实数理论-陈广荣_看图王

实数理论陈广荣摘要:实数遨论是数学分析的基础,’由有理数扩充到实数有几种方法,本文在有理数的基础上,用比较通俗易懂的方式叙述了戴德金特的实数理论、博尔查诺的实数理论和康妥尔的实数理论。苍1.有理数的基本性质和无理数的存在性一、有理数索和它的基本性质数是客观事物量的现。换句话说,即表示所谓多少之分,大小之别。我们在社会实践中要有基本的数量分析,才能做到胸中有数。人们最早认识数是1,2,3,4,…的自然数开始认识数的。把全体自然数:1,253,4,…所组成的集合叫做自然数系。它的基本性质是系内的每个数之间都有大小之分,前后之别。1是这个系内的最前面的数,也是这个系内最小的数。但是在这个系内没有最大的数。把这个性质叫做自然数系的有序性。从自然数系扩充到整数系:…,一连,一3,一2,一1一子。,几,2,感,4,…再从整数系扩充到有理数系。所谓有理数就是形如二的分数。其中q>。和p都是整q数。当p和q没有公因子时,卫就叫做既约分数,又因为任何有理数都可以找到它的既约q分数表示。通常我们对一个有理数都是用它的既约分数来表示。把形如上的数的全体叫做q有理数系。有理数亲的基本性质,除了有理数系内可以进行加减乘除(但不能用零做除数)四则运算外,还有下面的两个重要性质:1.有理数系的有序性所谓有序性就是对任意两个有理数。和b,在下面三个关系式中:(i)a<b,(11)a=b-本文是我为系里青年教师于1977年开的《数学分析基础》讲座的一部分讲稿。(111)a>b,有一个且只有一个式子成立。这就是说,对任意两个有理数都可以进行大小的比较,都有一定的次序。从略。2.有理数系的稠密性所谓稠密性就是对任意两个不相等的有理数a<b,必可以找到另外一个有理数c,使得a<c<b成立。事实上,我们取a+bC二一2来考虑,由有理数的运算可知c是有理数,而C一a之a+b2一a=b一a又_~.、,,一~、,一钾丁一户U,厌以a夭c关四刀艺b一c二b一b+a2b一a、_=—.2U所以。<b由此可知,确实存在这样的c使得a<e<b成立。不仅这样,我们还可以证明在a与b之间存在着无穷多个有理数.通常把这个性质叫做有理数系的稠密性。而自然数系和整数系都没有这种性质。因为在自然数系内的如l和2之间就不存在其它的自然数。我们把这种数系内的元素叫做离散的。二、无理数的存在性和它的发展过程1.无理数的存在和实数理论产生的必要性对无理数的存在性,早在公元前五世纪的希腊人就已发现不可通约的线段,以后又在欧几里得《几何原本》一中有详细的论述。例1证明斌万不是有理数。解:因为任何有理数都可以写成二的既约分攀形式。用反证法。q如果假设了百是有理数,那么必有了万=立且p与q除1以外没有公约数,即这时有q,又有尸二q22,这就说夕能被2整除。所以夕是一个偶数,我们把它写成P二2r,由此得到4r2=2口2,即2r2=口2.这又说明矿也是偶数,总结上述就说明p与q都能被2整除。这与假设二是既约分数相矛盾。所以了万不是有理数。例2证明109:5不是有理数解:如果此结论不正确,设1。g:5=二而且上是既约分数表示的。这时即有qq2户=sq这样就得了偶数等于奇数的矛盾。所以190:5不是有理数。例3如果。是一正整数,但不是一个整数的平方,则斌而一定不是有理数.解:反设了丽是一个有理数,则有了而二二q。又因为m不是一个整数的平方,所以存在一个正整数n,使nZ<沉<(n+i)2。<上<,+1q或nq<P<(n+1)q,又因为(优口一nP)2一m(P一nq)2=(。2一川)(PZ一tngZ)=o则了丽=少q几”pP一nq由nq<p<(n+i)q有。<p一nq<Q,现在我们再来比较两个分数:丫一而=上了雨二里红少.q·P一nq由p一,q<q而不难发现这与假设一是既约分数相矛盾.故知甲而不是有理数。这个例子是戴德金特在1872年发表不朽著作《连续性和无理数》一书中,曾证明的事实。即一个非平方数的正整数。的平方根在有理数系内是找不到的。后来又有雅可比(Ja。。bi)把戴德金特的证明方法推广到。次根去。此外,我们还可以证明二和e都不是有理数,象上述这样的数我们称为无理数,而无理数的个数也是无限多个,因为给定一个无理数a后,若加上或乘上一个任意有理数:,它的和a+r或乘积ar也不是有理数,否则a=a(+r)一:或a=ar卜:都变成有理数了,这与假设a是无理数相矛盾。所以给一无理数,容易作出无限多个无理数来。由此可见,数轴上的有理点虽然是稠密的,但是剩下的“空洞”还是很多的。我们很想把这些“空洞”填补起来,如果我们逐个来填补这些“空洞”时,既是繁琐的又是办不到的。因此,需要一古脑把这些“空洞”填补起来,即非常需要给无理数整体来下个定义。这就是十九世纪七十年的重要成果之一·—实数理论的建立。2.无理数发展过程我们知道无理数出现在负数之前。古希腊就已经知道存在着不可通约的线段。即存在着不可通约量。但是,人们又得不到这些量的精确值,所以历史上叫做无理量或叫做无理数。对这个概念严谨的论证是古代科学技术水平还办不到的事情。那个时期人们仅仅以几何形象来说明无理数的存在。