《概率论与数理统计教程》魏宗舒-课后习题解答答案-1-8章

精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除【精品文档】第PAGE页第一章事件与概率1.1写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。解(1)记9个合格品分别为，记不合格为次，则(2)记2个白球分别为，，3个黑球分别为，，，4个红球分别为，，，。则{，，，，，，，，}1.2在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。(1)叙述的意义。(2)在什么条件下成立？(3)什么时候关系式是正确的？(4)什么时候成立？解(1)事件表示该是三年级男生，但不是运动员。(2)等价于，表示全系运动员都有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。1.3一个工人生产了个零件，以事件表示他生产的第个零件是合格品（）。用表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。解(1);(2);(3);(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为；1.4证明下列各式：(1);(2)(3);(4)(5)(6)证明（1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。1.5在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解样本点总数为。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件“所得分数为既约分数”包含个样本点。于是1.6有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。解样本点总数为。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是。1.7一个小孩用13个字母作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解显然样本点总数为，事件“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含个样本点。所以1.8在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为1.9一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为。事件“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含个样本点，于是。1.10某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？解用表示“牌照号码中有数字8”，显然，所以1.11任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是1；(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1；解(1)为。(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个样本点。用事件表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为，则该数的立方的最后两位数字为1和3的个位数，要使3的个位数是1，必须，因此所包含的样本点只有71这一点，于是1.12一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到根草的情形。解(1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有种接法，同样对尾也有种接法，所以样本点总数为。用表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为。所以包含的样本点数为，于是(2)根草的情形和(1)类似得1.13把个完全相同的球随机地放入个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有个球的概率为，(2)恰好有个盒的概率为，(3)指定的个盒中正好有个球的概率为，解略。1.14某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。解所求概率为1.15在中任取一点，证明的面积之比大于的概率为。解截取，当且仅当点落入之内时的面积之比大于，因此所求概率为。1.16两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解分别用表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当。因此所求概率为1.17在线段上任取三点，求：(1)位于之间的概率。(2)能构成一个三角形的概率。解(1)(2)1.18在平面上画有间隔为的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为（均小于），求三角形与平行线相交的概率。解分别用表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然所求概率为。分别用表示边，二边与平行线相交，则显然，，。所以（用例1.12的结果）1.19己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件“该点命中的中点”的概率等于零，但不是不可能事件。1.20甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。解表示白，表示黑白，表示黑黑白，…，则样本空间{，，…，}，并且，甲取胜的概率为+++…乙取胜的概率为+++…1.21设事件及的概率分别为、及，求，，，解由得1.22设、为两个随机事件，证明：(1);(2).