常山胡柚十大保健作用

抽象#数#单调性与奇偶性特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(kM0)f(x+y)=f(x)+f(y)幕函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)［或f(x)f(x)］yf(y)指数函数f(x)=ax(a>0且aM1)f(x+y)=f(x)f(y)［f(x)或f(x-y)=、f(y)对数函数f(x)=logx(a>0且aM1)af(xy)=f(x)+f(y)［或f(x)或f()-f(x)-f(y)］y正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanxf(丄、f(x)土f(y)1-f(x)f(y)余切函数f(x)=cotx1-f(x)f(y)f(x+y)—f(x)+f(y)1.已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，对一切实数x、y都成立，且f(0)丰0，求证f(x)为偶函数。证明：令x=0,则已知等式变为f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)①在①中令y=0则2f(0)=2f(0)Vf(0)工0・：f(0)=1・•・f(y)+f(-y)=2f(y)f(-y)=f(y)f(x)为偶函数。2•奇函数f(x)在定义域(-1,1)内递减，求满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围。解：由f(1-m)+f(1-m2)<0得f(1-m)<-f(1-m2),Vf(x)为函数，.•.f(1-m)m2-13•如果f(x)=ax2+bx+c(a〉0)对任意的t有f(2+1)=f2-1),比较f(1>f(2)、f⑷的大小解：对任意t有f(2+1)=f2-t).•・x=2为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴又V•其开口向上・・・f(2)最小,f(1)=f(3)V在:2，+-)上,f(x)为增函数••・f(3)〈f(4),・f(2)〈f(1)0时，f(x)>0,f(—1)=—2,求f(x)在区间［—2,1］上的值域。分析：由题设可知，函数f(x)是戸=比扎住的抽象函数，因此求函数f(x)的值域，关键在于研究它的单调性。解.设冋《乜，贝1比-心〉0,V当兀>0时」(珀》0珀)>0,•./(Q=于［(心-工1)+心］=/(花-对+于01〕,・•・，即，・・・f(x)为增函数。在条件中，令y=—X,贝y，再令x=y=0,则f(0)=2f(0),.・f(0)=0,故f(—x)=f(x),f(x)为奇函数，f(1)=—f(—1)=2，又f(—2)=2f(—1)=—4,・f(x)的值域为［—4,2］。已知函数f(x)对任意忌丁已*，满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y)，且当x>0时，f(x)>2,f(3)=5,求不等式，値的解。分析：由题设条件可猜测：f(x)是丫=x+2的抽象函数，且f(x)为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设呵《叼，则乃-心〉°,・.・当兀>0时J(对：>2,...了也-玷沁，贝y7(勺)=亢(乜-Q+可]-忑)+了(眄)-2>2+/(^)-2=/(^)，即7(乃)>/Oi)，.・.f(x)为单调增函数。•・•/(3)=/(2+1)=/⑵+丁⑴-2=[/(1)+了(!)-2]+了(1)-2=”(1)-4，又..f(3)=5，.f(1)=3o./(a1-2^-2)<了(1)，.・.宀力-2〈1，即宀加-3<0,解得不等式的解为一]<&<3。设函数f(X)的定义域是(一8,+^)，满足条件：存在心H心,使得7(®)H，对任何X和y,成立。求：f(0)；(2)对任意值x,判断f(X)值的正负。*分析：由题设可猜测f(x)是指数函数的抽象函数，从而猜想f(0)=1且f(x)>o。解：(1)令y=0代入/^+^)=/MVW,则畑=了㈤丁⑼，.：/W[!-/(0)]=0o若f(x)=o,则对任意帀乜，有伽)"冷=0,这与题设矛盾，・・・f(x)工0,・・・f(0)=1。令y=xM0,则孑®)了㈤了(或[/(兀)]‘0,又由(1)知f(x)工0,・.f(2x)>0,即f(x)>0,故对任意x,f(x)>0恒成立。7•是否存在函数f(x)，使下列三个条件：①f(x)>0,xwN；②JW，血&已N；3f(2)=4。同时成立？若存在，求出f(x)的解析式，如不存在，说明理由。分析：由题设可猜想存在了G'F,又由f(2)=4可得a=2.