4.3 线性算子的正则集与谱

4.3线性算子的正则集与谱4.3.1特征值与特征向量有限维线性空间上线性变换的特征值与特征向量的概念是大家了解的。在微分方程和积分方程中也有特征值与特征向量的概念。现在把它拓广到一般的线性空间上来。就有限维空间看，线性变换的特征值一般是复的，因此算子谱论一般总是在复空间上进行讨论。例如伏特拉(Volterra)型积分方程：，(4.3.1)其中是一个常数。考察到的映射：对，：.(4.3.2)对比(4.3.2)，考察一般的算子方程.(4.3.3)显然(4.3.3)式的解是否存在及唯一，都与的值有关：(1)对的某些值，算子方程(4.3.3)可能存在唯一解；(2)对的某些值，算子方程(4.3.3)可能存在解，但不唯一；(3)对的某些值，算子方程(4.3.3)可能不存在解。定义4.3.1设是线性空间，是一个数，是线性算子。若中的非零向量，使得,(4.3.4)则称是的特征值（或本征值），而称为（相应于特征值）的特征向量（或本征向量）。设为算子的（相应于特征值的）特征向量全体，在加入零向量，称为算子的（相应于特征值的）特征向量空间。称的维数为特征值的重复度，也就是方程(4.3.4)的最大线性无关组中向量的个数。注显然，相应于非零特征值的特征向量在算子的值域中。是方程(4.3.1)的所有解的全体，容易看出：是的线性子空间。若是赋范线性空间，是连续算子，则是闭子空间。例如，线性空间上相似算子的特征值只有，而且全空间就是特征向量空间.由上述各例可见，算子的特征值及特征向量概念概括了线性代数、微分方程、积分方程的特征值及特征向量的概念。不仅许多经典的数学物理问（如微分方程、积分方程、变分方程问题）可以归结为求特征值及特征向量的问题。在量子物理学中许多重要问题也是要求出特征值及特征向量的问题。在数学物理（例如微分方程）问题中，除去求解形如的齐次方程外，还经常遇到非齐次方程，其中是给定的算子，是已知向量，是未知向量。为了研究这种方程的求解问题，需要引进算子的正则点和谱点的概念。4.3.2算子的正则点和谱点定义4.3.2设是复的赋范线性空间，是的线性子空间到的线性算子，是一复数。若是正则算子，则称是的正则点，或正则值(regularvalue)；并称是的豫解算子(resolventoperator)，或豫解式.复平面上正则点的全体称为的正则集（或豫解集(resolventset)），记为；不是正则点的复数称为的谱点(spectralpoint或spectralvalue)。谱点全体称为的谱集(spectralset)，或谱(spectrum)，记为.显然就是整个复平面。从方程的可解性来分类，谱一般可分为三类：(1)是的特征值。这时算子就是不可逆的，因此特征值是谱点。算子的特征值全体称为算子的点谱，记作.(2)不是的特征值，然而算子的值域.也就是说：虽然存在，但.即：虽然齐次方程没有非零解，但非齐次方程不是对每个右端项都存在解。(3)算子在全空间有定义，但不是有界的.即：虽然对每个，方程有唯一的解，但不连续地依赖于右端项.不是特征值的谱点全体称为算子的连续谱，记作.注意：有的将满足：是一对一的，并且在中稠密的称为连续谱。例4.3.1在维空间中考察由下三角矩阵定义的算子：对，.(4.3.5)显然，若记，则(4.3.5)为(4.3.6)由线性代数知：矩阵主对角线上的元素是算子的特征值。而当时，就是算子的正则值。例4.3.2设复空间为Volterra积分算子.(4.3.7)对，于是方程即(4.3.8)等价于方程(4.3.9)因为对，方程(4.3.9)存在唯一解。由逆算子定理知：存在有界逆算子，故任何复数都是的正则点；故.现设，因为从方程(4.3.10)容易看出：的值域是，且是的真子空间。若，则由的连续性知：在上，.所以不是的特征值。又因为存在，但的值域是所有形如的数全体（可微函数），不是全空间，即；因此是算子的属于情形(2)的连续谱，且.例4.3.3设复连续函数空间是乘法算子.(4.3.7)设，令.不难验证：是定义在上，值域的有界线性算子，且对一切都成立，故；因此是的正则值。现设由可知，当时，；因此的全体组成的集合在中不稠密，其中是任意的。其次，不难证明：不可能是的特征值。Infact,若有，使，则当时，.由的连续性可知：，因此对一切.这说明方程没有非零解。综上所述，属于的连续谱，且.例4.3.4表示中只有前有限个坐标不为零的元素全体，上的范数.取时，在上定义算子.显然是到上的一对一的有界线性算子，即不是的特征值。易知：.显然是定义在整个上，但在上是无界的算子。注1例4.3.4中不是算子的特征值。显然在整个上有定义，但在上是无界的算子；因此0是算子属于(3)的谱。注2若是Banach空间，是到上的有界线性算子，而且是可逆算子时，根据逆算子定理，这时是有界线性算子。故当是Banach空间时，情况(3)是不会出现的。引理4.3.1设是复的赋范线性空间上的有界线性算子。(1)是的正则点方程对任何都有解，且存在常数，使得.(2)不是的特征值是到上的一一对应（即是可逆算子）；设不是的特征值，若是有限维空间，则是的正则点。注1引理1的(1)说明：对于的正则点，方程对任何右端项有唯一的解，而且是连续地依赖于右端项，即：若是一列向量，且，则相应于的解，也有，其中是相应于的解。注2引理1的(2)说明：在有限维空间中，情况属于(2)、(3)的谱不出现。在无限维空间中，情况属于(2)、(3)的谱会出现。下面的例4.3.2,例4.3.3，例4.3.4中算子的谱是分别在无限维空间中，属于情况(2)，(3)的谱。4.3.3正则集与谱的性质定理4.3.1设是复Banach空间，.(1)若是的特征值，则对于的全部特征向量以及零元素组成的一个闭子空间，并称之为特征向量空间。(2)设是的个不同的特征值；是对应于的任一特征向量，则线性无关。定理4.3.2设是复Banach空间，，是复数.则当时，是的正则值，且，(4.3.11)(4.3.11)的右端级数按算子范数收敛；且.(4.3.12)定理4.3.3设是复Banach空间，下列结论成立：(1)中可逆算子全体是中的开集。(2)对任意，的正则集是复平面上的开集；的谱是复平面上的有界闭集。定理4.3.4设是复Banach空间，若含有非零元素，则对任意，的谱非空。4.3.4谱半径定义4.3.3设是复Banach空间，.称(4.3.13)为算子的谱半径。定理4.3.5设是复Banach空间，，则算子的谱半径满足.(4.3.14)注在这一节，我们介绍了有界线性算子的正则集、谱及谱半径的概念。对于谱，则有点谱与连续谱之分。此外，(1)有界线性算子的正则集是复平面上的开集；的谱是复平面上的有界闭集；且当时，非空。(2)中可逆算子全体是中的开集。(3)有界线性算子的豫解算子与有密切关系，它是研究算子的特性的一个有力工具。(4)有界线性算子的谱半径是第二个与有密切关系的重要的量，它与的乘幂的范数通过下式联系起来：.