任意复杂薄壁截面自由扭转常数的数值计算方法

第 42 卷第 5 期 中南大学学报(自然科学版) Vol.42 No.5 2011 年 5 月 Journal of Central South University (Science and Technology) May 2011 任意复杂薄壁截面自由扭转常数的数值计算 康澜 1, 2，张其林 1，王忠全 1，吴杰 1 (1. 同济大学 土木工程学院，上海，200092； 2. 中交四航工程研究院有限公司，广东 广州，510230) 摘要：针对任意复杂薄壁截面自由扭转常数的计算，提出一种便于计算机实现的建模方式和计算方法。采用一系 列具有宽度的线段模拟薄壁截面，根据薄壁截面剪力流计算理论，编写相应计算程序，计算得到任意复杂薄壁截 面的自由扭转常数。把本文的计算理论和计算方法运用到大型斜拉桥苏通大桥的截面计算中，并与 Midas 计算结 果进行比较。计算结果明：本文的建模方式实现了与 CAD 的无缝连接，方便工程应用；本文的计算方法对于 不同剪力流指定方式得到相同的计算结果，克服了 Midas 的计算缺陷，验证了本文计算方法的正确性和稳定性。 关键词：桥梁工程；薄壁截面；自由扭转常数；数值计算方法；剪力流 中图分类号：TU 448.213 文献标志码：A 文章编号：1672−7207(2011)05−1437−05 Numerical method of free torsion constant for arbitrary complicated thin-walled cross section KANG Lan1, 2, ZHANG Qi-lin1, WANG Zhong-quan1, WU Jie1 (1. College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. CCCC Fourth Harbor Engineering Institute Co. Ltd., Guangzhou 510230, China) Abstract: An effective algorithm and model building method for free torsion constant calculation of thin-walled bars with arbitrary complicated thin-walled cross sections was presented. Series of lines with given width were used to build the model of thin-walled cross section, corresponding calculation program was developed based on theory of shear flow, and free torsion constant for arbitrary complicated thin-walled cross section was obtained. The calculation theory and method were applied to the world’s largest cable-stayed bridge i.e., Suzhou—Nantong Yangtze Road Bridge, and the results of this paper were compared with Midas. The results show that the model building method in this paper realizes the seamless connection with CAD, and is convenient to engineering application; the same results can be obtained by different given models of shear flow, this method overcomes the shortcomings of Midas, and the validity and stability of the method are verified. Key words: bridge engineering; thin-walled cross section; free torsion constant; numerical method; shear flow 薄壁构件由于加劲肋的存在，断面形式越来越复 杂，增加了截面特性的计算难度，尤其是其抗扭常数 的计算。任意开闭口薄壁截面的抗扭常数可分为自由 扭转常数和翘曲扭转常数。对于开口薄壁截面，它的 翘曲扭转常数要远远大于自由扭转常数；而对于闭口 截面，它的自由扭转常数对扭转刚度的贡献也不可忽 略。因此，如何准确计算自由扭转常数对于薄壁截面 特别是闭口为主的薄壁截面非常重要[1−2]。许多学者对 自由扭转常数的数值计算理论和方法进行了大量研究 工作[3−4]。杜柏松等[5]通过自由扭转理论推导得到复杂 薄壁箱梁断面的自由扭转常数，该方法前处理需要过 多的人工参与，不适合计算机语言。Lubarda[6]通过剪 收稿日期：2010−04−09；修回日期：2010−08−12 基金项目：国家高技术研究发展(“863”计划)项目(2009AA04Z420) 通信作者：张其林(1962−)，男，江苏海门人，博士，教授，博士生导师，从事钢结构研究；电话：021-65980644；E-mail: zhangqilin@tongji.edu.cn 中南大学学报(自然科学版) 第 42 卷 1438 力流计算给出了 2 室和 3 室任意薄壁截面的自由扭转 常数表达式，这种方法无法应对更复杂的多室薄壁截 面。