巧设单位“１”解答行程难题

教学文档.巧设单位“１〞解答行程难解答行程问题，一般都要有路程、速度、时间三种量中的任意两个量。但是，在一类竞赛题中，往往只有时间这一种量，根本不明示两个运动体的相向相遇，或者同向追及是在多少路程中发生的，因此，给解题增加了肯定的难度。　　如果在解答的过程中，能依据题意恰当地设某段路程为单位“１〞，以此为尺子，来度量两个或几个运动体在不同的时间内，所行驶的路程的长短，这样，就能使数量关系明朗化，就能驾轻就熟，将问题化难为易。　　例１甲、乙、丙三人各以肯定的速度，从Ａ地到Ｂ地，丙出发５分钟后乙才出发，乙用２５分钟追上丙；甲又比乙晚出发５分钟，经过４０分钟才追上丙。甲出发后，需用多少分钟才能追上乙？　　解设乙追上丙所走的这段路程为单位“１〞，则乙每分钟能行这段路程的１／２５；丙每分钟能行这段路程的１／〔２５＋５〕＝１／３０；　　依据“丙出发５分钟后乙才出发〞、“甲又比乙晚出发５分钟〞，则甲比丙晚出发１０分钟。因此，当甲出发时，丙已行驶了这段路程的１／３０&215;１０＝１／３。甲追上丙，比丙多行了这段路程的１／３，花了４０分钟。依据追及问题的关系式，可知甲比丙每分钟多行这段路程的１／３&247;４０＝１／１２０。因此，　　甲每分钟能行这段路程的１／３０&215;〔５＋５〕&247;４０＋１／３０＝１／２４。　　通过所设的乙追上丙所走的这段路程为单位“１〞，已推出了甲和乙速度之间的关系，因而甲追上乙所需的时间就可知是　　〔１／２５〕&215;５&247;〔１／２４－１／２５〕＝１２０〔分〕　　例２某人沿公路骑自行车匀速前进。他发觉这一公路上的公共汽车，每隔２０分钟就有一辆车超过他，每隔１２分钟就有一辆车和他迎面相遇。如果这路车的两个车站，都以间隔相同的时间发一辆车，那么，每隔多少分钟发一辆车？　　解由于两个车站都是以间隔相同的时间发车，所以在这两个车站间的这段公路上，不管是什么时刻，同向行驶的全部车辆，两车间的距离都是相等的。如果把这两车间的间距设为单位“１〞。题中“每隔２０分钟就有一辆车超过他〞，即自行车和汽车同向前进，汽车比自行车多行一个“间距〞，需２０分钟，也就是每分钟汽车比自行车多行“间距〞的１／２０〔速度差〕；“每隔１２分钟就有一辆车和他迎面相遇〞，同样可知，自行车和汽车在一分钟内，能共行“间距〞的１／１２〔速度和〕。　　已知自行车和汽车在１分钟内的速度的“和〞与“差〞，由和差问题的关系式，可知汽车每分钟能行“间距〞的〔１／２０＋１／１２〕&247;２＝１／１５。　　因此，这路车发车的间隔时间为　　１&247;〔〔１／２０＋１／１５〕&247;２〕＝１５〔分〕　　例３甲骑自行车到城里去办事，走后，乙发觉他忘了一物，马上骑摩托车去追，乙追了１５分钟还没追上，急忙问路旁的人，路旁的人答复说：“甲在２０分钟前经过这里。〞乙看看手，这时离甲出发时间一小时。乙需再行几分钟就能追上甲？解“乙追了１５分钟还没追上〞，如果把乙追甲这１５分钟所行的这段路程看作单位“１〞，那么乙每分钟可行这段路程的１／１５。由题中条件可知，甲已出发一小时，并在２０分钟前经过这里，说明甲走这段路程花了６０－２０＝４０〔分〕钟，可知，甲每分钟能行这段路程的１／４０，并且还可以推知，当乙询问路旁人时，乙还距甲的路程是这段路程〔单位“１〞〕的１／４０&215;２０＝１／２，依据追及问题的关系式，可以求得乙还需多少分钟才能追上甲，因此，此题的综合算式是：　　１／〔６０－２０〕&215;２０&247;〔１／１５－１／〔６０－２０〕〕＝１２〔分〕　　这类题，单位“１〞确实定，关键是确定一个与诸多因素相关联的可比量。这类题同样可以有多种解法，不过从确立单位“１〞这个角度来解答，一方面与生知识联系紧密，轻车熟路，另一方面也可以培养学生在依据条件确立单位“１〞的过程中，提高学生的分析推断能力。难题够难的！