证明(1)=(2)由(1)和得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。1.23对于任意的随机事件、、，证明：证明1.24在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解事件表示订甲报，事件表示订乙报，事件表示订丙报。(1)==30%(2)(3)++=++=73%(4)(5)(6)1.26某班有个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？解用表示“第张考签没有被抽到”，。要求。所以1.27从阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？解阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为，当且仅当的排列中存在使时这一项包含主对角线元素。用表示事件“排列中”即第个主对角线元素出现于展开式的某项中。则所以1.29已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解用分别表示男孩和女孩。则样本空间为：其中样本点依年龄大小的性别排列。表示“有女孩”，表示“有男孩”，则1.30设件产品中有件是不合格品，从中任取两件，(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。(2)在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）设表示“所取产品中至少有一件是不合格品”，表示“所取产品都是不合格品”，则(2)设表示“所取产品中至少有一件合格品”，表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则1.31个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：(1)已知前个人都没摸到，求第个人摸到的概率；(2)第个人摸到的概率。解设表示“第个人摸到”，。(1)(2)1.32已知一个母鸡生个蛋的概率为，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为，证明：一个母鸡恰有个下一代（即小鸡）的概率为。解用表示“母鸡生个蛋”，表示“母鸡恰有个下一代”，则1.33某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解用表示“任选一名射手为级”，，表示“任选一名射手能进入决赛”，则1.34在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？解用表示“任取一只产品是甲台机器生产”表示“任取一只产品是乙台机器生产”表示“任取一只产品是丙台机器生产”表示“任取一只产品恰是不合格品”。则由贝叶斯：1.35某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？解则，，，由贝时叶斯公式得1.36有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、、，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？解用表示“朋友乘火车来”，表示“朋友乘轮船来”，表示“朋友乘汽车来”，表示“朋友乘飞机来”，表示“朋友迟到了”。则1.37证明：若三个事件、、独立，则、及都与独立。证明（1）（2）（3）=1.38试举例说明由不能推出一定成立。解设，，，，，，则，但是1.39设为个相互独立的事件，且，求下列事件的概率：(1)个事件全不发生；(2)个事件中至少发生一件；(3)个事件中恰好发生一件。解(1)(2)(3).1.40已知事件相互独立且互不相容，求（注：表示中小的一个数）。解一方面，另一方面，即中至少有一个等于0，所以1.41一个人的血型为型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率(1)两个人为型，其它三个人分别为其它三种血型；(2)三个人为型，两个人为型；(3)没有一人为。解(1)从5个人任选2人为型，共有种可能，在其余3人中任选一人为型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为型，共有2种可能，另一人为型，顺此所求概率为：(2)(3)1.42设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。解用表示“第门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”，，表示“击中飞机”。则，。(1)(2),取。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。1.43做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为，求在成功次之前已失败了次的概率。解用表示“在成功次之前已失败了次”，表示“在前次试验中失败了次”，表示“第次试验成功”则1.45某数学家有两盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有根火柴（）的概率。解用表示“甲盒中尚余根火柴”，用表示“乙盒中尚余根火柴”，分别表示“第次在甲盒取”，“第次在乙盒取”，表示取了次火柴，且第次是从甲盒中取的，即在前在甲盒中取了，其余在乙盒中取。所以由对称性知，所求概率为：第二章离散型随机变量2.1下列给出的是不是某个随机变量的分布列？(1)(2)(3)(4)解（1）是（2），所以它不是随机变量的分布列。（3）,所以它不是随机变量的分布列。（4）为自然数，且，所以它是随机变量的分布列。2.2设随机变量的分布列为：，求(1);(2)；(3)。解(1);(2);(3).2.3解设随机变量的分布列为。求的值。解，所以。2.4随机变量只取正整数，且与成反比，求的分布列。解根据题意知，其中常数待定。由于，所以，即的分布列为，取正整数。