Loighlan 等[7−8]将图论法的理论引入计算程序的前 处理部分。这种方法编程容易实现，但计算量庞大，消 耗大量计算时间。周建春等[9]通过比拟有限元方法，建 立了求解截面扇性坐标等几何特性的计算机算法，但 是没有给出自由扭转常数的数值解法。ANSYS 采用有 限元网格划分的计算方法，这种方法在出现大量的小 锐角网格时便无法求解，手动划分又费时费力[5]。徐 秀丽等[10]通过对薄壁箱形截面杆件扭转特性进行分 析，提出利用空间有限元分析软件的分析功能来计算 薄壁箱梁截面几何特性参数的新途径，这种计算方法 虽然简便，但不是一种精确方法。在此，本文作者根 据复杂薄壁截面剪力流计算理论，采用具有宽度的线 段进行建模，根据剪力流进行列式，给出精确计算薄 壁截面自由扭转常数的数值计算方法，并编写相应程 序。该方法无论怎样指定互斥的剪力流方式，都能得 到相同的解答。最后把计算结果与 Midas 软件计算结 果进行对比，显示了本文计算方法的优越性。 1 模型建立和理论推导 1.1 基本假定 任意复杂薄壁截面自由扭转常数的计算满足经典 的符拉索夫和乌曼斯基创建的基础理论。符拉索夫关 于杆件断面无畸变的理论适用于开口断面，乌曼斯基 的断面无畸变理论则可用于闭口断面，但后来符拉索 夫又创建了断面有畸变的理论，既能用于闭口又能用 于开口薄壁杆件[11−12]。闭口薄壁截面自由扭转的基本 假定如下： (1) 横断面的周边不变形，即无畸变； (2) 剪应力沿壁宽均匀分布且平行于各薄壁周界； (3) 材料为线弹性材料。 1.2 模型建立 任意开闭口薄壁截面的特点是壁宽相对壁长非常 小，如果按照实际截面尺寸采用双线条建立模型，将 截面划分的工作量较大[13−14]，因此，本文的薄壁截面 采用了一系列具有宽度的线段来表示，1 条线段代表 1 个微元，并由此开发了前处理程序和界面，可以直接 读取 CAD 数据文件，符合工程设计人员的习惯，便 于实际工程应用。图 1 所示为苏通大桥某断面的图形 导入界面，该前处理可以完成图形的 CAD 导入、编 辑线段、编辑回路、编辑线宽、文件保存以及计算薄 壁截面特性等多项功能。 1.3 理论推导 开口和闭口薄壁截面自由扭转常数的计算方法是 不同的。对于开口薄壁截面，采用公式 3d 1 3 J bt= 进行 计算。式中：Jd为薄壁截面自由扭转常数；b 为该线段 图 1 图形导入界面 Fig.1 Graphic import interface 第 5 期 康澜，等：任意复杂薄壁截面自由扭转常数的数值计算方法 1439 长度；t 为开口截面线段宽度。对于闭口薄壁截面，根 据自由扭转的剪力流计算理论进行列式，计算公式[15] 如下： 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 H n n n n n n nn n n n n q q q q q q q q q q q q M δ δ δ Ω θ δ δ δ Ω θ δ δ δ Ω θ Ω Ω Ω ′+ + + =⎧⎪ ′+ + + =⎪⎪⎨⎪ ′+ + + =⎪ + + + =⎪⎩ " " # " " (1) 式中： ，表示第 i 回路剪力流沿闭合周线的 积分； ，表示第 i 和 j 回路共用边界 的积分，如果第 i 和 j 回路没有共用边界，则 0ij jiδ δ= = ；tc 为闭合回路中各线段宽度；G 为剪切 模量； ii AΩ 2= ；Ai为第 i 个回路所包含的面积；扭率 H d M GJ θ ′ = ；MH为该截面的自由扭矩；Jd为该截面自由 扭转常数；第 i 个回路的剪力流 H d i i Mq c J = ，剪力流 逆时针为正。将 H d M GJ θ ′ = 和 H d i i Mq c J = 代入方程组(1) 前 n 个式子，简化成关于 ci的方程组，并写成矩阵的 形式，即： 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 n n n n nn n n a a a c a a a c a a a c Ω Ω Ω ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ " " # # % # # # " (2) 式中： ； 。 中正负号的选取有以下原则： (1) 如图 2(a)所示，12 边是剪力流回路 1 和剪力 流回路 2 的公共边，这 2 个剪力流在回路中的方向是 相反的，取负号。 (2) 如图 2(b)所示，12 边是剪力流回路 1 和剪力 流回路 2 的公共边，这 2 个剪力流在回路中的方向是 相同的，取正号。 最后，自由扭转常数计算公式为： H H d1 1 n n i i i i i i MM q c J Ω Ω = = ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ (3) 即： d 1 n i i i J c Ω = =∑ (4) 对于复杂薄壁截面，同时存在开闭口截面的计算 公式为： c o 3 d 1 1 1 3 n n i i j j i j J c b tΩ = = = +∑ ∑ (5) 式中：nc为闭合回路数；no为开口薄壁边数。 (a) 取负号的情况；(b) 取正号的情况 图 2 剪力流示意图 Fig.2 Schematic diagrams of shear flow 2 算例 根据上述计算方法编制了计算程序，并通过与 Midas 软件的计算结果进行对比，以验证本文方法的 准确性和稳定性。 2.1 闭口薄壁截面自由扭转常数算例 1 闭口薄壁截面尺寸和壁宽见图 3。对于不同剪力 流指定算例的自由扭转常数计算结果见表 1。 