到了十七世纪,十八世纪,随着科学技术的不断发展,尤其是数学分析在这个时期得到极其重要的成就。正如恩格斯在《自然辩证法》一书中指出的那样“在一切理论成就中,未必再什么象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。”1821年德国数学家柯西C(auoh)y在他自己编的微积分讲义中明确给出了极限概念。他说“当一个变量相继地所取的数值趋近于某个确定的值,以致它们的差终于比任意给定的量还要小的时候,那个确定的值就叫做该变量的极限。”但是,收敛的有理数列的极限并不一定都是有理数.如有理数列1,1。4,1。41,1。414,1。4142,…就不收敛于任何有理数.而收敛于无理数召万.因为微积分的方法是极限,而极限的理论基础是实数理论。随着微积分的发展,当时实数理论的研究就成为数学界中的主要对象。戴德金特(Dedekind,1531一二。16)是德国数学家,他于1555年开始研究,经过十四年的精心钻研,善于思索,在总结和发展前人科学技术成果的基础上,终于1872年出版了他的不朽著作《连续性和无理数》一书。从而提出了他的分割学说的实数理论。康妥尔(Cantor,1845一1918)是德国数学家,他也是1872年建立了序列学说的实数理论。此外还有梅赖(Meray)于1869年、外尔斯塔拉斯(Weierstrass)于几860年博衣查诺(Bolzano)等都差不多同时建立起实数理论。这五家的实数理论,虽然从形式上看有很大的差别。尤其是戴德金特、博尔查诺和康妥尔三家的实数理论相差很大.但是,这五家都是用有理数理论作为基础,从有理数系作出发点。而得到有理数以外的新数—无理数,来建立自己的实数理论。这样,从公元前50。年前人们就发现无理数的存在,到十九世纪七十年代实数理论的建立`整整经历了2500年左右的历史才告结束。这就充分说明了实数理论的抽象性和复杂性。主要表现是:(i)在实际测量中由于量具和误差的限制,人们不能测得精确的结果。而只能在理论上承认它。i(i)无理数不论有理数的基本列、有理数的分割、有理数作端点的闭区间套去定义,还是用其它的方法去定义,都包含着用无限多个有理数来定义无理数。(用有限多个有理数不能定义无理数),因此,在这个定义当中就有一个“无限性”的问风i(i)无理数表示法的复杂性无理数表示也是极复杂的。如开方类:扩了,召了,””,,了而,”·粼而,””对数类:109:。7,109:。97,·…In2,·…三角类:sin100,eos37。,tg79。,·…另外还有二,。,(丫万+斌下),(斌万)了了,(了万)·,砂,砂““等等.特别有些无理数和有理数的运算的结果是什么?这要经过很长时间的研究才能弄清楚,如形r其中a为有理数,a为无理数。有的甚至到现在也弄不清楚。(iv)在实际应用中大部分都是采用近似值的。所以也有些人认为对无理数只能抽象的理娜它,在实践中投有什么实际意义。卜.`九总结上述种种原因,实数理论长期没有建立起来。直到十九世纪七十年代,经过数学家们的认真研究,先后用不同的方式终于比较完整地建立起了实数理论。从而对数学分析莫定了坚实的基础.我们主要介绍康妥尔、戴德金特和博尔查诺三家的实数理论。圣2戴德金特的实数理.论戴德金特早就注意到柯西的极限定义的关键在于无理数。因此戴德金特早在1858年就开始研究实数理论。经过十四年的苦心思索和研究,于1872年提出了他著名的用分割方法来定义实数的理论.出版了他的不朽的著作《连续性和无理数》。他的出发点是把有理数系着作是已经知道的基本事实,在此基础上建立他的实数理论。一、有理数集合的分创和实擞的定义1。分割的定义定义1。把全体有理数集合分为A和B两类,并且满足下列条件:(1)A类与B类都是非空的集合,(2)属于A类的每一个有理数都小于B类的每一个有理数,:(3)每一干有理级必属于而且仅属于A类或、B类中之一类,’`那么,我们就称有理数的这种分类法为戴德金特分割。并且把它记作(A}B).例1撒分割的下类,刀类叫做分割的上类。卜,、.`…。为一切负有理数及零所组成的集合,而B为所有正有理数所组成的集命,则这种分类法是一个分割。如果A为所有正有理数集合,B还是上述的不变,则这种分类法容易验证不是一个分割。从分割的定义出发,按形式逻辑推理的方法,有下列四种分割的可能性:“)A中有最大数,而B中无最小数,i(i)A中无最大数,而B中有最小数,“i)A中有最大数,而B中也有最小数,“户城中眯无最大执万而母中也乖最小邀。我们只要指出具体的例子来说明第(i)种,第i(i)种和第(iv)种分割都存在就够了。首先,上面举的例1就是第i()种型的分割。0是A中的最大数,而B中无最小数。(其证明方法类似于例8)一`·例2.设A为一切黄有痊数济组成的集合,1召为其余的有理数所组成的集合公则这种分类法显然是`个夯创,并且是第(i琳型的`·即AI润龙趁大热而B中有最小数为。,例3.将一切负有理数,数。以及平方小于2的一切正有理数统统归人A类,而把其余的一切有理数归为B类,我们不难证明,这样的分类法是一个分割。