2.5一个口袋中装有个白球、个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了个白球，求的分布列。解设“”表示前次取出白球，第次取出黑球，则的分布列为：2.6设某批电子管的合格品率为，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第次为首次测到合格品，求的分布列。解2.7一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以表示取出球的取大号码，求的分布列。解2.8抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，设为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求的分布列。解，其中。2.9两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。解设，表示第二名队员的投篮次数，则2.10设随机变量服从普哇松分布，且，求。解。由于得（不合要求）。所以。2.11设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。解设为该种商品当月销售数，为该种商品每月进货数，则。查普哇松分布的数值表，得。2.12如果在时间（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解设为时间内通过交叉路口的汽车数，则时，，所以；时，，因而2.13一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解在指定的一页上出现某一个错误的概率，因而，至少出现三个错误的概率为利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于2．14某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解设每箱至少装个产品，其中有个次品，则要求,使利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相当于，查普哇松分布数值表，得。2.15设二维随机变量的联合分布列为：求边际分布列。解2.17在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为、、，求的联合分布列与各自的边际分布列。解，2.18抛掷三次均匀的硬币，以表示出现正面的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求的联合分布列及边际分布列。2.21设随机变量与独立，且，又，定义，问取什么值时与独立？解=而，由得2.22设随机变量与独立，且，定义，证明两两独立，但不相互独立。证明因为所以相互独立。同理与相互独立。但是，因而不相互独立。2.23设随机变量与独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明不服从均匀分（即不可能有。）证明设。若，则将（2）式减去（1）式，得：，于是。同理。因此，与（3）式矛盾。2.24已知随机变量的分布列为，求与的分布列。解分布列为，，；的分布列为，，。2.25已知离散型随机变量的分布列为，求的分布列。解,,,2.26设离散型随机变量的分布列为：，：，且相互独立，求的分布列。解2.27设独立随机变量分别服从二项分布：与，求的分布列。解设为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），而相互独立，所以为重贝努里试验中事件发生的次数，因而2.28设为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为求的分布列。解2.29设随机变量具有分布：，求、及。解，，+4+4=272.30设随机变量具有分布：，求及。解，2.31设离散型随机变量的分布列为：，问是否有数学期望？解，因为级数发散，所以没有数学期望。2.32用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1克、2克、…、10克，现有三组砝码：（甲组）1，2，2，5，10（克）（乙组）1，2，3，4，10（克）（丙组）1，1，2，5，10（克）问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？解设、、分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有物品重量度12345678910112212233111112223311123122341于是所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49,米的概率各是0.16，米的概率各是0.08，米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。解设场地面积为，边长的误差为米，则且所以2.34对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为、、。试证发生故障的仪器数的数学++。证令为发生故障的仪器数，则，所以++。2.37如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解设，则的分布列为，因而。设为查得的不合格品数，则，所以。2.38从数字0，1，…，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。解设为所选两个数字之差的绝对值，则，于是。2.39把数字任意在排成一列，如果数字恰好出现在第个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。解设则的分布列为：于是，设匹配数为，则，因而。2.40设为取非负整数值的随机变量，证明：(1);(2)证明(1)由于存在，所以该级数绝对收敛。从而(2)存在，所以级数也绝对收敛，从而2.41在贝努里试验中，每次试验成功的概率为，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。