2.2 闭口薄壁截面自由扭转常数算例 2 截面所有边的壁宽为 1 mm，截面尺寸见图 4。对 于不同剪力流指定算例的自由扭转常数计算结果见 表 2。 (a) 截面尺寸(单位：mm); (b) 算例 1.1; (c) 算例 1.2; (d) 算例 1.3 图 3 算例 1 截面和不同剪力流指定方式 Fig.3 Cross-section of example 1 and different modes of shear flow 中南大学学报(自然科学版) 第 42 卷 1440 表 1 算例 1 计算结果 Table 1 Results of example 1 mm4 算例 Midas 结果 本文结果 1.1 17 752 763.819 095 17 752 763.819 095 1.2 60 976 884.422 111 17 752 763.819 095 1.3 37 821 105.527 638 17 752 763.819 095 (a) 截面尺寸(单位：mm); (b) 算例 2.1; (c) 算例 2.2; (d) 算例 2.3 图 4 算例 2 截面和不同剪力流指定方式 Fig.4 Cross-section of example 2 and different modes of shear flow 表 2 算例 2 计算结果 Table 2 Results of example 2 mm4 算例 Midas 结果 本文结果 2.1 8 000 000.000 000 8 000 000.000 000 2.2 50 666 666.666 667 8 000 000.000 000 2.3 10 450 704.225 352 8 000 000.000 000 经过算例 1 和 2 的计算结果对比发现：本文计算 结果优于 Midas 计算结果；对于任何剪力流指定方式， 本文计算结果均相同，而 Midas 计算结果出现较大误 差。原因是 Midas 没有考虑不同剪力流指定方式计算 结果的一致性，导致计算结果发生偏差。 2.3 闭口薄壁截面自由扭转常数算例 3 截面所有尺寸和壁宽见图 5。本文和 Midas 的自 由扭转常数计算结果见表 3。 单位：mm 图 5 算例 3 截面 Fig.5 Cross-section of example 3 表 3 算例 3 计算结果 Table 3 Results of example 3 mm4 算例 Midas 结果 本文结果 3 113 137 084.989 848 113 137 084.989 848 2.4 苏通大桥某截面常数计算 图 6 所示为苏通大桥某断面，表 4 所示为本文和 Midas 的计算结果。从表 4 可以看出：本文计算方法 和程序真实、可信。 单位：mm 图 6 苏通大桥某断面(底板和顶板厚度为 20 mm；U 肋厚度为 8 mm) Fig.6 Cross-section of Suzhou—Nantong Yangtze Road Bridge 第 5 期 康澜，等：任意复杂薄壁截面自由扭转常数的数值计算方法 1441 表 4 苏通大桥截面计算结果 Table 4 Results of Suzhou—Nantong Yangtze Road Bridge 参数 Midas 结果 本文结果 面积/m2 2.512 598 00 2.512 729 00 弱轴抗弯惯性矩/m4 7.213 541 00 7.213 726 00 强轴抗弯惯性矩/m4 294.568 557 00 294.582 278 00 自由扭转常数/m4 21.231 602 75 20.486 658 19 3 结论 (1) 采用一系列具有宽度的线段建立基本模型， 可以直接读取 CAD 数据文件，实现了与 CAD 的无缝 连接，便于工程应用。 (2) 根据薄壁截面剪力流计算理论，编写相应计 算程序，精确计算了任意复杂薄壁截面的自由扭转常 数，并把该计算程序运用于大型桥梁结构苏通大桥的 计算中，得到良好的计算效果。 (3) 本文计算程序对于不同剪力流指定方式的计 算结果一致，体现了本文计算理论和方法的精确性和 稳定性。 参考文献： [1] Cheng S H, Lau D T, Cheung M S. Comparison of numerical techniques for 3D flutter analysis of cable-stayed bridges[J]. Computers and Structures, 2003, 81(32): 2811−2822. [2] 杨霞林, 李乔, 冉琦山. 斜拉桥双箱单室箱形主梁的空间应 力分析[J]. 中国公路学报, 2006, 19(1): 71−74. YANG Xia-lin, LI Qiao, RAN Qi-shan. Three dimensional stress analysis of main box girder with twin-box single cross section used in cable-stayed bridge[J]. China Journal of Highway and Transport, 2006, 19(1): 71−74. [3] Hiroaki K. Consideration of the problem of shearing and torsion of thin-walled beams with arbitrary cross-section[J]. Thin-walled Structures, 2001, 39(8): 671−684. [4] Aleksandar P. Computer program for determination of geometrical properties of thin-walled beams with open-closed section[J]. Computers and Structures, 2000, 74(6): 705−715. [5] 杜柏松, 葛耀君, 周峥. 