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同亿 , 群 款
上 l
从同伦论的观点看李群
为纪念Alex Zabrodsky而作
Jam es P in 番 中 L ,自 I
C
我打算通过本文对近年来在有限 H一空间方面的一些研究作 一综述.但我想从 回 顾李群
的一些重要事实以及同伦论的某些基本事实开始.
那么,什么是李群呢?李群首先是一个群 G,其次,它是解析流形 (因此它的转换函数
(transition function)可展为幂级数),第三,若取映 射 0:G×G—G为 0( , ); · 。。,则
要求0是解析映射.由于具有流形的乘积结构的G×G是解析流形,固此要求0为解析映 射
是有意义的 .
李群的例子有:圆周 S ,R ,行列式非 0的n× 阶矩阵组成的一般线性群GL( ,只),酉
群 U(n)和正交群 O(n).因此李群的例子非常多.
李群方面最早获得的事实之一,是它们可以完全分类.这个分类可以粗略地叙述如 F:
为简单起见 ,设我们讨论的李群单连通.取李群 G并侔对应的李代数 .口是李群在G上左
变向量场的全体.即,给定G在单位元处的一个切赢 ,它可唯一扩充为 G上的一个左不变
向量场.左不变方量场在一个反交换的 “括号” (bracket)运算下封闭.
从群 G过渡到李代数 日的重要性在于:两个李群如果屙构,那么它们的李代数也同构
反过来,若两个李代数 同构,则对应的李群 “局部同构”,印,在单位元的邻城 里,存{ E着
“局部”同构,它将一个李群的这种邻域变为另一个李群的单位元的邻域.在单 连 通 的 情
形,这个局部同构可扩充为第一个李群到第二个李群的同构.田为在李群为单连通时,李群
与李代数之间存在着l—l对应.
因此,单连通李群的分类归结为李代数的分类.后者主要由 Cartan和 Killing ”完成.
他们对 “单”李代数作了完垒分类. “过渡”回李群便得到对应的 “单”李群.我们知道有
4族单李群 A⋯ B 、G 和 D ,以及 5个例外单李群称为 G。,F ,E6,E 和 E .
这样便完成了单李群的完全分类.而它们的上同谰的计算,历史上的作法是通过分类定
理逐个进行。整个计算的框架可总结为下图
}原 题l Lje 0roups from a HOVO0toPY Po-I1 L of V】ew
Vo1. 1370 (1g舯 ) , l— l8.
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Cartan—Killing
李群 G 呻李代数 9⋯ ⋯一 单李代数的分类
; 一 I
i 局部同构
i 单李群的分类:
i
(A) ; ^,B ,Cn,Dn,
i G2,F‘,EB,E 7,E8.
i 』
;
一计算单李群的上同调
今天我要讲的是:是否有其它计算李群的上同调的方法,这个方法不 依 赖 于 Cartan和
Killing的、有关李代数的复杂的分类定理.为此我要介绍李群的一些拓扑性质.
第~批性质之一是 [w38awa 注意到的,他
了每个李群可分解为一个紧 李 群 与一
个欧氏空间的乘积.这样每个李群有紧李群的伦型,因此它有有限复形的伦型.以后, “有
限”用来
示任意 一个有有限复形伦型的空间.
我要提到的第二个事实在历史上曾经是很有兴趣的,称为希尔伯特第五问题.希尔伯特
第五问题用下面的方式刻画李群.
窆 1 (Montgomery,Gleason,Zippin)”。 每个局部欧氏的拓扑群是李群 .
注意到拓扑群是这样一个拓扑空间:它是一个群且其乘法与逆映射连续.在希尔伯特第
五问题中,李群的解析结构”变了,但群结构保持不变.即有一个包含关系;
解析流形c C 流形c C 流形[拓扑流形.
希尔伯特第五问题是说:如果我们将解析结构减弱为拓扑结构,群流形仍为李群.