解设成功与失败均出现时的试验次数为，则利用上题的结论，+=1+2.42从一个装有个白球、个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。解略。2.43对一批产品进行检验，如果检查到第件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是，问平均每批要检查多少件？解略。2.44流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率，当生产出个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解设第个不合格出现后到第个不合格品出现时的产品数为，又在两次检修之间产品总数为，则因独立同分布，，由此得：2.46设随机变量与独立，且方差存在，则有（由此并可得）证明2.47在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为和：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在的条件下的分布列。解(1).(2),2.49在次贝努里试验中，事件出现的概率为，令求在的条件下，的分布列。解2.50设随机变量，相互独立，分别服从参数为与的普哇松分布，试证：证明由普哇松分布的可加性知+服从参数为+的普哇松分布，所以2.51设，，…，为个相互独立随机变量，且服从同一几何分布，即有。试证明在的条件下，的分布是均匀分布，即，其中.证明由于，，…，相互独立且服从同一几何分布，所以从而。连续型随机变量3.1设随机变数的分布函数为，试以表示下列概率：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）；（2）；（3）=1-；（4）。3.2函数是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果（1）（2）0，在其它场合适当定义；（3）-，在其它场合适当定义。解：（1）在（-）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；（2）在（0，）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数；（3）在（-内单调上升、连续且，若定义则可以是某一随机变量的分布函数。函数是不是某个随机变数的分布密度？如果的取值范围为（1）；（2）；（3）。解：（1）当时，且=1，所以可以是某个随机变量的分布密度；（2）因为=2，所以不是随机变量的分布密度；（3）当时，，所以不是随机变量的分布密度。3.4设随机变数具有对称的分布密度函数，即证明：对任意的有（1）；（2）P（；（3）。证：（1）（2），由（1）知1-故上式右端=2；（3）。3.5设与都是分布函数，又是两个常数，且。证明也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为与都是分布函数，当时，，，于是又所以，也是分布函数。取，又令这时显然，与对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故不是离散型的，而不是连续函数，所以它也不是连续型的。3.6设随机变数的分布函数为求相应的密度函数，并求。解：，所以相应的密度函数为3.7设随机变数的分布函数为求常数及密度函数。解：因为，所以，密度函数为3.8随机变数的分布函数为，求常数与及相应的密度函数。解：因为所以因而3.9已知随机变数的分布函数为求相应的分布函数；2.求。解：3.10确定下列函数中的常数，使该函数成为一元分布的密度函数。（1）；（2）（3）解：（1）；（2），所以A=;(3),所以。3.12在半径为R,球心为O的球内任取一点P,求的分布函数。解：当0时所以3.13某城市每天用电量不超过一百万度，以表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢？解：因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。设随机变数服从（0，5）上的均匀分布，求方程有实根的概率。解：当且仅当（1）成立时，方程有实根。不等式（1）的解为：或。因此，该方程有实根的概率3.17某种电池的寿命服从正态分布，其中（小时），（小时）(1)求电池寿命在250小时以上的概率；（2）求，使寿命在与之间的概率不小于0.9。解：（1）（2）即所以即3.18设为分布的分布函数，证明当时，有证：所以。3.21证明：二元函数对每个变元单调非降，左连续，且，，但是并不是一个分布函数。证：（1）设，若，由于，所以，若，则。当时，；当时，。所以。可见，对非降。同理，对非降。（2）时时，所以对、左连续。（3），。（4），所以不是一个分布函数。3.23设二维随机变数的密度求的分布函数。解：当，时，=所以3.24设二维随机变数的联合密度为求常数；2.求相应的分布函数；3.求。解：（1），所以；（2）时，=，所以（3）3．25设二维随机变数有密度函数求常数及的密度函数。解：所以，；3.26设二维随机变数的密度函数为求（1）。解：3.28设的密度函数为求与中至少有一个小于的概率。解：3.30一个电子器件包含两个主要组件，分别以和表示这两个组件的寿命（以小时计），设的分布函数为求两个组件的寿命都超过120的概率。解：3.31设都是一维分布的密度函数，为使成为一个二维分布的密度函数，问其中的必需且只需满足什么条件？解：若为二维分布的密度函数，则所以条件得到满足。反之，若条件（1），（2）满足，则为二维分布的密度函数。因此，为使成为二维分布的密度函数，必需且只需满足条件（1）和（2）。3.32设二维随机变数具有下列密度函数，求边际分布。（1）（2）（3）解：（1）（2）时，时，所以，。同理，。（3）3.34证明：若随机变数只取一个值，则与任意的随机变数独立。证：的分布函数为设的分布函数、的联合分布函数分别为。当时，。当时，。所以，对任意实数，都有，故与相互独立。3.35证明：若随机变数与自己独立，则必有常数，使。证：由于，所以，。由于，非降、左连续，所以必有常数，使得故。3.36设二维随机变量的密度函数为问与是否独立？