复杂薄壁截面的自由扭转惯性矩的 数值分析 [J]. 同济大学学报 : 自然科学版 , 2006, 34(9): 1170−1174. DU Bai-song, GE Yao-jun, ZHOU Zheng. Numerical analysis of free torsion constant for complicated thin-walled cross section[J]. Journal of Tongji University: Natural Science, 2006, 34(9): 1170−1174. [6] Lubarda V A. On the torsion constant of multicell profiles and its maximization with respect to spar position[J]. Thin-Walled Structures, 2009, 47(6/7): 798−806. [7] Loighlan J, Ahmed M N. Multi-cell carbon fibre composite box beams subjected to torsion with variable twist[J]. Thin-Walled Structures, 2008, 46(7/9): 914−924. [8] 汤建宏, 聂孟喜, 梁应辰. 复杂薄壁建筑物断面特性判定及 几何参数的图论处理[J]. 水运工程, 2006(3): 13−17. TANG Jian-hong, NIE Meng-xi, LIANG Ying-chen. Characteristics judgment and graph theory disposal of geometric parameters in complex thin-walled structures’ section[J]. Part and Waterway Engineering, 2006(3): 13−17. [9] 周建春, 刘光栋, 魏琴. 薄壁杆件截面几何特性计算的比拟 有限元法[J]. 工程力学, 2002, 19(1): 38−41. ZHOU Jian-chun, LIU Guang-dong, WEI Qin. An analogous model for finite element analysis of sectional properties of thin-walled bars[J]. Engineering Mechanics, 2002, 19(1): 38−41. [10] 徐秀丽, 王曙光, 刘伟庆, 等. 薄壁箱梁截面抗扭参数的简化 计算方法[J]. 中国公路学报, 2007, 20(2): 72−76. XU Xiu-li, WANG Shu-guang, LIU Wei-qing, et al. Simplified calculation method for torsion parameters of thin-walled box girder section[J]. China Journal of Highway and Transport, 2007, 20(2): 72−76. [11] 李明昭, 周竞欧. 薄壁杆结构计算[M]. 北京: 高等教育出版 社, 1992: 45−79. LI Ming-zhao, ZHOU Jing-ou. Calculation of thin-walled bar structures[M]. Beijing: Higher Education Press, 1992: 45−79. [12] 范立础. 桥梁抗震[M]. 上海: 同济大学出版社, 1997: 20−28. FAN Li-chu. Bridge anti-seismicity[M]. Shanghai: Tongji University Press, 1997: 20−28. [13] 胡晓伦, 王慧萍, 陈立山. 两类桥梁构件截面的几何特性计 算[J]. 交通与计算机, 2005, 23(3): 86−90. HU Xiao-lun, WANG Hui-ping, CHEN Li-shan. Calculating geometric characters of two bridge component sections[J]. Traffic and Computer, 2005, 23(3): 86−90. [14] 程进, 江见鲸. 用 ANSYS 软件进行薄壁梁截面几何特性的计 算[J]. 交通与计算机, 2001, 19(增): 77−78. CHENG Jin, JIANG Jian-jing. Calculation of geometrical properties of the thin-walled beam by ANSYS software[J]. Traffic and Computer, 2001, 19(S): 77−78. [15] 黄剑源. 薄壁结构的扭转分析[M]. 北京: 中国铁道出版社, 1983: 61−88. HUANG Jian-yuan. Torsional analysis for thin-walled structure[M]. Beijing: China Railway Publishing House, 1983: 61−88. (编辑 杨幼平)