今证明A中无最大数,石中无最小数。为此户甘先注意,A中有正有理数存在,所以。与负有理数都不可能是A中的最大数。因此,下面只要证明在平方小于2的正有理数集合中没有最大数时,:问题就得到解决。·、`、.’:.j,、’、’”`「卞其次,我们用反证法,假设。>。是A中最大数,且才<2.现在我们要找到这样的自拚按,:使得下列不等式成立;’1丫,n火“甲丁2、`(二)也”吟+劲“·为此我们求出使(1)式成立的二由`l’i`式有az+竺+粤<2介月一但a,+鲤+宾<a,+翅+’止=。,+鱼匕生稗、称一凡称称欲使-·一,r+全竺王<2成立,只要取心卜三巴马}~二,。二,~l万二71就有(。+-成立·目。·(·+专)。,,专)’<一罕<2而·<+a十t.这与假,「·。:,.、,。盾,一所以在,中没有最大数。辱稗我们可以证呢B中无最少数·反之,假设”是B中最小数,我们来找一个这样的自然攀,,硬褥不等式或*一竺+一落>2介月一2>、、.口了一`台护口.t、成立。但后一个不等式必定能满足的n,只要取、f2blnz夕l~—!Lb`一ZJ所以b-一〔B,而b一_玉.<6,这与假设b是万申伪最小数相矛盾。因此,B中无最小行月敬。这样,我们得到了一个第(iv)种型的分割。、:举于第(i)种裂的分创事实上最不存在的。因为如像有珠种型帅分割。设“是减类中最大扎吞是莽教中最小执扁分锐艘定义可知“<肠,又申食理翁系的稠帘性质可知在有攀攀仔与,b之间必存在有理数;,谏得`’a<c喊吞成立。堵时有哪旅喻肠不属于刁,也不屏于皿.但这与分割的定义相矛盾。所以,这种类型的分侧最而存在的、_’l,戴德金特分割学说的精神实质就是:对一对有理数集合(A}B)称为戴德金特分割,如果它满足下列三个性质:(1)“不空”:无论是A,还是B都不是空集合如(2)“不乱”:如果长A,帐B,贻必有a<b,(3)“不漏”:即任何有理数必属于A或.B`对有理级集合翅时于分创的结果,从上面所述可知只能有第(i)种型,第i(i)种型和第(iv)种型出现。而在第(i)种型中如果我们把月中的最大数移到B中去,而其余的都不动,则这个在A中的最大数翩变成了B甲的最小徽.而A申就俊有雄大教了。即第(反)种型交成了第U幻种型了.农之亦然。因此,对每一个分割可能出现的或者第i(i)种型`包括第(i)种型)或者第(iv)种型.并且我们把第i(i)种塑叫做一个“切断”.把第(iv)种型叫做一个“空洞,。每一个切断可以确定一个有理数。所以也称它为有理分创。每一个“空洞”却不能确定任何有理数,而由例8我们知道,·这种“空洞”确实是存在的。为了添补这些“空桐,就需要引人新的盆—我们暂时叫做无理数。所以我们也叫这种分割为无理分割。有了以上准备后我们就来定义实数.’4’2.实数的定义定义盈我们称侮一下有理数全体的分翻为“实敬.并且把它记作a“(月!B)每一个有理分创为和有理救.每一个无理分割为一无理数.这个无理数a就是添补了我们上面谈到的“空洞”。也就是“插入”于A类与B类之间的数。例如汾二.(畔卜.),o二.(·1.0“·)’在二(…41,“小·,1.42…与有遨认类似,凡是犬干。一的实数称为正数,凡是小于几。的实数称为负数。这样每一个切断确定一个有理数,反之每一个有理数。也可以产生一个有理分割(“”.la“·).而每一个砚空洞”确定一个无理数,反之每一个无理数也可以产生一个无理夯割。林样用无理数把这些“空洞”全部填满了,使得有理数系再没有`空洞方了,这样就得到了实数系。二、实橄系的有序性有理数系是有序的,那么扩充后的新数集的实数系是否也具有有序性呢?为此我们规定两个实数的大小和相等的情况。定义3设a二(A:}A:),刀二(B:】BZ)为任意实数。i。若通:=B:(从而A:=B:),则称。=尹二2“若刁:cB:且A:传lB,则称a<凡3。若A:。B:且A:粉BI,则称a>几从这个规定不难看出,当a=〔A:}AZ)是无理数时,对任何盆〔A:和灭AZ,都有戈<a<y`定理1设。二铸A.}儿),刀二(B川BZ)为任意两个实数,则下列三个关系式。二夕,。>夕,。<刀一「二有一个而且只有一个成立.,,一’-,·:`证明.我们考察A:和B:,则这时必有下列三种情况而且仅有其一成立:了`(i)若A:=B:这时由定义3(1。)可知a二月.;`,’,若月互钾B:这时又有下匆】两种情况。`义二.,..`:,一i(订若讼乏〕B:这时由定义3(3”)可知a>凡丫.一,.成每i)着A:CB:这时由定义a怕。)可知夕咬刀.,…;、’而且加)和i(i),i(11)不能同时成立。这是显然的,另外(i)和i(i)也不能同时成立.芬则从A:〕马和龙l匕B:推得月:二药,这与`lA辫B:的假设矛质`注意:a>刀的充要条件是A,门几今价.’”“一,1定理2设有实数a=(A:}A),刀二(双i冬凡l)’、补=(Cd仇).’,`则当几a>夕,夕>护时广必有a>协(传递性),,`一’一``’`卜一证明:`因为厅)尹,所以有汉:〕B.,又因为刀>协{则由注意可知有·B:OC:钾必因此也有A:门CZ铸功,这正是说明a>y二..