是否不相关？解：。同理，。由于，所以与不相互独立。又因关于或关于都是偶函数，因而，故，与不相关。3.41设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度：一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替换的概率又是多少？（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的）解：设这类电子管的寿命为，则所以三个这类管子没有一个要替换的概率为；三个这类管子全部要替换的概率是。3.44对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间内，求球体积的密度函数。解：设球的直径为，则其体积为。的反函数。由的密度函数，，得的密度函数为3.45设随机变数服从分布，求的分布密度。解：在时，所以的分布密度3.46设随机变数服从分布，求的分布密度。解：的反函数。由服从分布，推得的分布密度为3.47随机变数在任一有限区间上的概率均大于（例如正态分布等），其分布函数为，又服从上的均匀分布。证明的分布函数与的分布函数相同。解：因为在任一有限区间上的概率均大于，所以是严格上升函数。由于上的均匀分布，所以的分布函数，对任意的都成立。所以与的分布函数相同。3.48设随机变量与独立，求的分布密度。若（1）与分布服从及上的均匀分布，且；（2）与分别服从及上的均匀分布，。解（1）其它。，其它。=，其它。（2），其它，，其它。=，其它3.49设随机变量与独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为求+的密度函数。解：，当时，当时，所以3.50设随机变量与独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为证明：也服从同一分布。证：所以即也服从相同的柯西分布。3.51设随机变量与独立，分别具有密度函数（其中），求+的分布密度。解：时，时，3.53设随机变量与独立，都服从上的均匀分布，求的分布。解：服从上的均匀分布，据3.48(2)知，在时，的分布函数所以的分布密度为3.54设随机变量与独立，分别服从参数为与的指数分布，求的分布密度。解：由得，所以在时，在时，所以设随机变量与独立，且分别具有密度函数为证明服从分布。证：由得。故令，则所以服从分布。3.58设随机变量与独立，都服从上的均匀分布，求的密度函数。解：当时，当时所以的密度函数为3.59设随机变量与独立，都服从参数为的指数分布，求的密度函数。解：在时，在时，。3.60设二维随机变量的联合分布密度为证明：与不独立，但与独立。证：由于，所以与不独立。由于所以对一切的，都有，故与相互独立。3.61设随机变量具有密度函数求。解：3.62设随机变量具有密度函数求及。解，3.63设随机变量的分布函数为试确定常数，并求与。解：由分布函数的左连续性，故。随机变量具有密度函数其中求常数及。解：故3.66设随机变量服从上的均匀分布，求的数学期望与方差。解：3.67地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解：设旅客候车时间为（秒），则服从上的均匀分布，则3.71设为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型），证明：对任意的，有证：同分布，又，所以都存在且相等。由于，所以3.72设是非负连续型随机变量，证明：对，有证：3.73若对连续型随机变量，有，证明有。证：3.75已知随机变量与的相关系数为，求与的相关系数，其中均为常数，皆不为零。解：3.81设随机变量中任意两个的相关系数都是，试证：。证：故。3.84证明下述不等式（设都是连续型或离散型随机变量）：（1）若与都有阶矩，则有(2)若与都具有阶矩，则证：（1）时，即所谓的明可夫斯基不等式，证明略。在时，是的下凸函数，故即故（2）在时，，故3.88设二维随机变量的联合分布密度为其中。求条件下的条件分布密度。解：。故3.89设随机变量服从分布，随机变量在时的条件分布为，求的分布及关于的条件分布。解：故故在时，的条件分布为。3.90设为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量只取正整数值，且与独立，证明：证：3.91求下列连续型分布的特征函数：（1）上的均匀分布，2）柯西分布，其密度函数为（3）分布，其密度函数为解：（1）（2）由拉普拉斯积分得（3）3.93若是特征函数，证明下列函数也是特征函数：（1）（为正整数）证：（1）若是随机变量的特征函数，则是随机变量的特征函数；（2）若与独立同分布，其特征函数为。则是随机变量的特征函数；（3）若独立分布，其特征函数为。则是随机变量的特征函数。3.94证明下列函数是特征函数，并找出相应的分布函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。证：（1），所以是两点分布-11的特征函数。（2），所以是三点分布的特征函数。（3）密度函数为的指数分布的特征函数为，所以是密度函数为的分布的特征函数。（4）上均匀分布的特征函数为，所以互相独立且同为上均匀分布的两个随机变量和的特征函数为，即是密度函数为的分布的特征函数。（5），所以是几何分布的特征函数。3.95试举一个满足（1），（2），但是不是特征函数的例子。解：令则满足（1），（2），但在点不连续，故不是特征函数。3.96证明函数是特征函数，并求出它的分布函数。解：由于故欲证是特征函数，仅须验证是密度函数由于，所以为特征函数，其分布函数为3.97设是一个特征函数。，证明：也是特征函数。证：设与相互独立，的特征函数为，服从上的均匀分布，的特征函数为，则是的特征函数。3.98设为个独立同柯西分布的随机变量，证明与有相同的分布。证：柯西分布的特征函数故的特征函数为所以与同分布。3.99设为独立同分布的随机变量，求的分布。解：分布，；，的特征函数。故的特征函数为所以也是分布，其密度函数为，；，。3.100设二维随机变量具有联合密度函数为证明：的特征函数等于的特征函数的乘积，但是并不相互独立。证：的特征函数为。故与的特征函数皆为，所以的特征函数等于、的特征函数的乘积。