计算机控制系统的经典分析方法

4.1计算机控制系统的稳定性分析离散系统稳定性的概念与连续系统一样稳定性是指系统扰动作用下偏离原平衡点，当扰动作用消失以后，系统恢复到原平衡状态的性能。若系统能恢复平衡状态，称系统是稳定的；若系统在扰动作用消失以后，不能恢复平衡状态，则称系统是不稳定的。系统的稳定性是系统的固有特性，它与扰动的形式无关，只取决于系统本身的结构参数。1、S平面和Z平面的相互关系复变量z和s之间的关系令s=＋j，则由此可得S平面和Z平面的基本对应关系：S平面虚轴映射为Z平面的单位圆，S左半平面映射在Z平面的单位圆内，右半平面则映射在单位圆外。角频率与Z平面相角的关系当S平面的点沿虚轴由－∞变化到＋∞时，Z平面的相角也从－∞变化到＋∞，且每变化一个s，Z平面的相角就变化2，即转了一周。S平面可分为许多宽度为s的平行带，其中的带称为主带，其余均为旁带。S平面上的主带与旁带，将重复映射在整个Z平面上。s平面中的周期带与z平面中相对应的单位圆等 线（等衰减）映射s平面上的等垂线，映射到z平面上的轨迹，是以原点为圆心、以为半径的圆等线（等频率）映射在采样周期T确定的情况下，s平面上的等水平线，映射到z平面上的轨迹，是一簇从原点出发的射线，其相角，以实轴正方向为基准等阻尼线映射s平面上的等阻尼线可用式描述映射到z平面为【解】S平面实部相同而虚部相差s的整数倍的点均映射为Z平面同一点例1如图所示，在S平面有三个点，分别为：2、离散系统的稳定条件离散系统稳定的充要条件离散系统对应的特征方程的解必须全部位于单位圆内，只要有一个根在单位圆外，系统就不稳定。若系统的根位于单位圆上，系统处于稳定边界，亦称为不稳定。（1）直接求特征方程的根来判别稳定性（2）修正的Routh稳定性判则劳斯－古尔维茨判据为连续系统的稳定判据，可以通过一种变换（双线性变换）将离散系统特征方程对应的单位圆内的根映射位为左半平面的根，这样就可用Routh判据来分析离散系统的稳定性。3、计算机控制系统稳定性的判断设离散系统的特征多项式为【证】例2设采样系统的特征方程为根据劳斯判据在w右半平面有两个根，故该采样系统有两个根在单位圆外，因此系统不稳定例3如图所示的系统，为保证系统闭环稳定，放大系数的倍数K的取值范围。该系统的广义对象为（3）Jury稳定性判据这是一个在上直接判断离散系统特征方程的根的模值是否小于1（即在单位圆内）的判据。朱利：从第3行开始，所有奇数行n用以下公式计算：第(n－2)行系数－第(n－1)行系数×上两行末列系数之商Jury判据若特征方程式中a0>0，则只有当Jury表中所有奇数行第一列系数均大于零时，该方程的全部特征根才位于单位圆内。即若其中有小于零的系数，则其个数等于特征根在z平面单位圆外的个数。【注】如第一列出现零元素或有全零行，则需要作特殊处理例4已知系统的特征方程为【解】构造Jury表试判断其稳定性。其奇数行首列系数有两个小于零，故系统不稳定，且有2个根位于单位圆外。离散系统特征方程的解均位于单位圆内的必要条件是：判断系统稳定性可用如下步骤：判断必要条件是否成立，若不成立，系统不稳定；若必要条件成立，再构造朱利表进一步判断。【注】若必要条件满足，且前面奇数行首列元素均大于零，则Jury表中的最后一行系数必大于零。例5已知系统特征方程为试判断其稳定性。