`“一卉’一。’`定理3证明实数系中既没有最大数,也没有最小数.证明:用反证法,如果设、口是实数系中的最大数,则a不能是有理数,因为这时有.(”·!a+.1”·)>.(:la”·),即a+i>a若a=`A:!A:)是无理数时,则可以知道当成A犷称匕.就有.“夕咚.同理可证实数系中没有最小数.定理d<c<尽实橄的翻右性设有任意两个实数证明`但是又因汐B:户无最大数,a=(A:}A:),夕二(lB!Bz)且a<刀,则必有有理数c,使得,:c。尽.A,,补“林州俩戈林,,麻。和。,2,(因为我幻在分割时规定若有最大数时把它移到B:中去),故有`c斥B:,且二。耳e,今炸.“于`.(·“。,伙”·以”.)`(C:.IC:。._.则因为x。〔C:,所以x。〔月:nC:,即a(e.又因为e〔B:门C:,即e<口.总结上述就有a<c<凡卜一’沁.卜二`四、实数的运算i()实数的加法·设a=(A!B),刀=(A:}B:)为任意两个实数,「,,!又设A={。},B=币b},A:=la:},B:=笼b,},…一:,作A:=a{讨a}.、B.=R/只:其中R二1全体有理数卜广`则这种分类法显然是一个分割(月:}B:).因为这里有刁:钾砂,BZ苦功而a:+妊A:,b十b:〔几,又由口<b,.。:<6:有。:+a<b十阮,显然还有R二AZU几.现在我们就把分割(A:IB:)所确定的实数下叫做a与刀的和,记作?,a十从由于有理数的加法满足交换律和结合律。而实数的相加又建立在有理数相加的基础上,因此实数的加法也满足交换律和结合律。即a+月=口+a,(a+刀)+?=a+(夕+?).“i)实数的减法设a=(A:IA:),刀=(B:IB:)作:C:是所有A:中的有理数和所有B:中的有理数b:所成的差a:一b:的全体。C:是所有其余的有理数的全体。则(C:!C:)是一个分割。事实上,首先,由于A:铸功,B:钾功,存在差数a:一b:,a:一姚使得(a:一b:)〔Cz,(a:一b:)〔C:,所以C:钾功,C:矢功.其次,若(a:一b:)〔C:时,就有(a:一bz)乙C:.否则(a:一b:)〔CZ,则把a:一b:改写成a:一b:,但从a:一b:=a:一b,推得a:一a:二b:一b:,这个式子的左端小于零而右端大于零。引出矛盾。再次,每一个数。`一62〔e、都小于每一个。:二`L,〔e:的数,这是因为。:<。:,6:<62,故有a:一b:<a:一b:,又显然有C:UC:=R今现在我们就把分割(C.IC:)确定的实数,叫做a及刀的差,并记作:下二a一刀、规定O一刀=一几i(i)实数的乘法护设a=(A:IA:)>o,刀=(B:IB:)>o,则刁2,BZ中一切数a:,b:都是正有理数或零。C:={a:b:}即以所有。2,b:的乘积全体作为C2.q代刁c“则(C:IC:)是一个分割。事实上,C:=功.因为月z活功,B:护衣恢都是正有理数或零,所以C:中的数都是非负数,而C:中的数可能有下恨呱①C:举吞②由于处,列两种情况:首先当a和夕中至少有一个零时,则显然此时C:中的数都是负数。井次当a和刀都大于零时,虽然C:中也包括一部分正数,但这部分正数只能是A,中的正数。:和B:中的正数b:的乘积。但是由于。:<a:,6:<b;可知这部分正数仍小于C:中的任意数。至于C:中的负数,显然是小于CZ中的正数.所以不论那种情况,总有C:中的任意教小于C:中的任意数。③C:UC:=R也是显然的。二。.现在我们就把分割(C:IC:)’所确定的数。定义为a与刀的乘积,并记作。=a月若a》0,刀<0,则定义为a刀=一〔a(一月)〕a`o夕>0,则定义为a刀=一〔(一a)(夕)〕若a《0刀<O,则定义为a刀=(一a)(一刀)口》o刀>o,则有a(一夕)=一(a夕),而(一a)(一刀)=a刀,(一a)(刀)=一(a口).所以关于实数的乘法是满足交换律、结合律和分配律的。实数的除法。=(减:1刁`)》o,刀=(丑`:,l甘:)>oM={会…一〔AZ,“!贬B!,“:>QR/M中有最大数卿M中没有最大r,则令R;=R/M/{r},R:=呵U{r},稗时卿岭“1二“裤价厂1:}RZ)是一个分割,定义分割(R:}RZ)`所确定的数为叫做若d除以刀Q口尸并记作=(R,IR2)少口巴刀,,)李-(f暗·、ù一谓一a刀aa二一卞,二万=-a万’a>U,、刀<0,则定义为迄-户a《0,刀)0,a簇0,刀<0,贝授齐为含-贝,定义为含=所以当刀羊O时,粤是存意义的。户即表示以刀除a的商。五、实数系的连续性戴德金特从有理数系出发,把有理数系进行他那著名的分割得到了有理攀以外的新数—无理数。现在我们提出这样的问题:如果按照对有理数系进行分割的办法,我们对实数系进行分割,那么是否也可以得到实.数以外的“新数”呢?但是下面我们要证明的戴德金特基本定理,此定理说明,对实教系Z进行分割时,只能出现切断,而不会出现“空洞”。定义一对实数集分X与Y如果满足下列兰个条件`,(i)a不空,:X举功,Y举功“`’“不漏”:任何卖数必属于`声r即“=才日Yi(11)“不乱”:如果,x〔X,夕〔Y,则吮<.y则称为实数系Z的戴德金特的一个分割。