由，故与不互相独立。3.101设随机变量服从柯西分布，其特征函数为，又令，证明的特征函数等于、的特征函数的乘积，但与不独立。证：由的特征函数推得，与的特征函数分别为与，故。倘若与相互独立，令的分布函数为，则，故或，此与服从柯西分布相矛盾，故与互不独立。3.102判别下列函数是否为特征函数（说明理由）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）不是，因为。（2）不是，因为当时，。（3）不是，因为不成立（4）不是，因为。（5）是的，拉普拉斯分布的特征函数为，所以也是特征函数。第四章大数定律与中心极限定理4.1设为退化分布：讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？解：（1）（2）不是；（3）是。4.2设分布函数如下定义：问是分布函数吗？解：不是。4.3设分布函数列弱收敛于分布函数，且为连续函数，则在上一致收敛于。证：对任意的，取充分大，使有对上述取定的，因为在上一致连续，故可取它的分点：，使有，再令，则有（1）这时存在，使得当时有（2）成立，对任意的，必存在某个，使得，由（2）知当时有（3）（4）由（1），（3），（4）可得即有成立，结论得证。4.5设随机变量序列同时依概率收敛于随机变量与，证明这时必有。证：对任意的有，故即对任意的有成立，于是有从而成立，结论得证。4.6设随机变量序列，分别依概率收敛于随机变量与，证明：（1）；（2）。证：（1）因为故即成立。（2）先证明这时必有。对任给的取足够大，使有成立，对取定的，存在，当时有成立这时有从而有由的任意性知，同理可证，由前述（1）有故，结论成立。4.7设随机变量序列，是一个常数，且，证明。证：不妨设对任意的，当时有，因而。于是有结论成立。4.9证明随机变量序列依概率收敛于随机变量的充要条件为：证：充分性，令，，则，故是的单调上升函数，因而，于是有对任意的成立，充分性得证。必要性，对任给的，令，因为，故存在充分大的使得当时有，于是有由的任意性知，结论为真。4.10设随机变量按分布收敛于随机变量，又数列，，证明也按分布收敛于。证：先证明按分布收敛于。时为显然，不妨设（时的修改为显然），若，，，的分布函数分别记作，，与，则=，当是的连续点时，是的连续点，于是有成立，结论为真。由4.12知，再由4.6(1)知，于是由前述结论及4.11知按分布收敛于，结论得证。4.11设随机变量序列按分布收敛于随机变量，随机变量序列依概率收敛于常数，证明按分布收敛于。证：记的分布函数分别为，则的分布函数为，设是的连续点，则对任给的，存在，使当时有（1）现任取，使得都是的连续点，这时存在，当时有（2）（3）对取定的，存在，当时有（4）于是当时，由（1），（2），（4）式有又因为于是由（1），（3），（4）式有（6）由（5），（6）两式可得由的任意性即知按分布收敛于，结论得证。4.12设随机变量序列按分布收敛于，随机变量序列依概率收敛于，证明证：记的分布函数分别为，对任给的，取足够大，使是的连续点且因为，故存在，当时有令，因为，故存在，当时有而其中，当时有因而，由的任意性知，结论为真。4.13设随机变量服从柯西分布，其密度函数为证明。证：对任意的，有故。4.14设为一列独立同分布随机变量，其密度函数为其中为常数，令，证明。证：对任意的，为显然，这时有对任意的，有故成立，结论得证。4.15设为一列独立同分布随机变量，其密度函数为令，证明。证：设的分布函数为，有这时有对任意的，有故成立，结论得证。4.17设为一列独立同分布随机变量，都服从上的均匀分布，若，证明。证：这时也是独立同分布随机变量序列，且由辛钦大数定律知服从大数定理，即有，令，则是直线上的连续函数，由4.8题知结论成立。4.18设为一列独立同分布随机变量，每个随机变量的期望为，且方差存在，证明。证：已知，记，令，则对任给的，由契贝晓夫不等式有故，结论得证。4.19设为一列独立同分布随机变量，且存在，数学期望为零，证明。证：这时仍独立同分布，且，由辛钦大数定律知结论成立。4.21设随机变量序列按分布收敛于随机变量，又随机变量序列依概率收敛于常数，则按分布收敛于。证：由4.7题知，于是由4.12题有，而按分布收敛于（见4.10题的证明），因而由4.11题知按分布收敛于，结论成立。4.22设为独立同分布的随机变量序列，证明的分布函数弱收敛于分布。证：这时也为独立同分布随机变量序列，且，由辛钦大数定律知，又服从分布，当然弱收敛于分布，由4.21题即知按分布收敛于分布，结论得证。4.23如果随机变量序列，当时有，证明服从大数定律（马尔柯夫大数定律）证：由契贝晓夫不等式即得。4.26在贝努里试验中，事件出现的概率为，令证明服从大数定律。证：为同分布随机变量序列，且，因而，又当时，与独立，由4.24知服从大数定律，结论得证。4.28设为一列独立同分布随机变量，方差存在，又为绝对收敛级数，令，则服从大数定律。证：不妨设。否则令，并讨论即可。记，又。因为，故有由4.23知服从大数定律，结论得证。4.30设为一列独立同分布随机变量，共同分布为试问是否服从大数定律？答：因为存在，由辛钦大数定律知服从大数定律。4.31设为一列独立同分布随机变量，共同分布为其中，问是否服从大数定律？答：因为存在，由辛钦大数定律知服从大数定律。4.32如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率的差小于，问至少应该做多少次试验？解：令据题意选取试验次数应满足，因为比较大，由中心极限定理有故应取，即，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断有，因而，故可取。4.33一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求在校对后错误不多于15个的概率。解：令因为排版与校对是两个独立的工序，因而是独立同分布随机变量序列，，令，其中，由中心极限定理有其中，查分布表即可得，即在校对后错误不多于15个的概率。4.34在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡的概率为0。006，死亡时家属可向保险公司领得1000元，问：（1）保险公司亏本的概率多大？（2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多大？