【解】检验必要条件系统满足必要条件构造Jury表可见奇数行首列系数均大于零，故系统稳定构造Jury表：（最后一行不必再判断）（4）二阶离散系统的稳定判据由此可推得即这等价于由此可得二阶离散系统稳定充要条件的简便形式：例6已知采样系统如图所示：其中，T=1秒，试求使系统稳定的k值范围。【解】开环传函闭环特征方程：综合起来有为使系统稳定，须满足二阶系统稳定的充要条件：4、采样周期对稳定性的影响【解】系统开环传函为例7已知如图所示采样统，，试讨论试判断采样周期为1s或4s时，闭环系统的稳定性。系统闭环特征方程为：将采样周期代入上式，得到特征方程为求得采样周期时系统的闭环极点为闭环极点的模为显然，极点和均位于z平面的单位圆内，所以闭环系统是稳定的。将采样周期代入上式，得到特征方程为求得采样周期时系统的闭环极点为闭环极点的模为显然，极点位于z平面的单位圆内，所以闭环系统是不稳定的。采样周期T是影响稳定性的重要参数，一般来说，T减小，稳定性增强连续系统的误差信号定义稳态误差为上述误差的终值，即采样系统的误差信号定义为采样时刻的误差，即稳态误差：4.2计算机控制系统稳态误差分析1、离散系统稳态误差的定义2、线性定常系统稳态误差的计算系统的分类连续系统通常按系统开环传函所含积分环节的个数来分类，根据映射关系，s域的积分环节，即s=0处的极点，映射至z域为z=1处的极点，所以采样系统则按其开环脉冲传函在z=1处的极点个数来分类，分别有0型、I型、II型…系统。如图所示的单位反馈系统闭环误差传函由此可得(1)终值定理法根据终值定理，系统在采样时刻的稳态误差为稳态误差与输入信号及系统结构的特性均有关。则稳态误差可表示为其中为稳态位置误差系数显然，Kp增大，稳态误差将减小。(2)静态误差系数法对“0”型系统，开环传函D(z)G(z)在z=1处无极点，即不含积分环节，Kp为有限值，所以稳态误差为有限值；对“I”型系统，开环传函D(z)G(z)在z=1处有一个极点，即含有一个积分环节，Kp为无穷大，所以稳态误差为0；对于高于“I”型的系统，开环传函D(z)G(z)在z=1处有多个极点，即含有多个积分环节，Kp为无穷大，所以稳态误差为0；【结论】若输入信号为阶跃，对单位反馈系统，采样时刻无稳态误差的条件是系统前向通道中至少含有一个积分环节，这样的系统也称为位置无差系统。其中为速度误差系数输入信号为单位斜坡函数r(t)=t其Z变换为稳态误差为使系统对斜坡输入的稳态误差为零，则前向通道中至少含有两个积分环节。稳态误差输入为加速度函数时，对“II”型以下的系统稳态误差为无穷大。离散系统稳态误差小结误差系数稳态误差解系统的开环z传递函数为系统闭环特征方程为令代入上式，求得由于系数均大于零，所以系统是稳定的。先求出静态误差系数：静态速度误差系数为静态加速度误差系数为3、干扰作用下的稳态误差令r(t)=0，此时误差完全由扰动信号n(t)引起，即由终值定理可求得扰动作用下的稳态误差设扰动作用点在被控对象上，则有4、A/D变换器对稳态误差的影响8位A/D转换器（单极性），其分辨率为当A/D输入小于0.0039时，A/D则处于非灵敏区而输出为零。对单位反馈系统，若r(t)=1,由于A/D的死区，当输出x>0.9961时，其误差信号e将进入A/D的死区，从而e的转换结果为零，此时存在稳态误差这不是由系统原理引起的误差，而是系统部件的非灵敏区造成的。5、采样周期对稳态误差的影响如图所示连续系统与其相应的采样系统，分析其稳态误差。