并记作(XIY).X称为分割的下类,Y称为上奥。定理(戴德金特)设`(XIy)是实数系Z的一个戴德金特分割,’则或者(1)下类X中有最大数而上类Y中无最水数,或者(2)上类y中有最小数而下类X中无最大数。二者必居其一。证明:令A:二XnRA:=YnR则我们可以证明(A:}A:)是有理数系资的一个戴德金特分割。事实上,.t’不空性”是显然的,即取刀=(B:}BZ)〔X.其中76二(B:IB:)是定义实数夕的一个有理数系R的戴德金特分割。任取夕:〔B.则尹;书方,从而角于洲、即lA铸必.同理可证A:举功.“不漏性”—因为任何有理数,必属于X或Y,故必属任X门R二才减Y介R二瓜.最后关于乍不乱性乞一对任厦咬A;正A:的必有汪X,正Y.所以有:<.sAlA2/了了丫’a二论:这样(A:}A:)确实定义了一个对有理数系的戴德金特分割,因此它定义一个实数,记作(A:}A:).依定义(即对实数系的分割)a必属于X或Y.下面我们分两种情之渤日以讨(1)a〔X.我们证明这时a就是X中的最大数,而Y中无最小数。首先,任取刀二(B;IBZ)〔X.若刀:〔B:,则刀:《刀.故口:〔X从而有方,〔X门R=A:,这样B:cA:,即刀(a故a是X的最大数。·其次:任取c二(C:}C:)〔y,那么依定义有a<c,根据实数的稠密性必有有理数r,使.得,讯:a<r<c因为a是X中的最大数,故硬X,即r〔Y.这样c就不是Y中的最小数。而c又是任意取的。这就证明了Y不可能有最小数。(2)若a(Y,我们来证明a是Y中最小数。而X中没有最小数。首先,任取。=(C:le:)〔犷。对任何a天滩:,·有a、簇e.当口:<e时,a天C:,而当a:=e时,表明a是有理数,即氏YnR二A:,这是不可能的。故A:〔C:即a(c,这就证明了a是Y中的最小数。其次,对任何y二(D:}D:)贬X,依分割定义i(认)有,:不“,`故有有理攀r,使得y<r<a故泥Y,从而戊x,这样:不是x中的最大数。故X中术可能有最大数。以上证明的性质称为实数系的连续性。有时也称它为“完备性”。有理数系不具备这种卜性质。这也是实数系z与有理数系R之间的根本区别。这个性质的直观意思是:经过把有理数系按照分割的方法扩充为实数系后,存在于有理数之间的“空洞,已经全部填满了,再无“空洞”可填了。这就是说,如果再对实数系进行戴德金特分割时,那么也只能定义出“实数”,而得不到实数以外的新数了。夸3博尔查诺的实数.理论博尔查诺的实数理论,以有理数系为基础,从有理数系出发来定义实数。但他定义实数的方法,与戴特金特、康妥尔定义实数不同,而用有理数闭区间套来定义实数。本节为叙述方便我们称有理数闭区间套为节套。、一、节套和实数的定义1、节套的定义定义1设有两个有理数列玉a,},谧b,},并且满足下列三个条件:(i)单调性:a,成a,十:,b。十:《b,(。二i,2,3,·…)一77,(11)不乱性:a,<6,(n=1,2,一)“i)趋零性:对任意有理数:>。,必存在自然数N,当。>N时,有b。一a.<己则称由数列{a.}和{6,}构成的闭区间’〔a。,b。〕为一节套并记作(a.1b.)或i态.=(a,}b。)从上述定义不难理解所谓节套就是无穷多个闭区间,并且有节有套的最后区间的长度趋于任意,J’(或说趋于零)节套概念的几何意义是非常明显的。术六门…一-今b:bl我们上述节套定义中的三条也可简单归纳为两条:1。节套的包含关系,刁.〕刁。,:,(n=i,2,一)2。当,充分大时,节套的长度可以任意小。例1设有有理数闭区间的序列【生,引,}鱼,习,一,}卫二互,竺丝`}12ZJL33JL摊称J证明此序列是一个节套。证明:(i)因为区间左端点是增加数列,即主<兰<.”.<竺二三.<~23”而区间的右端点是递减数列。即立>生>.“.>卫丝口>..23作(11)(111)对任何n有二二l<卫土王n件对任意给定的有理数。>。,要使b,一a,=月+1作一1n2,=—吸、巴只要取·>[钊·。,可因此,这个有理数闭区间序列构成一个节套,并且不难看出,有理数1位于这个节套的所有节中,即对任意的自然数,,都有二二生1<<巴丝`.例2设有有理数闭区间序列乡78`、,卜含l小合1小令],,二;小专],·…证明此序列是一个节套。证明1。因为:[。11~「_川1一一「_1’}~!U,—.口IU,—!一,’.一,!U,—1.一J.…1ZJL3JL竹J2。当。充分大时,区间长度b。一。,=上一。=上可以任意小。nn由1。和2“可知此序列是一个节套。并且数`零位于这个节套的所有节之中,即对任意,均有a。=o`o<上=。。设有两个有理数列0,0。350。33,0。333,1,0。4一0。34,0。334,.8例证明此二数列可以构成节套证明:(i)单调性是显然的,(杯)对任意的自然数”,均有。。<饥,i(11)对任意的有理数:>。,要使饥一几二而轰令只要取心卜l念-.`·令卜`·因此,此二有理数列可以构成一个节套,并且显然可以看出有理数纽远位于这个节3套中的所有节之中。即对任意自然数。