故猜测存在函数了(对二丁，用数学归纳法证明如下：x=1时，・.J(2)mFlU⑴七⑴FY,又..・xwn时，f(x)>0,・・・“)^七，结论正确。假设H且淀眄时有冷"，则x=k+1时，恥十1)叮的川)=汁詰严，.・.x=k+1时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时=2\&设f(x)是定义在(0,+^)上的单调增函数，满足了(刁=1,求：f(1)；若f(x)+f(x—8)W2，求x的取值范围。分析：由题设可猜测f(x)是对数函数》沁川的抽象函数，f(1)=0,f(9)=2。解：(1)・.J®FlTFir⑶，.・.f(1)=0。⑵八)=八呵打⑶+了⑶=2,从而有心)+£段一8)之(9),即/[推-切'子⑶，・.・f(X)是(0,+Q上的增函数，故%-8)<9A>0，解之得：8VxW9。X-S>0设函数y=f(x)的反函数是y=g(x)。如果f(ab)=f(a)+f(b)，那么g(a+b)=g(a)・g(b)是否正确，试说明理由。分析：由题设条件可猜测y=f(x)是对数函数的抽象函数，又Vy=f(x)的反函数是y=g(x),・：y=g(x)必为指数函数的抽象函数，于是猜想g(a+b)=g(a)・g(b)正确。解：设f(a)=m,f(b)=n,由于g(x)是f(x)的反函数，.：g(m)=a,g(n)=b，从而纨aeT⑵=就祖，...g(m)・g(n)=g(m+n)，以a、b分别代替上式中的m、n即得g(a+b)=g(a)・g(b)。己知函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当乳“乜是定义域中的数时，有EAfg；f(a)=—l(a>0,a是定义域中的一个数)；当0VxV2a时，f(x)V0。试问：(1)f(x)的奇偶性如何？说明理由。(2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何？说明理由。分析：由题设知f(x)是y=-c。tx的抽象函数，从而由y=-cotx及题设条件猜想：f(x)是奇函数且在(0,4a)上是增函数(这里把a看成$进行猜想)。解：(l)Tf(x)的定义域关于原点对称，且心，叫是定义域中的数时有在定义域中。•・•介e-叨=畑-⑴=八甘1=”*十1一伽-心)了⑴)-/(花)畑)一畑)曰六疋奇•f(x)是奇函数。(2)设0VxVxV2a，贝00,即在(2a,4a)上f(x)>0。设2a1>0.当“口时,-“0,m>1>o而/^又当兀=ci时，/◎=1>Q/W=所以所以对任意，恒有设_怕€工1£也<4W,则乜7]>0,了(乃_心)所以7(疋所以》—了⑺)在R上为增函数。已知函数艸曲氏鼻工。)对任意不等于零的实数恥乃都有畑压“m+j(乃),试判断函数f(x)的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取贝y,即门二佝因为了为非零函数，所以/〔不〕为偶函数。定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m,n,总有，缺+泊-代沁,且当x>0时，O〈f(x)〈l。判断f(x)的单调性；解：在/伽+砒二几呦■了㈤中，令強=1,旳=0，得7(1)二于(1)/(°),因为了⑴HO，所以7(0)二1在㈣+硏二了(沁・山)中，令駅f料=7因为当x>0时，0<：了(力cl所以当Z°时而所以"：又当x=0时，，所以，综上可知，对于任意，均有了小0。设一凶｛心咯；^吒+oa，则出一石1n0,00时f(x)〈O,且f(1)=-2,求f(x)在［-3，3］上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设xi0,Af(x2-xiX0)所以f(x)是R上的减函数，故f(x)在［-3,3］上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数..：f(-3)=-f(3)=6.设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)二f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。证明：设R上x1，1221f(x)=f(x-x+x)=f(x-x)f(x),(注意此处不能直接得大于f(x)，因为f(x)的正负还没确定)。221121111取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f(0)=0,令x>0,y=0,则f(x)=0与x>0时，(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时,f(x)>1>0,x<0时，-x>0,f(-x)>1,由f(°)=f(x)f(_x)=i得f(x)_1>0，故f(x)>0，从而f(x2)>f(X]).