向量——求空间距离的有力工具
第 6粥 高中I 学基与学
向量——求空间距离的有力工具
俞汉林
(江苏省海门市锡类中学,226100)
向量除了用来求解有关角度(包括垂直)
问题,还可以用来求各种距离,包括两点间的
距离,点到直线的距离,点到平面的距离,异
面直线之间的距离,等等.具体途径如下:
(1)欲求两点E、F之间的距离,改为求向
量E 的模 ;
(2)欲求点E到直线AB的距离,在AB上
取一点 F,令 = 商 ,由 上 或求
I萄 I的最小值,求得参数 值,以确定 F的
位置,则商 的模 l蕾 f即为点E到直线...
第 6粥 高中I 学基与学
向量——求空间距离的有力工具
俞汉林
(江苏省海门市锡类中学,226100)
向量除了用来求解有关角度(包括垂直)
问题,还可以用来求各种距离,包括两点间的
距离,点到直线的距离,点到平面的距离,异
面直线之间的距离,等等.具体途径如下:
(1)欲求两点E、F之间的距离,改为求向
量E 的模 ;
(2)欲求点E到直线AB的距离,在AB上
取一点 F,令 = 商 ,由 上 或求
I萄 I的最小值,求得参数 值,以确定 F的
位置,则商 的模 l蕾 f即为点E到直线AB
的距离.
(3)欲求点 E到平面ABC的距离,可设 Jl
为平面ABC的法向量,F为平面上任一点,则
. .:
E到平NABC的距离d:L
.
I 乃 I
(4)求异面直线 AB,cD之间的距离 ,可
在 AB,CD上各取一点E、F,转化为(2)的情
形来解决 .
例 l 已知正方体
AB(3)一AlBlClDl的
棱长为 l,点 M 是 AD1
的中点 , 是 BD上 的
1
一 点,DN = 1 DB,求
M、N两点间的距离. 图1
解 。.。AAD1B1为正三角形 ,
.
。
. AD1B1= 60。,
.
。
.AD 与 DB所成的角为 60。.
易求得AM = ,AD=1,DN=迮
4
·
.
。 = + +菌 .
.
·
. I—lVlN I 2:(商 + +-D~)2
: I t2+I I2+ +2 .
+2 . +2商 .
= 吉+1+ 1+2×譬×c0s l35。
+2×等×0。6 135"
+2× ×
f 2×,x~s 60~
一 三
~
8
.
·
.
}一MN I=
.
此题也可以 D为原点, ,一DC,面 所
在直线分别为 轴、Y轴、:轴建立空间直角坐
标 ,得到更简洁的解法.
例 2 已知正方体 A/~'D ~AlBlClDl
的棱长为 1,点 E是ADl的中点,求点 E到直
线 BD 的距 离 .
解 建立空间直
角坐标系 D —xyz如图
2所示,设 EF上 BD,F
为垂足.由于 F的位置
没 有 确 定 。设 D —
D—B
, 则 F点坐标为
( 。 。0).
图2
·
.
。魂=( 1,0, ,
.
-
.
一EF=(z,枷)一( 1,0,吉) .‘. =(z, ,0)一I— ,,—=}J
= ( ~吉 一吉).
-
.
‘ 商 上商 ,且亩 =(1,】,0),
.
·
. 莳 .商 =0.
即 (z— 1)+ =0, ={.
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高中般学教与学
一EF=(一百1, 1,一 ).
I—EF I:
4 .
例3 长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB
: 2,AD=1,AA1=3,E,F分别是棱B1B,
DC的中点,求点 E到平NA1FD1的距离.
解 如 图 3建立
坐标系,则 D(O,0,0),
A(1,0,0),C(O,2,0),
A1(1,0,3),D1(0,0,3),
V(O’1’0)_E(1’2’号).
D1A1= (1,0,0),
图 3
DlF:(0,1,一3),ED1=【一1,一2,—手J.
设 H= (z,Y,z)为平面 A1D1F的法向
量,由 H上 ,H上面 可知A1D1F的一
个法向量 H = (0,3,1).
.
’
. 点 E到平面A1D1F的距离d为向量
E 沿 Hl方向射影的绝对值,即
, I ED1·nl I
— I 。1 I 一
例4 已知正方体
ABCD —A1B1C1D1的
棱长 为 1,试求 面对 角
线 AD 与 BD 的距离.
解法 1 设 PQ 为
9 _0
20
AD1,BD 的公 垂线 段, 图4
P在ADl上,Q在DB上(如图4),令 =
窳A,一DQ:yD—B,一DA:口,一DC:6, DD: D1 , = , :口, =6, 1=
2003 年
c,贝0 =口+6,D1A :口一c,而
.
·
. 商 :商 + D + .’. :PD1+ 1D+DQ
= 一 姐 + jDc — c + +
= (Y—x)a+ +(z一1)c.
— — — ● ——— —————+
’
.’DB上 尸Q,D1A jI PQ,
.
·
.
一
DB. =(口+6).[( —z)口
+ +( 一1)c]
= 2y—z:0, ①
. = (口一c).[( —z)口 D1A·PQ =(口一c)·l( —z)口
+ +(z一1)c]
: Y一2z+1=0. ②
由①,②解得 =了1
,
z=了2
.
.
·
.
= f一了1口+号6一号c 譬.
解法2 以D为原点, :口, :6,
DD1=c为坐标向量建立空间直角坐标系D
一
,PQ为AD1,1317的公垂线段,仿解 1,可
得 =( — , ,z一1).
·
.
‘ 上 平面 AB1D1,
又易证百 _lI平面AB1D1,
.
·
. ∥ .
而 =(一1,1,一1),
. 二 一 上 一 :兰 =
‘ ‘
一 1 — 1 一 一 1 ’
解得 Y=了1
,
z : 号.
= (一{,号,一号).
,.; , 43 i PQ j
:
.
· l6 ·
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