均有a。<三<b,.3例4设有两个有理数列、几。4,1。41,1。414,1。4142,·…`1。5一1。42一1。415,14143,…证明:此二数列可构成一个节套。证明:因为此二数列的单调性和不乱性是显然的,我们只对i(11)来验证。对任意有理数:>O,要使b,一a1,—`、、己10儿只要取。>[干琴~.1。上}时,就有。,一。。<`LI称上0君J但是,对这个节套没有任何有理数r位于所有节之中,即对任何自然数。均有:a。《r心b,.事实上,用反证法,如果存在某一个有理数:,满足不等式`簇:(久,则也有此《rZ《6盖.但是,我们在肛中已经证明过:此<2<此.由以上这两个式子有:}2一rZ}<b乏一a盖=(b,+a,)(b,一a,)<4(b,一a,)=-兰一<。10.(丫a。与久都不超过2…a二+b。成4)这就是说12一尸I可以任意小。这只能在,2二2时才有可能。而这是不可能的,因为我们已经证明过不存在这样的有理数,它的平方正好等于2。这就证明了不存在这样的有理数:,对任何自然数,均有入毛r毛戈.同样可以说明节套〔3,4]〕〔3.1,3.2〕〕〔3.14,3.15〕〕[3.1414,3.1415〕〕·…和[2,3〕〕[2。7,2.8〕〕〔2.71,2.72〕〕〔2.718,2.719〕〕·…中也不存在这样的有理数,位于所有节之中。从我们举过的例子中可以看出,节套是无穷多的,但是,这无穷多个节套中,有的节套有有理数位于所有节之中,如例1,例2和例8,有的节套就没有这种性质。如例4。如果有某一个有理数能位于一个节套的所有节时,则我们称这个节套套住了这个有理数,如例1套住了有理数1,例2套住了有理数o,例8套住了有理数十.但是,从我们前面举过的例子中,确实存在这样的节套,它套不住任何有理数。如果一个节套套不住任何有理数时,则我们称这个节套套空了。如例4的节套就套空了。根据节套的能否套住有理数的特点,对所有节套可分类如下:第一类:能套住有理数的节套,我们称它为有理节套,第二类:套不住任何有理数的节套,我们称它为无理节套;这样把所有的节套进行了分类。那么如果一个节套能套住有理数,那么它能套住几个有理数呢?我们不难证明它能而且只能套住一个有理数。事实上,如果设有有理数:;羊r:,不妨设r:<r:,且r:〔〔a。,b。],r:〔〔a。,b,〕,则有。<r:一rZ(b一几<.e由于e的任意性,这只能有r;二r:时上述不等式成立。例1到例8都是有理节套,而例4却是无理节套。也就是说“套空”的节套是存在,为了把这些“套空”的点填上去,使得这些节套不再“套空,就需要引进新数—我们称它们为无理数。2实数的定义定义2我们称每一个节套为一实数。并记作a=(气lb:)每一个有理节套为一有理数,每一个无理节套为一无理数。例如前举过的例子现在就可以表示为:了12上=气“.恤口。,=爪—,一,.”,,\23月一1路+143一下,”…万,厄O`,.!b。)二(0,下,1亏少0.3,0.33,·…卜二,0.34,0.4,1)nUQz,l、了.、=二10一3斌2=(1.4,1.41,1.414…小二1.415,1.42,1.5)二二(3,3.1,3.14,3。1414…小一3。1415,3。15,3。2,4)e二(2,2.7,2.71,2。718…小…2.719,2.712,2.8,3)二、实数系的有序性有理数系是有序的,那么扩大的实数系我们希望它还是具有这种有序性。为此首先,让我们规定两个实数的大小和相等设a=(a。}a二),刀=(b,!b二)为两个实数,如果a,《民并且成)b,同时成立时,我们规定a=刀.否则就说a势刀,此时有两种情况:(i)如果存在n。满足b孟。<a,口时,我们规定a)刀.或i(i)如果存在。。满足氏。>叽口时,我们规定刀>.a由节套定义的不乱性容易看上述情况(i)和i(i)不会同时发生。其次,我们说明实数系是有序的。因为对任意两个实数a=a(,}成),刀二(b。}民)则由前面的规定a=刀,和a>刀刀>a三个关系有而且只有一个成立实数的传递性也成立,事实上,若设。=(a,!a孟),刀二(b,}b二),斗,=(c,!c孟),且a>刀,刀>y,则a>件因为a>刀,故由定义存在0n,使得丐。>况。又因为刀>丫,故也存在。:,使得公>成:今取N=max{n。,n:},则当p=N+i时,有a,》a。。>b二口>b一>b,1>e孟:>e书即丐>匕这就是说a>卜三、实数系的稠密性定理证明:设a羊刀的两个实数则在不妨设a>刀,故存在n。,a,一b二李占;a与刀之间必有有理数。使得气。>悦。,今令占=a,。一鱿。则当n。<n时,有氏>欠,且今再“毕a("一省一)一笋个a(rt一韵·争则当n>n。时,有一(一音)c;二(a,。一:一)一手>a。。一`=;。>、+景<一<二…(1)”.(2)(c。}弓)是一个节套,事实上,(i)c。和式的单调性是显然的。i(i)不乱性,对任何自然数n,均有几<成(111)要使e么一e,=告<“`要取·>!偷·1·钊·1.而。,。一冬就是被这个节套套住的有理数艺。即ja刀。