对这些问题的研究最近已集中在同伦论方面 .因此我们介绍一下同伦的概念.若有两个
拓扑空间 和 y及两个连续映射 /, : —y,我们说 “,和 同伦” (记为,=口)是指存在
映射F: X,一y使得F( ,。)=/( ),F( ,1)= 矗).形象地说,这意味着给定点 ,可用
一 道路连接 点/( )和9( ):
, 一 — — — \
、
( :【 )
并且这个道路作为 的函数连续。
在初等拓扑课程里就知道同伦的映射在上同调上诱导出相同的同态 .类似地,我们说空
间 和 y有相同的 “伦型” (记为XmY)是指存在映射
|l X—,Y瓤 g:Y—,x
使得 9,=id:, 一id .此时,H ( )同枸于 H (y).因此如果要计算李群的上同调,只
要考虑与这个李群有同样伦型的空阃.
现在回顾希尔伯特第五问题,流形结构改变了,但群结构保持不变.为什么我们不让群
结构也变化呢?这里的意思是我们可引人 “同伦单位元”的概念,这就是说有一个拓扑空间
及某个二元运算
X —÷ , ( 1, 2)= 1 t,
1)
为t0Po10gy, 疑误. —— 译 注.
4B
以及一个特殊的点e∈X,我们希望 在x中起类似于单位元的作用.
一 个同伦单位元 e应该具有性质:映射
(e, ): X— X ,
( ,e): X— X .
同伦于单位映射lx.直观地说,对每个X∈X存在道路:
这些道路应该随 而连续变化.
带有配对 (Pairing) 以 及 同伦单位的空间 称为 “H一空间”.用以表示对首先给出这
个概念的Heinz Hopf[11 的敬意.
注意群总是结合的,因此,还有另一个要扩充的概念,即 “同伦 结 合”的 概 念.给定
H一空间(x, ,p)及点x, ,g∈X,我们有两种不同的方式将它们配对:
( ) = ( ( , ), ), ( )= ( , ( , )).
若有一条道路连接(xy)z与 ( )
I 。
一 ~ / (" 1
而且它作为 , 、g三个变量的函数连续,则称(x, , )“同伦结合”.
我们还可继续考虑 4个点 、 、=、 的情况,此时我们得到下图
五边形的边对应于(x,e, )的同 伦 结合性.若给定的H一空间同伦结合,那 么 在 把这
个五边形缩为一个点时,将有一个潆一层的障碍.粗略地讲,假如这个收缩存 在 并 且 作为
、 、
z、 的函数连续,则 (x,e, )称为 “(14-空间”.事实上有这样的 H一空 问:它 不是
同伦结合的或虽同伦结合但不是nr空间.
Sugawara和Stasheff[22Ⅲ 研究了这些概念,实际上,H一空间可以细分.若 记 H一空 间
为 8。一空间,同伦结合H一空 间 为 d。一空间,Stasheff对 每个正整数 n≥2,定义了an一空问·
我们定义 “ 一空间”为这样一个空间:它对每个正整数 n≥2是 n 一空问.下列定理属
于 Stasheff[ ]:
定理 2 d 一空间有回路 (Loop)空间 B的伦型.
Milnor的下列定理则描绘了拓扑群的伦型:
定理 5 拓扑群有回路空间DB的伦型.
6
●
因此有空间的细分:
李群[有限拓扑群[有限回路空间C有限d 空间[有限 H一空间.
一 个合理的问题是:有限H一空问的上同调有些什么性质?
给定有限 H一空间( ,e, ),应用上同调到映射
: X ×X ÷ ,
我们得到同态
A = : H tX1— H ’(X xX).
如果系数是域,Kunneth定理告诉我们 H ( × )--H ( ) H ( ).此外 H ( )对杯积
是 环.故我们得同态
d: H ( )斗 H ( ) H ( )
u{H ( )0H ( )÷日 ( )
4称为 “倒代数结构”(Coalgebra str~etu re).当 是代数同态时,称 H ( )是Hopf代数.
下面的定理是 Hopf代数定理 ”.
定理 4 (a)(Hopf):作为代数,H (Xj O)兰^( .-, 1),这里 degree( {)为奇数.
(b)(Bor~1):作为代数,H ( }z2) 0A( ‘)0z2[ 】j ; .
由此立即知道某些空间不能有李群结构.例如偶维球不是李群或有限 H一空间,因为它
的有理系数上同调不合乎要求.
第二个工具是 Borel结构定理的加强定理.Borel结构定理只与H ( }z )的环结构有
关.而没有考虑可能的倒代数结构.若设H ;z。)是结合环,我们就可对倒代数 结 构得
到若干结果.
