关于抛物线的十个最值问题

2002年 第 8期 数学通报 21 关于抛物线的十个最值问题 李迪淼 (湖南师大附中 长沙410006) 本文用初等方法讨论 了与抛物线有关 的若 干几何最值问题 ，得到了十个有趣的结论．为方便 读者摘用，现用定理形式叙述如下 ： 定理 1 抛物线 的所有焦半径 中，以过顶点 的焦半径为最短． 不妨设抛物线 的极坐标方程为 l0= ，则显然有 10≥ ，其中等号成立当且仅 当 0：2k丌+丌(k(--Z)即焦半径通过抛物线的 顶点时． 定理 2 抛物线的过焦点的所有弦 中，以抛 物线的通径为最短． 证 明 设 抛 物 线 极 坐 标 方 程 为 l0 = ，焦点弦为 AB，且设 |4(10I，0)，B(102，0+ I — COSU 丌)，则有 l AB l=10I+102=南 + =一 ≥ 2p=通径长，1 一 一 (c0s ) 一～ 。一 ’ 其中等号成立当且仅 当 = krr+丌／2( ∈ z)即弦 AB为通径时． 定理 3 设 A(0，0)是抛物线 Y =2px(P> 0)的对称轴上的定点 ，M( ，Y)是抛物线上的动 点 ，则 ⋯ f 1 0 l (当 0≤P时)， 。 m i 当。≥P时)． 证明 由 l MA l ：( 一0) +Y =( 一 0)2+2px= 2—2(o—P) +02= [ 一(0一 P)] +p(2a—P)，注意到 ∈ [0，+∞)，知结论 成立 ． 定理 4 设 ／4(0，b)是抛 物线 Y ：2px(P>0)内一定 点，F是焦点 ， 是抛 物线上 的动点，则 (1 MA l+l F 1) i = 0 + p／2． 证明 如图 1所示 ，作 AQ_l_准线 L： =一p／2于 Q，则知 图 1 (1 MA l+l MF 1) i =l AQ = 0一(一p／2)= 0+p／2． 定理 5 设线段 AB是抛 物线 Y =2px(P>0)的过焦 点的弦，分别以 A、B为切点的 抛物线 的两条切线相交于点 ，则三角形 ABM 的面积的最 小值为 P ． 证 明 设 A( l，Y1)， - ● x " ＼ ～ 图 2 B(x2，Y2)，则由 A、F、B三点共线可得 ： l Y2一x2yl=p／2·(Y2一Y1) (1) 于是利用(1)式及两切线方程 AM ：yl Y = P( +X1)， BM ：Y2Y = P( +X2)， 易得 的坐标( ，Y)适合 ： = 一p／2， 【Y =P(一p／2+X1)／Y1． 因为 ·ka，：一1，所以 MF_l_AB，即 l MF l是 △MAB的AB边上的高． 因为 l MF l≥l FK l(焦点 F到准线 =一 p／2的距离)：P， 又由定理 2知 l AB I≥2p(通径长)， 所 以 S△ = 1／2·l AB 1．1 MF l ≥ 1／2 ·2p ’P = P ， 因其中等号当且仅当AB_l_ 轴时成立，故三 角形 MAB的最小值为P ．证毕． 定理 6 过抛物线 Y2= 2px的顶点 0引两条互相垂直 的动弦 OA和 OB，则三 角形 OAB的面积的最小值为4p ． 证 明 设 A( l，Y1)， 8(x2，Y2)，贝0由 0A j_0B得 J 一 () B 、———～ Xl X2+yl y2：0 (1) 图 3 将 Y{=2pxl，Y；=2px2代入(1)立得： l 2=4p (2) 于是 (S／x04B) = 1／4·l OA l ·l OB l = 1／4·( }+y})·( ；+)，；) 维普资讯 http://www.cqvip.com 22 2002年 第 8期 数学通报 ： 1／4·( }+2px1)·( ；+2px2) = 1／4 ·[( l X2)2+2pxl 2( l+X2)+ 4p l 2] ≥ 1／4 ·[(Xl X2) +2pxI x2(2~／Xl X2+ 4p2 l 2] (3) 将(2)式代．／k(3)则得(5△ ) ≥ 16p ，从而 S△ ≥4p ，因其中等号当 l= 2=2p时取 到，故三角形 OAB的面积的最小值为 4p ． 定理7 抛物线 Y ：2px的内接等腰直角三 角形的面积的最小值为 4p ． 证明 设 RtAABC内接 于抛物线 Y ：2px，点 C为直 角顶 点 ，设 A( l，Y1)，B( 2， Y2)，C( 3，Y3)，根据抛物线的 对称性以及其开 口方向，不妨 设 Yl>0，Y2I Al l知 ZAMAl> 图5 Al AM = 丌／2一 AMA1， 所 以 AMAl> 丌／4； 同理 BMBl> 丌／4，故有 AMB <丌／2． 定理 9 设 AB是抛物线Y=ax (a>0)的 长为 m的动弦，则 I．当 m≥1／a(通径长)时，AB的中点 到 轴的距离的最小值为(2ma一1)／4a； Ⅱ．当 m <1／a(通径长)时，AB的中点 到 轴的距离的最小值为 am ／4． iY_~fl 设 M( o，Yo)，将直线 AB的参数方程 ： c其中z为 参数 ，倾斜角 a≠ rr／2) 代人 Y= ax 并整理得 a(cosa) ·t +(2axoCOSOt— 。 、’ A () 图 6 sina)·t+(ax5一Yo)=0，故由韦达定理和参数 t的几何意义以及 l AB l=m立得 t1+t2=一(2axocosa—slna)／a(cosa) =0 tlt2=(ax6一Yo)／a(cosa) =一(m／2) ② 由 ① 解出 o并代人 ② 整理得 y0= (seca) +Tam2(c⋯ ) 一 1 ③ 对 ③ 右边前两项利用基本不等式则得 y。≥ 2 。 m 一 1 = (2，m 一1)／4口．于是 ，令 (seca) = a4m2( sa) ，得(c蝴 ) = 1 ． 因此 ，当 am ≥ 1时，(Yo) i =(2ma一1)／4a； 当0