解：保险公司一年的总收入为120000元，这时若一年中死亡人数，则公司亏本；若一年中死亡人数，则利润中死亡人数元；若一年中死亡人数，则利润中死亡人数元；若一年中死亡人数，则利润中死亡人数元；令则，记已足够大，于是由中心极限定理可得欲求事件的概率为（1）同理可求得（2）4.35有一批种子，其中良种占，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与相差多少？解：令则，记，其中，据题意即要求使满足。令，因为很大，由中心极限定理有由分布表知当时即能满足上述不等式，于是知，即能以0.99的概率保证其中良种的比例与相差不超过。4.36若某产品的不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件的概率等于多少？解：令则，记，其中，记，由中心极限定理有即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。4.37某螺丝钉厂的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95？解：令则，记，其中尚待确定，它应满足，由中心极限定理有查分布表可取，由此求得，即在一盒中应装103只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95。4.39用特征函数的方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”的普哇松定理。证：设独立同二项分布，即的特征函数为，记的特征函数记作，因为，故，于是有而是参数为的普哇松分布的特征函数，由特征函数的逆极限定理即知定理成立，证毕。4.40设随机变量服从---分布，其分布密度为证：当时，的分布函数弱收敛于分布。证：的特征函数为，易知的特征函数为而因而有故，所以相应的分布函数弱收敛于分布，命题得证。4.41设为一列独立同分布随机变量，且服从上的均匀分布，证明对成立中心极限定理。证：易知，于是故，对任意的，存在，使当时有，因而，从而当，，若，由此知即林德贝尔格条件满足，所以对成立中心极限定理，结论得证。4.42设皆为独立同分布随机变量序列，且独立，其中，证明：的分布函数弱收敛于正态分布。证：这时仍是独立同分布随机变量序列，易知有由林德贝尔格---勒维中心极限定理知：的分布函数弱收敛于正态分布，结论得证。4.45利用中心极限定理证明：证：设是独立同分布随机变量序列，共同分布为的Poisson分布，故，由林德贝尔格---勒维中心极限定理知由Poisson分布的可加性知服从参数为的Poisson分布，因而，但，所以成立，结论得证。第五章习题   1.设是来自服从参数为的泊松分布的样本，试写出样本的联合分布律。   2.设是来自上的均匀分布的样本，未知（1）写出样本的联合密度函数；（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。   3.查表求，，，。   4.设，求常数，使。   5.设是来自正态总体的样本，试证：（1）；（2）。  6.设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个都服从。（1）试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度；（2）试给出常数，使得服从t分布，并指出它的自由度。  7.设是取自总体的一个样本，在下列三种情况下，分别求：（1）；（2）；（3），其中。  8.某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。     9.设总体，（1）抽取容量为36的样本，求；（2）抽取容量为64的样本，求；（3）取样本容量n多大时，才能使。  10.设总体，皆未知，已知样本容量，样本均值，修正样本方差，求。  11.设是来自正态总体，容量为的样本，求下列统计量的抽样分布：（1）；（2）；（3）。   12.若，则服从什么分布？   13.设是来自泊松分布的一个样本，与分别为样本均值与样本方差，试求。   14.某区有25000户家庭，10%的家庭没有汽车，今有1600户家庭的随机样本，试求：9%~11%之间的样本家庭没有汽车的概率。习题解答解    2. 解 （1）                                  0           其他（2）和是，和不是。因为和中不含总体中的唯一未知参数，而和中含有未知参数。（3）样本均值样本方差样本标准差。3.解 ，，，。4.解 由t分布关于纵轴对称，所以即为。由附表5.6可查得，所以。5.证明：（1）独立同分布于，由分布的定义，，即。（2）易见，，即，由分布的定义，，即。 6.解（1）易见，即为二个独立的服从的随机变量平方和，服从分布，即；自由度为2。（2）由于，则。又，与相互独立，则即            即，自由度为3。7.解  （1）（2）（3），其中8.解（1）引入新变量：  1，第个样本居民年收入超过1万      0，第个样本居民年收入没超过1万其中易见：又因，故可以近似看成有放回抽样，相互独立。样本中年收入超过1万的比例即为，由于较大，可以使用渐近分布求解，即，所求概率即为（2）同（1）解法引入新变量：  1，第个样本居民受过高等教育      0，第个样本居民未受过高等教育其中答：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918；（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。  9. 0.9916，0.8904，96。   10.0.5。   11.(1)；（2）；（3）。  12.。   13.，，。14.0.8164。第六章习题1.设是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：（1），其中未知，；（2），其中未知，。2.设是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值X01234频数17201021求的矩估计值与最大似然估计值。