比较tanx除x x除tanx 0到4分之π积分和1的大小
1. 比较
大小。
解:由
1) 令f(x)=tanx/x; g(x)=x/tanx; 这样就把积分号去掉了。
2) 利用单位圆,得出 x1; g(x) =x/tanxg(x).
3) 比较
与1的大小 :
方法一:
为 f(x)在区间[0,pi/4]的积分,f(x)=tanx/x 在闭区间[0,pi/4]单调递增 可用单调定义证明设x10. 所以f(x)在pi/4 取得最大值tan(pi/4)/ (pi/4)= 4/pi ; f(x)<= 4/pi ;两边同时取积分,
<1.
等号为什么不成立:积分是求面积...
1. 比较
大小。
解:由
1) 令f(x)=tanx/x; g(x)=x/tanx; 这样就把积分号去掉了。
2) 利用单位圆,得出 x
1; g(x) =x/tanx<1; f(x)>g(x).
3) 比较
与1的大小 :
方法一:
为 f(x)在区间[0,pi/4]的积分,f(x)=tanx/x 在闭区间[0,pi/4]单调递增 可用单调定义证明设x10. 所以f(x)在pi/4 取得最大值tan(pi/4)/ (pi/4)= 4/pi ; f(x)<= 4/pi ;两边同时取积分,
<1.
等号为什么不成立:积分是求面积,通过作图y1=tanx/x 与 y2=4/pi 在区间[0,pi/4]上,y2的面积大于y1的面积。
方法二:用拉格朗日中值定理, f(x)在[0,pi/4]连续,在(0,pi/4)可导,
x∈[0,pi/4]
两边取积分得
=
;
在区间(0,pi/4)上单增,
在区间(0,pi/4)上,小于tan(pi/4)=1.
方法三:用积分中值定理(《高等数学》同济六版,233页)
=f(ξ)( pi/4-0),
f(x)=tanx/x单增,ξ在pi/4取得最大值,f(pi/4)=4/pi, f(ξ)( pi/4-0)=1。
说明:有些上把ξ定义在开区间(a ,b)则
=f(ξ)( pi/4-0)<1.
http://wenku.baidu.com/view/2879bf0852ea551810a6876b.html 文中把开区间作为闭区间的推广
方法四:利用割线的斜率
直线的斜率k=
题中tanx与0点的斜率k=
,
;
利用作图,k随着x的增大而增大,
区间内
处取得最大值;
在
区间内k≤
(等号仅在
出取得,积分后去掉等号,怎样理解:图形法,两条曲线相交一点,区间内上面的面积比下面的面积大,积分示面积)
两边去积分
g(x)≤f(x), x∈[0,1] ;等号仅在x=1处成立,但两边取[0,1]积分,等号就不成立了。
注:下面是利用连续函数的介值定理证明微分中值定理,则ξ∈开区间(a,b)
g(x)
f(x)
_1435828006.unknown
_1435836808.unknown
_1435837251.unknown
_1435837399.unknown
_1435837054.unknown
_1435836858.unknown
_1435837007.unknown
_1435829143.unknown
_1435836571.unknown
_1435828013.unknown
_1435827933.unknown
_1435827958.unknown
_1435827993.unknown
_1435827944.unknown
_1435827303.unknown
_1435827562.unknown
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