7-4-2 排列之捆绑法.教师版
教学目标
1.使学生正确理解排列的意义;
2.了解排列、排列数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列;
3.掌握排列的计算公式;
4.会分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;
通过本讲的学习,对排列的一些计数问题进行归纳总结,并掌握一些排列技巧,如捆绑法等.
知识要点
一、排列问题
在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就是排列问题.在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.
一般地,从
...
教学目标
1.使学生正确理解排列的意义;
2.了解排列、排列数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列;
3.掌握排列的计算公式;
4.会分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;
通过本讲的学习,对排列的一些计数问题进行归纳
,并掌握一些排列技巧,如捆绑法等.
知识要点
一、排列问题
在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就是排列问题.在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.
一般地,从
个不同的元素中取出
(
)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从
个不同元素中取出
个元素的一个排列.
根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也相同.如果两个排列中,元素不完全相同,它们是不同的排列;如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.
排列的基本问题是计算排列的总个数.
从
个不同的元素中取出
(
)个元素的所有排列的个数,叫做从
个不同的元素的排列中取出
个元素的排列数,我们把它记做
.
根据排列的定义,做一个
元素的排列由
个步骤完成:
步骤
:从
个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有
种
;
步骤
:从剩下的(
)个元素中任取一个元素排在第二位,有(
)种方法;
……
步骤
:从剩下的
个元素中任取一个元素排在第
个位置,有
(种)方法;
由乘法原理,从
个不同元素中取出
个元素的排列数是
,即
,这里,
,且等号右边从
开始,后面每个因数比前一个因数小
,共有
个因数相乘.
二、排列数
一般地,对于
的情况,排列数公式变为
.
示从
个不同元素中取
个元素排成一列所构成排列的排列数.这种
个排列全部取出的排列,叫做
个不同元素的全排列.式子右边是从
开始,后面每一个因数比前一个因数小
,一直乘到
的乘积,记为
,读做
的阶乘,则
还可以写为:
,其中
.
例题精讲
在排列问题中,有时候会要求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的方法数量,可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算.
【例 1】 4个男生2个女生6人站成一排合影留念,有多少种排法?如果要求2个女生紧挨着排在正中间有多少种不同的排法?
【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 4男2女6人站成一排相当于6个人站成一排的方法,可以分为六步来进行,第一步,确定第一个位置的人,有6种选择;第二步,确定第二个位置的人,有5种选择;第三步,排列第三个位置的人,有4种选择,依此类推,第六步,最后一个位置只有一种选择.根据乘法原理,一共有
种排法.
⑵ 根据题意分为两步来排列.第一步,先排4个男生,一共有
种不同的排法;第二步,将2个女生安排完次序后再插到中间一共有2种方法.根据乘法原理,一共有
种排法.
【答案】⑴
⑵
【巩固】 4男2女6个人站成一排合影留念,要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法?
【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 分为三步:
第一步:4个男得先排,一共有
种不同的排法;
第二步:2个女的排次序一共有2种方法;
第三步:将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间,一共有5个位置可插.
根据乘法原理,一共有
种排法.
【答案】
【例 2】 将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列,其中学生B与C必须相邻.请问共有多少种不同的排列方法?
【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】2007年,台湾,第十一届,小学数学世界邀请赛
【解析】 (法
)七人排成一列,其中
要与
相邻,分两种情况进行考虑.
若
站在两端,
有两种选择,
只有一种选择,另五人的排列共有
种,所以这种情况有
种不同的站法.若
站在中间,
有五种选择,
无论在中间何处,
都有两种选择.另五人的排列共有
种,所以这种情况共有
种不同的站法.
所以共有
种不同的站法.
(法
)由于
与
必须相邻,可以把
与
当作一个整体来考虑,这样相当于
个元素的全排列,另外注意
、
内部有
种不同的站法,
所以共有
种不同的站法.
【答案】
【巩固】6名小朋友
站成一排,若
两人必须相邻,一共有多少种不同的站法?若
两人不能相邻,一共有多少种不同的站法?
【考点】排列之捆绑法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 若A、B两人必须站在一起,那么可以用“捆绑”的思想考虑,甲和乙两个人占据一个位置,但在这个位置上,可以甲在左乙在右,也可以甲在右乙在左.因此站法总数为
=2×120=240(种)
A、B两个人不能相邻与A、B两个人必须相邻是互补的事件,因为不加任何条件的站法总数为
=720(种),所以A、B两个人不能相邻的站法总数为720-240=480(种).