定义 d:,H ( ;z2)斗,H ( }z2) 』H ( ;z2)为 d =dx—10 —x0I.它 称
为 “约化倒乘积”(reduced coproduct).设 }, ( ;z2)一H ( z2)是平方映射.令
R=( ∈ H ( ;z2)I d ∈fH ( }z2)@H (XJ z2))
注意 R本身是一个倒代数.这里我们用到H ( j z )结合这一事实.
令S(R)为倒代数R生成的 自由、交换 Hopf代数.定义 是 由形为 一 @ ( ∈R)的
项所生成的理想,则 IC-S(R)是 Hopf理想.且
定理 5 (Lin[14]) 作为 Hopf代数,H ( z2) s(R)/I.
这个定理
倒代数结构由子模 R决定,而 Bore1分 解 中的所有生成元可在R中选取.
进一步可证明有一个正合列
0斗 H ( } Z2)斗 R斗 OH ( ; Z2)斗 0
这里OH ( ;z2)=IH ( j z。)/fH ( j ) 是 “不可分元”所构成的模.
第三个工具是 Steenrod代数 n(2).存在着函数H ( ;z )间的一序列 自然变换
S口 : H ( J Z2) 日 ( } Z2), S目‘∈n(2).
给定连续映射 ,: —y,下图交换:
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日 ( z2)兰 Ⅳi ,( ;Z2)
f, f l, s目 f,
H 2(y; Z2)— —}日 (y Z2)
下面我要列出本文所需的另一些事实.
Cattan
: 牡u )=∑ USq .
2—0
若 degree( )= .则 =X。.
若0日 ( ,Z2)=IH*( j Z2)/肚, (Xj z?) ,那么注意 i诱 导出 自然变换
: OH ( ; Z2)-'OH ( ; Z2).
我们要问
问题 1 当x是有限H一空间时, 日 如何作甩在 0H ( ,zz)上?
我们有如下一些结果。设 日 ( ,Z )是结合环,则任给整数 n,找它的二进展开式中第
一 个不出现的 2的幂次.
n=l+2+⋯ +2 一1+2 +⋯ +2。=2 +2H 一l,对某个 ≥0。
定理 8(Lin[17~) 对 >0,
(a)OH 。 2 “ 一 ( }z!)=sq。 0H +2 I
(b) 。 QH 2 2 ( ; Z2)=0
(c) 0日 2 +2 k一 ( ;Z2) q ff (O ;
是同纬映像同态 (suspension homomorphism).
( Z2)
Z2)这里 :H ( j Z2)斗日 (D ,z2)
(d)若£=2 l上2 2+⋯ +2‘z 这里 1< 2<⋯ij,则
Sq 0H ( Z2)=S目。 Sq。 ⋯ Sq 0日 (X Z2)
下面给一个侧子说明如何应用定理 5和定理 6.
E 的模 2上同调为
日 (岛j Z2)=Z 8, , 9, 1 5]/啊; , ,x , { )@A( ⋯ 咖 27, 2日)
由定理5,所有 t可在 R中选取,故有
d {∈ 日 (E8; Z2) R
从定理 6(a)和(d),得 :
=l: 5=S日 3
。= 5
" Sq。 D
t。=S矿Sq‘S目 x15
r=2: 2T=S Sq 1 5
r=3: 23:Sq。 1 5
用定理6(c)作一简单计算可证
l7 Sq 15.
这就完垒划划了d(2)在日 (E }z2)的生成元上的作用.可证明 s不是本原元 (P i i—
tire) .
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定理 6有许多应用.其中fa1有下列推论 :
推论 7(Lin[17]).第一个非零的 mod2上同调群的度数是2‘一 1.事实 I 它只能是 、
3、7或15.
由于第一个1#零的 mod 2 l二同调与第一个非零的同伦群 出现在周一度数 上,因此我们有
推论 8(Lia[17]). 有限H一空间的第 一 非零的同伦群也现在度数l、3、7或l5上.若
H }z)没有 2挠,则第一非零的同伦群出现在度数l、3或 7上.