系统类型与误差系数的关系为连续部分传函的一般形式采样系统的开环传函对“0”型系统，v=0误差系数对“I”型系统，v=1误差系数类似地也可求得“II”型系统的误差系数与连续系统的误差系数比较，二者完全一致，而与T无关。尽管采样系统的稳态误差系数的计算公式中包含了T，但实际计算中公式中的T与系统开环脉冲传函的T相对消，因此稳态误差与采样周期T无关。【注】以上结论只对含零阶保持器的采样系统成立，其它情况不一定能完全对消T。4.3计算机控制系统的响应特性分析计算机控制系统的响应特性分析也包括动态响应和稳态响应的分析通常动态性能指标包括延迟时间td、上升时间tr、峰值时间tp、调节时间ts、最大超调量％等，其定义均与连续系统一致。稳态响应是时间时系统的输出状态。一般认为输出进入稳态值附近±5％或±3％的范围内就可以表明动态过程已经结束。尽管动态性能指标的定义与连续系统相同，但在Z域分析时，只能针对采样时刻的值，而在采样间隔内，系统的状态并不能被表示出来，因此不能精确描述和表达采样系统的真实特性。在采样周期较大时，尤其如此。例9已知计算机控制系统如下图所示，设采样周期T=1s，试分析系统的单位阶跃响应特性。解广义z传递函数为闭环z传递函数为系统闭环极点为，模为，因此系统是稳定的系统的输出的z变换为系统的输出的终值为系统在单位阶跃输入作用下的过渡过程具有衰减振荡的形式，系统是稳定的。其超调量为40%，且峰值出现在第三、四个采样周期之间，约经过12个采样周期结束过渡过程，系统稳态值为1。s平面绘制闭环系统根轨迹的特征方程：形式完全相同！　　s平面绘制根轨迹的所有规则z平面都适用，绘制方法完全相同。z平面绘制闭环系统根轨迹的特征方程：4.4z平面根轨迹分析法但应注意:z平面上的稳定边界是单位圆而不是一条直线例10系统如下图所示，设采样周期T=1s,且试绘制系统的根轨迹，并确定系统临界稳定时的K值。解系统的开环传递函数为系统的根轨迹如下图所示。Z平面的临界放大系数由根轨迹与单位圆的交点求得，为。。离散系统频率特性定义连续系统的频域特性——在正弦信号作用下，系统的稳态输出与输入的复数比随正弦信号频率变化的特性。此定义同样适用于离散系统，只是对应的输入输出信号均为离散值。4.5线性离散系统的频率特性分析即离散系统频率特性相当于考察脉冲传函当z沿单位圆变化时的特性。线性计算机控制系统的频率特性可按下式计算1计算机控制系统频率特性绘制方法(1)数值计算法例11已知连续传递函数，相应的z传递函数为，设采样周期为T=1s，试求其频率特性。，离散环节的频率特性为因此，可以得到幅值为例11系统的的幅频特性与相频特性将脉冲传函写成零极点形式设m=1，n=2，即(2)几何作图法相应的幅频特性为相频特性为可见，幅频特性是由零点指向ejT点的向量幅值来确定，相频特性由这些向量的相角确定。当从0增到s时，向量ejT将沿单位圆转一周。2计算机控制系统频率特性分析方法(1)极坐标法将计算机控制系统频率特性写成实部加虚部的形式：可在平面直角坐标上绘制频率特性曲线，然后应用奈氏稳定判据，进行计算机控制系统稳定性的分析。例12设单位反馈系统开环传函为采样周期T＝0.1，试绘制系统的奈氏图，并分析系统的稳定性。解绘制奈氏图由图可知，当k=0.198，曲线不包围(-1，j0)点，故闭环是稳定的，并可由图求得增益、相角裕度和截止频率；当k=0.758，曲线穿过(-1，j0)点，故闭环处于临界稳定；当k=1，曲线包围了(-1，j0)点，故闭环不稳定。系统稳定时的开环增益范围为