五个仓库.一号仓库存有 ]0 t货物,二
号仓库存 20 t货物,五号仓库存 40 t货物,其余两个
仓库是空的.现在想把 所有 的货物放在一个仓库里 ,
如果货物运输 1 km/t需要 0.50元运输费,那么最少
要多少运费才行?
三 H 三 H 四 H 亘
图 2
解:以一号仓库为原点建立坐标轴 ,设货物距离
原点为 .32 km,则 所花 的运 费 为 y一5 J-4.10 l
一 10OI+20lz一400I.
1 1
由于5-4.1o<-;-(5+10.4.20),而5+1o+2o>~-
× (5-4. 10-4. 20),
根据上述结论知,当 一400时 , ⋯=5000.
综上所述 ,将货物都运到五号仓 库,最少花费为
5000元 .
参考文献 :
[1] 贺建勋,段雄伟.由课本一道例题引发的几点思考[J].
中学数学教学参考:上旬,2012(9):26—27.
[2] 罗增儒.解题案例——一道 O7年高考题的完整求解与
思维测试[J].中学数学教学参考:上半月,2007(11):
27—3O.
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