推论 8是 Adams的 Hopf不变 为 1的定理 ⋯ 的推广,这个定理说的是:在球面 里,只
有 S 、s。或 s 是 H一空间.ThomasⅢ 在H (,Y;Z2)为本原 (primitive)生成时曾获得过
选种类型的定理.
r:0时,定理 6说
QⅣ。 ( ; Z2)=Sq QH (,Y;Z2,
注意到 degx=k时,s4 = ,故QH⋯ Lx;Z:)=0.可以证明这等价于
推论 9(Lin[187). H (gXj z、没有 2挠.
当 是李群时,R.Bott 用几何方法证明了推论9.他的证明方法涉及 Morse理论.因 而 不
能适用于有限H一空问.
另一个简单应用是
推论 10(Lin[172). n≠2 一l时,mod 2 Hurewicz映射
^0z 2:丌 r,Y)0Z 2一H ( ;Z )
为 0.
由于某些 自旋群 (Spin group)的 rood2 Hurewicz映射在度数2 一1时 }平 .因此这
个结果是最佳的.
推论 11(Lin~133).例外李群的 rood2上 同调可由它的有理 上同调 决 定.事实 E.作为
Steenrod{~数上的代数,例外李群的rood2上同调由其有理上 同调决定.
推论l】是用Bockstein谱序列来证明的.历史上,计算例外李群的 rood2上同调是非常困
难的.关于E 的结果是Araki和 Shikata“ 于 1961年宣布的.但计算的细节用到李群 的性质
直到1984年才发表 “ .
下面转到 Adams和 Wilkerson最近提出的问题.这个问题最广泛的提法应 该 像 下 面这
样.
问题 2. 给定有限回路空间.QB.D日的rood2上=同调同构于某个李群的rood2上同调吗?
为使H (D口;Z。)成为有限维向量空间,对H ( jZz)有些限制.近年来,有两个Hopf
代数被认为可能是有限回路空间的 mod2上同调但 不 是 任 何 李群 的 mod2 同谰.这两个
ltopf代数是 :
Al=Z2[ 7]/ @A( Il, l 3),
A 2=Z2[x1 5] 50九( 23, 27, 。).
由定理6,下列生成元必须由Steenrod运算联系.
】I s4 7, I 3=sq ll,
£3 sq 1 5, 2 7 sq 23, 29 sq 27.
有几个试图用 理论证明 ^不 是H一空间的 rood2上同调的尝试但都没能成功.U Suter
证明了 (未发表)A z不是有限H一空间的mod2上同调.最近我们得到
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定理 1 2. (Lin~153)A 不是 H一空间的 rood2上 同调
(Lin—Williams) (Suter)A2不是H一空间的 mod2 E同调.
下面我把注意力转到另一个问题上,即
问题 5.给定有限回路空间 口B,DB的有理上同调同枸于某个李群的有理上同调吗?
由Hopf定理知:有 Hopf代数同构
H (OB;Q)兰^( n ⋯ ⋯ ,Yn。 1 ,
其中 n L≤n2≤⋯≤n ,n 为偶.
由 Borel的一个定理知道,B的有理上同调是生成元 ⋯ ⋯, 上的多项式代数
H (B;Q)=QCx ’..·, . ]
我们称数组 “, ]为DB的 “型”(type).r称为口B的 “秩 (rank).因此问题 3卿
结为验证有限回路空 间的型与李群的型相同.
关于有理上同调 与modp上同调的关系我们有
定理 1 5(Borel,Browderf5,73).若对每个 l,P f nf,则
H (B;ZP):ZP[ ” ,⋯ , n
. ].
近年来获得的两个重要结果使我们有可能回 答 第 3个 问 题,第 一 个 结 果 是 Clark和
Ewing 给出的.本质上他们造出了一张能够实现的型的表 ,第二个是Adams和Wilkerson
的
定理 1 4.若对每个 i,p十n{,则fn ”,n,]必定是Clark-Ewing表 中的型的并.
J.Aguade注意到 Clark—Ewing表中绝大多数的型只在这样 的 素数 p时出现,其中 P--=--I
modm,而这里的m满足 存在 ,使得m{n .用 Dirichlet定理找素数 P使得 下 列 条 件成
立 对任何m1d,p l,modm,其中 为” ..'n 的最大公因子.从而可删掉表中很多型并
可得下列定理
定理 1 5(Aguade[33).若H (DB;z)无挠,型[ ”,n ]满足n1<⋯