即f(x)在R上是'f(_x)增函数。17-已知偶函数f(x)的定义域是xH°的一切实数，对定义域内的任意x?x2都有f(xi-x2)_f(计f(x2)，且当x>1时f(x)>0,f⑵二1,xxxf(x)_f(x)_f(x--T)_f(x)_f(x)+f(r)_f(x)_f(p)21"""“x、亠(1)f(x)在(0,+s)上是增函数；(2)解不等式f(2x2_1)<2解:(1)设x>x>0，则1x1・・・fG2)>0，即f(x)—f(x)>0,・f(x)>f(x)212121cx.・.・x>x>0,・・・r>1,21x1・•・f(x)在(0,+8)上是增函数(2)Tf(2)_1,・f(4)_f(2)+f(2)_2，丁f(x)是偶函数.••不等式f(2x2—1)<2可化为f(12x2_ll)—，由题意f(x—x—)>0,1221222121*.*f(x)—f(x)=f[(x—x)+x]—f(x)=f(x—x)+f(x)—1—f(x)=f(x—x)—1=f(x—x)+f(—)—1=f[(x21211121112121221—x1)-21〉0,••・f(x)是单调递增函数.19•定义在R+上的函数f(x)满足：①对任意实数m,f(xm)=mf(x);②f(2)=1.求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立；证明f(x)是R+上的单调增函数；若f(x)+f(x-3)W2，求x的取值范围.解：(1)令x=2m,y=2n,其中m,n为实数，则f(xy)=f(2m+Q=(m+n)f(2)=m+n.又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)⑵证明设)0,即f(3)>f(0)，又f(x)在只上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(l)f(x)是奇函数.f(k・3x)V-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),k•3xV_3x+9x+2,32x-(1+k)•3x+2>0对任意xWR成立.分离系数由k•3xV-3x+9x+2得k<3x+—1,而u=3x+—1>2、.：2—1,3x3x要使对xeR不等式k<3x+——1•恒成立，只需k〈2迈—13x上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b都满足f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；解：(1)、令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=0.(2)令a=b=-1,得f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故f(-x)=f[(-1)(x)]=-f(x)+xf(-1)=-f(x),故f(x)为奇函数.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x>0时f(x)V0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；⑵证明f(x)为减函数；解：(1)略(2)设任意X］,x2^R且x］Vx2，贝yx2-x1>0,.°.f(x2-x］)V0,而f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)〈0；.：f(x1)>f(x2),即f(x)在(-a,+◎上是减函数f(a)+f(b)已知f(x)是定义在［—1,1］上的奇函数，且f(1)=1,若a,bw［—1,1］,a+bM0时，有>0.a+b(1)判断函数f(x)在［—1,1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；11(2)解不等式：f(x+)Vf()；2x—1.解：(1)设任意X］,X2W［—1,1］，且X］〈X2.由于f(x)是定义在［—1,1］上的奇函数，.f(x)—f(x)=f(x)+f(—x).因为X0,Vx+(—x)=x—X>02i2121x+(—x)211+21—11X—1.•.f(x2)+f(—X］)〉0,即f(X2)〉f(X］),所以函数f(x)在［—1,1］上是增函数.<1，解得一1〈X〈0,即为所求.<111(2)由不等式f(x+)Vf()得—1<一x1X+>22x—1