三类边界条件推导

三类边界条件的推导边界条件是弦在两个端点处的状态或受到的约束情况，一般有三种：1.第一类边界条件：已知未知函数在边界上的值()igt，即端点处弦的位移：1(0,)()utgt，2(,)()ultgt当()0igt时，表示在端点处弦是固定的。2.第二类边界条件：已知未知函数在边界上法向导数的值，即端点处弦所受到的垂直于弦的外力()ft：对0x，即弦的左端：弦的张力在垂直方向的分量为：sinT，根据牛顿第二定律，有：000sin()xxuTTftx对于xl，即弦的右端：同理可得：sin()xllxluTTftx特别地，当()0ift时，表示弦在两端不受约束作用，即可以自由滑动，适应于自由端的情形。3.第三类边界条件：又称混合边界条件，它给出了未知函数和它的法线方向上的导数的线性组合在边界上的值。对弦的一维振动问，即已知端点处弦的位移（引起弹性支撑的力）和所受的垂直于弦线的外力。对0x，即弦的左端：弦对支撑外力的垂直分量为：uTx，由胡克定律知：000(t)xxuTkufx设kT，()()ftvtT，可以得到，弹性支撑条件下，弦振动的边界条件为：0()()xuuvtx对于xl，即弦的右端：弦对支撑外力的垂直分量为：uTx，由胡克定律知(t)xlxlluTkufx此时得到的弦振动的边界条件为：()()xluuvtx对于外力()0ift的特殊情况，即()0vt，边界条件在弦的两端可统一简化为：()0(0,)xauuaalx