一—=2`“·’`’我们现在令r=%一粤(1)’式可知刀<r,文从(2)可知,<a,因此,a>;>月.叫:.线橄的运算且从而则定理1设有a=a(,}成),刀=b(。lb二)为两个节套.则(i)(a。+b,!a孟+b孟)(11)(a:一b二}a盆一b,)(111)(aob。}a孟b盆)当a二(a,!a盆)>o,刀二(b,}b孟)>。(iv)f止二1一丘、、’b二lb,/都是节套证明:(i)因为王a,+b,}仍是单调上升数列,而谧成+悦卜仍是单调下降数列,由几<成,气<悦有a,十气<口二+戈,由对任意的:>。,存在自然数N:和N:,当。>N:时有叽一a。<刁2当。>N:时,有戈一饥<刁.2`今取N二max{N:,;WZ},则当,>N时,有(a二+b盆)一(a,+b,)=(a盆一a。)+(b二一b,)<二~十止1=。22所以(a二+b。la孟+b盆)是节套,(11)证明类似于(i)(111)当a=(a,la盆)>0=(0,10孟)时,必有n。,使得气。>饥口>。,今令时=气。+,,嵘=成,则{a才}和a{才’}作成一个节套a(才l心,)=*a.又由于丐<或=时’,且成>时二a二。十,(由于任意的a,都不能大于叽),所以根据节套的相等定义知a二a’.对每一个a二(a。!a孟)>0及口=(b。!b孟)>o时,我们可以假设a。)0,b,>o此时{aob,}和扣盆民}就作成一个节套。事实上单调性显然。而由于。<a,<成。<乞<民有丐久<蛇6二,最后,因为:a盆b二一a,b,=b孟(a益一a。)+a,(b二一b。)<b;(a二一a,)+a;(b二一b。)《A〔(a孟一a,)+(b孟一b,)]此处A=mo{xa’l,悦}.故对充分大的,,上式可以任意小。所以a(泊。1口二民)是一个节套。(iv)我们假定a.>0,b。>0,车是单调下降,O,今证(乒}军三、是节套。事实上,乒是单调增加,而\0.10。/`0.又由b,<欠,a,衬。二显然有李<浮鲤̀0.0,最后,f白于姚试b一a,b,。b盆a孟b孟一aob。一气一悦一,口一邝a一口口_a孟(b孟一b。)+b。(a孟一a,)此,试(民一b<几一尸—。)+b:(a孟一a。)从故知对任意的有理数:>。则存在自然数N,当,>N时,上式可以小于￡.所以勿}李班、是一个节套。\OnO,,定理2如果(a,la孟)=(括,1厅孟),(b,}b盆)=(石,}占孟则必有(i)(11)(111)(iv)(a,+b,}a二+b盆)=(厉,+石,}云孟+(a。一b,}a盆一b二)=(厅,一石,}厅盆-乙)乙)(a,b。}a孟b二)=(厅n石,1厅二乙),(当6,)0,b,)0,厅。>0,万”)o)(an/b二!a孟/b,)=(a,/石孟}厅孟丢,)(,,)这些证明都是比较简单的,只要据节套的相等定义即可知道是正确的。如对(i)的证明只证明a。+b,《厅孟+但是,由假定可知a,成。孟,孔和压,+瓦《成+戈b。簇又和、。(成,,。镇民所以上述示等式是显然成立。定义设a=(a·la盆),月=(b·Ib盆)是两个实数,贝,l称实熬、(a·+b。!a二」+b孟),久)分别为a加刀的和,并记作a+局a减刀的差,并记作a二月.当a>0,(a,一b盆}a二一刀>O时,则称瓦6。}成。沙为。和刀的乘积,并记作。口.而(牛}孚、为。与刀的商.、0二口,,’.井记作万`下面我们看一些特殊情况.,比“·`,,、一/1}1、设肛`“·}“孟’“=”·卜令;-]少则由减法定义有:0了1:}1。八。V一P=飞一`-一。,}—一U二J=一P\nIn有一刀<。`因为当夕>0时,有氏>0,’要证明一夕<价只要证明,存!1,执且(i)当刀)o时,在,0,使上一b打o孟。<一祖透是显然的。事实上,如果上式对任意的N,总是有大于N的。,使一况》一三,孟.刃成立,取N=此即况《一兰.又因b,<民,故。《粤(李而这最后的不等式是不成立的。因为只要b。b-{各}+:时上式就不成立了。10一」可直接证明生一公。<一上即风。>三由君>。可知存在有理数r>0使民>r故必有场”o”0no使民。>r>三i()当刀0<时,有一刀>0.因为当刀<。时,必有。。存在,使民。<一上,显然当”>n.时,更有况<二卫根据“<。我们可以假设b:<。,当然也有b。<。,贝,一刀=。一,=(一三一况}生一。,,,月I刀由于况<一上,所以一三一况>。。令。,=-1一屹,。;=上一饥时.即可知一刀户。刀件因此,当a,刀至少有一个为负时,我们规定a(一刀)=(一a)刀=一(a刀)(一a)(一刀)=a刀一aa刀一刀a一aaa.刀=刀。a=O。五、实数系的连续性万厂丁万(只要a,刀刀当中至少有一个为零时)从我们前面的讨伦,由于有蓬数作成的节套,有的节套能套住一个而且只能套住一个有理数,也存在那样的节套,它套不住任何有理数,这时我们称它套空了.然后对套空了的节套我们引进新数—叫做无理数.现在我们提出这样的问题:如果仿照对有理数列作节套的办法,对实数列作节套是否也会出现套空了节套呢然后再引进“新数”呢?下面博尔查诺的基本定理否定了这种可能性.