【答案】
【例 3】 某小组有12个同学,其中男少先队员有3人,女少先队员有
人,全组同学站成一排,要求女少先队员都排一起,而男少先队员不排在一起,这样的排法有多少种?
【考点】排列之捆绑法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 把
个女少先队员看成一个整体,将这个整体与不是少先队员的
名同学一块儿进行排列,有
(种)排法.然后在七个空档中排列
个男少先队员,有
(种)排法,最后
个女少先队员内部进行排列,有
(种)排法.由乘法原理,这样的排法一共有
(种).
【答案】
【例 4】 学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生.某次比赛后他们站成一排照相,请问:
(1)如果要求男生不能相邻,一共有多少不同的站法?
(2)如果要求女生都站在一起,一共有多少种不同的站法?
【考点】排列之捆绑法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 (1)要求男生不能相邻,则可以先排女生,然后把男生插进女生之间的空位里.因为有3名女生,考虑到两端也可以放人,所以一共有四个空位.则站法总数为:
(种)
(2)根据题意,采用捆绑法,将所有女生看成一个整体,则站法总数为:
(种).
【答案】(1)
(2)
【例 5】 书架上有4本不同的漫画书,5本不同的童话书,3本不同的故事书,全部竖起排成一排,如果同类型的书不要分开,一共有多少种排法?如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法?
【考点】排列之捆绑法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴每种书内部任意排序,分别有
,
,
种排法,然后再排三种类型的顺序,有
种排法,整个过程分4步完成.
种,一共有103680种不同排法.
⑵方法一:首先将漫画书和童话书全排列,分别有
、
种排法,然后将漫画书和童话书捆绑看成一摞,再和3本故事书一起全排列,一共有
种排法,所以一共有
种排法.
方法二:首先将三种书都全排列,分别有24、120、6种排法,然后将排好了顺序的漫画书和童话书,整摞得先后插到故事书中,插漫画书时有4个地方可以插,插童话书时就有5个地方可插,所以一共有
种排法.
【答案】⑴103680 ⑵
【例 6】 四年级三班举行六一儿童节联欢活动.整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成.请问:如果要求同类型的节目连续演出,那么共有多少种不同的出场顺序?
【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 要求同类型的节目连续演出,则可以应用“捆绑法”.先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全排列, 再分别在各类节目内部排列具体节目的次序.因此出场顺序总数为:
=144(种).
【答案】144
【例 7】 停车站划出一排
个停车位置,今有
辆不同的车需要停放,若要求剩余的
个空车位连在一起,一共有多少种不同的停车
?
【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 把
个空车位看成一个整体,与
辆车一块进行排列,这样相当于
个元素的全排列,所以共有
.
【答案】
【例 8】 a,b,c,d,e五个人排成一排,a与b不相邻,共有多少种不同的排法?
【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 解法一:插空法,先排
,
,
,有
种排法.
在
,
,
三个人之间有2个空,再加上两端,共有4个空,
,
排在这4个空的位置上,
与
就不相邻,有
种排法.根据分步计数乘法原理,不同的排法共有
(种).
解法二:排除法,把
,
当作一个人和其他三个人在一起排列,再考虑
与
本身的顺序,有
种排法.总的排法为
.总的排法减去
与
相邻的排法即为
与
不相邻的排法,应为
(种).
【答案】
【巩固】 8人围圆桌聚餐,甲、乙两人必须相邻,而乙、丙两人不得相邻,有几种坐法?
【考点】排列之捆绑法 【难度】3星 【题型】解答
【解析】
人的环状排列与线状排列的不同之处在于:
、
、
、…、
在线状排列里是
个不同的排列,而在环状排列中是相同的排列.所以,
个不同的元素的环状排列数为
.
甲、乙两人必须相邻,可把他们看作是1人(当然,他们之间还有顺序),总排列数为
.从中扣除甲、乙相邻且乙、丙也相邻(注意,这和甲、乙、丙三人相邻是不同的.如甲在乙、丙之间合于后者,但不合于前者)的情况
种.所以,符合题意的排法有
(种).
【答案】
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