3.设是取自总体X的一个样本，其中X服从区间的均匀分布，其中未知，求的矩估计。4.设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为其中未知，求的矩估计。5.设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为其中未知，求的矩估计和最大似然估计。6.设是取自总体X的一个样本，总体X服从参数为的几何分布，即，其中未知，，求的最大似然估计。7.已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布，其中未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。8.设总体X的密度函数为，其中未知，设是取自这个总体的一个样本，试求的最大似然估计。9.在第3题中的矩估计是否是的无偏估计？解 故的矩估计量是的无偏估计。10.试证第8题中的最大似然估计是的无偏估计。11.设为总体的样本，证明都是总体均值的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。12.设是取自总体的一个样本，其中未知，令，试证是的相合估计。13.某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。14.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布，未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对和作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求的双侧0.95置信区间和方差的双侧0.9置信区间。15.随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的，设子弹速度服从正态分布，求这种子弹速度的标准差和方差的双侧0.95置信区间。16.已知某炼铁厂的铁水含碳量（1%）正常情况下服从正态分布，且标准差。现测量五炉铁水，其含碳量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%），试求未知参数的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限。17.某单位职工每天的医疗费服从正态分布，现抽查了25天，得元，元，求职工每天医疗费均值的双侧0.95置信区间。18.某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量，已知其总体标准差；从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量，已知其总体标准差，求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值差的双侧0.99置信区间。19.为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命X和Y，随机的抽取甲、乙两种显像管各10只，得数据和（单位：），且由此算得，，假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布，且由生产过程知道它们的方差相等。试求两个总体均值之差的双侧0.95置信区间。20.在3091个男生，3581个女生组成的总体中，随机不放回地抽取100人，观察其中男生的成数，要求计算样本中男生成数的SE。21.抽取1000人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的百分数，样本中有543人拥有私人汽车，（1）求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE；（2）求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间。习题解答1.解（1），故的矩估计量有。另，X的分布律为，故似然函数为对数似然函数为：令       解得的最大似然估计量。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。（2），令，故的矩估计量。另，X的密度函数为故似然函数为对数似然函数为解得的最大似然估计量。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。2.解 ，故的矩估计量。由样本观测值可算得另，X的分布律为故似然函数为对数似然函数为解得的最大似然估计量，故的最大似然估计值。3.解 ，令，故的矩估计量。4.解 ，令，故的矩估计量为。5.解 ，令，故的矩估计量为，另，似然函数对数似然函数为解得的最大似然估计量为。6.解 似然函数  对数似然函数解得的最大似然估计量为。7.解 根据习题1的结果，的矩估计和最大似然估计量都为，故平均时间间隔的矩估计和最大似然估计都为，即为。由样本观测值可算得。8.解 似然函数 ，对数似然函数为得的最大似然估计量为。9.解 故的矩估计量是的无偏估计。10.证明：故的最大似然估计是的无偏估计。11.证明 所以都是总体均值的无偏估计。又可见，所以二个估计量中更有效。12.证明 易见又 ，由公式（9），，故        。由切比雪夫不等式，当，对任给，即是的相合估计。13.解由于已知，所以选用的置信区间。当，查表得，当，查表得。代入数据得的双侧0.9置信区间观测值为，即为。的双侧0.99置信区间观测值为，即为。14.解 由于和都未知，故的双侧置信区间为的双侧置信区间为代入数据得的0.95双侧置信区间观测值为，即为。的0.9双侧置信区间观测值为，即为。15.解 由于未知，故的双侧置信区间为，代入数据得，的0.95双侧置信区间观测值为，即为。故的0.95双侧置信区间观测值为，即为。16.解 由于已知，故的单侧置信下限为，的单侧置信上限为，代入数据得，故的0.95单侧置信下限观测值为，的0.95单侧置信上限观测值为。17.解 由于未知，故的双侧置信区间为，代入数据得，故的0.95双侧置信区间观测值为，即为。18.解 由于已知，故的的