这种性质通常人们称为实数的连续性,而有理数系就不具有这种性质。这也是有理数系和实数系的本质不同的地方。定理(博尔查诺)设有实数列:{A汁和{A二},井满足下列三个条件:(i)单调性:(i)A,(A,+:,月二十:《A二(n=1,2,·…)(11)不乱性:A,<A二(n二1,2,·…)汉11)趋于零性.当,充分大时,(A盆一A。)可以任意小.则必有唯一实数属于所有各节〔A。,A二〕之中.`证明:在(i)中的两个数列的等号不能常成立,这可由i(i)可以看出。今取A:<a:<A:,AZ<a:<A3,““,A,<a。<A,,t,”·A玉<a’,<A,1,A3<姚<A法,“”,A孟,:<成<A孟,“”即把等号成立的夫掉后的取,则有理数列扣。}和和认},作成一个节套(a,l。盆).事实上,由取法可知:a,<a。十:,a孟·,:<a二(n=1,2,·…),由A。<A孟有a。<A.+:<A。十:<呱<A孟,所以a,<威.又因为对充分大的。,a(孟一a,)<(A孟一A。)可以任意小。因此每一个实数节套(A。IA孟)必然同时产生了一个有理数列所成的节套.但是,我们在前面讨论过,每一个有理数列所成的节套是一个实数。而且这个实数当它属于节套(a。!叽)的所有节之中时,它必然也属于实数节套(A:IA孟)的所有节之中,这是因为A。<。。<。二<A二.同时,不可能有两个实数同时属于韦套(月。}A孟)的所有节之中.否则设a红A。,A盆〕口砚A。A孟〕,且a<夕。则由0<刀一a<A盆一A,””(·).可知对充分大的,,A二一A,可以任意小,因此只有夕一。=。时,卜(.)式才能成立。即说明只有a二夕。如果不依赖于实数的减法也可以证明上述最后的论断。这只要利用实数的稠密性,必有有理数c和c’,满足A。<a<c<已<口<A二即。<cl一c<A孟一A,对充分大的n,使A二一A。任意小是不可能的故有a=几狂康妥尔的实数理论康妥尔于1872年以有理数系为基础,从有理数作为出发点,用有理数基本列来定义实数。因此,在这里总是假设有理数的概念、大小顺序、四则运算和运算的法则等都认为是己经建立好了。在这些基础上来定义实数和相类似的一些概念。一、有理数的基本列和实数的定义1。有理数的基本列定义1.设有a:,aZ,“,,”`”“·,数m,使不等式}a一a.,,l(。对一切正整数P成立,则称{a,}二a:,本列,并记作{a,卜例1.有理数列一的有理数列,假如对任意的有理数:>。,必有自然.“(1)。:,一,。。“”为一个有理数的基本列。有时简称为基111止,竺一,-一,二”,—,23月是一个基本列。解:对任意有理数:>o,要使}a一a。,,l二生-m1优+P,1,从—气乙成立,只。。>{刹即可(这符号〔〕表示不超尘的最大整数)所以由定义可知有理数列{.a}是一个基本列。例2。有理数列1111万’尹丁””’朴丁也是一个塞本列。`解:对任意给定的有理数。>。,要使}11},1,_l““一“”`,’二1下一下布,!、下、`只要取,>{牛二In王1.所以有理数列、。:}是一个墓本列。LIn么君J例3.证明有理数1,1.4,1·41,1·414,1·4142,`·丁二是一个基本列证明`因为a:=1,a:=1.吐=:+生=。:+104101占一n甘工d.óa:二1。41=4.1孟宁一甲一~甲丁1010=a:十a+巡~JO,月任一ù0一d.`十,孟一nU一,声d4二1。414=i+三10a。二1。4142月+三10三_十102十一互电=10毛a们二a脚_1+a.+,=a份十卫悦旦-+一鱼巴丛-十10份、}`10.+1一卫,十p一,10,十,一iù81.J任ùn甘.ù,达二其中a,,a.+:,““,a,+,各为1,2,3,一,9之中的某一确定的数。对任意有理数。>。,要使la。一a.+,l<。对一切P都成立。由于,·。一,=}箫+a份+210.+1十.“。十_二份仲10哪+户一i,9子,上1、1、阅翔—吸孟下—,一甲甲rT10仍\1010`+声三一.10p一1l,1、l孟一甲吧二户龟,9110P19了.1\_10,二尧--甲,】一.=—吸孟一—,.—、、10口`龟,1110盯`\10p,9、孟一—I\10/110,,,一1因此,要使}。二+,一。。I<,冬厂<。成立,只要取m>「共二·10,’.几1In10n生1__.,_二_._~!十二肠封一切止里数夕,都有}a,+,一aol(e成立,定义2。设有有理数列笼a。}和某一个确定的有理数,如果对任意给定的有理数。>。,必存在正整数N,当。>N时,有不等式}a,一al<。.成立,则称有理数a为笼a,}的极限或称通a,}收敛于a并记作例4.有理数列1ima,=a-月月+13一42l’13工2’的极限为1.解:对任意有理数e>0,要使}。,一。}·{一一l!=}一生一l=-一鱼一一<:l月+1}I月+11月+l只要取n>N=}生一,{时,就有:a一,<·成“·进一步我们还可以证明此数列是一个基本列。事实上,对任意的。>。,要使}a。一a二+,}=m_.那+P优+1沉+P+1一P(优+1)(优+.P+1)1沉+1,1/_`、、—`、七只要取二>