山大工程制图期末测试题

山大工程制图期末测试题 答案:本科线性代数测试题 答案:本科线性代数测试题(一) 一、 填空题 解把行列式中第二列 a)，第三列，，第列 1a2a)加n 至第一列，可把行列式化为上三角行列式，从而得其值，即 n a1 0, D,, n 故应填a1 , i 2.已知，其中 ，则 解由，其中 可逆 且 ，则 3.设A为3阶阵，且，则 _____. 第 1 页 共 15 页 1 2013-04-13 答案:本科线性代数测试题 12 解2A 4 3 ,4AA(A) 2 (A)3A 14 3 所以应填 12 11 ，16，,，2. 4，4 42 4.设A是矩阵，且 A的秩，而 0，则 解因为，所以 二、选择题 a11.00b4 0a2b30 0b2a30 b100a4 3b4 列式，然后计算 . 解 首先根据行列式的性质a1 D, 00b4 b100 0a2b3 0b2a30a1b400 b1 把行列式化为块对角行0 00b2a3 a1b4 b1a4 a4000 a2b3 b2a3 a40 故应选(D). 2.设A,B,C均为n阶方阵，且(A)3E (B)2E ，则 (D)0 222 解 因为 ，BC所以 22 2 2 2 2 故应选(A). 第 2 页 共 15 页 2 2013-04-13 答案:本科线性代数测试题 (D)，则设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且(A) 解(B)(C)利用拉普拉斯定理 n阶子式 由拉普拉斯定理 故应选(B). 1 4.设 1 11, 则f(x),0的根为 (A)0 解行加至第四行并按第一行展开得;第一行加至第二、三行，第一 1 故f(x),0的根为 5.已知A、B均为n阶方阵，满足 ，若，则解由不等式 根据，则，得 故应选(C). 三、计算、证明题 1 1.计算:1 1 第 3 页 共 15 页 3 2013-04-13 答案:本科线性代数测试题 解将各列加到第一列后，再提出第一列的公因子x，则 D, 2.设 ，求A8及A4 解 44 3.求下列矩阵的秩: 解 , ,, ,, , , 显然，当,3时有2阶子式不为0，所以当,3时，有3阶子式 不为0，故 4.设A,B为n阶方阵,且 (1)证明为可逆矩阵,其中E为n阶单位矩阵; (2)证明已知 求矩阵A. 证明(1)由得 即 这说明矩阵可逆，且 第 4 页 共 15 页 4 2013-04-13 答案:本科线性代数测试题 (2)由(1)知即从而 , T 是n维非零列向量 是的 T 5.设转置,证明:(1)A 2 ,其中E是n阶单位矩阵 T T (2)当时,A是不可逆矩阵. T T T 证明(1)A 2 T T T Tt TT A 2 T ，即 TTTT ，亦即 所以只有 T 因为是非零列向量，故(2)用反证法.由(1)知此时，A 2 T 假设当,1时，A为可逆的，等式两端同时左乘A A，得 A 2 A，从而故A是不可逆矩阵 . 这与 T 矛盾. 矩阵,B为矩阵,且试证证明 6.设A为 由题意知 AB为阶方阵，根据公式 A)，得: ，即AB为降秩阵，从而。 本科线性代数测试题(二) 一、填空题 1.向量与线性相关,则 分析也即 12 向量与线性相关的充要条件是, ，所以， , 故应填2，4. 2.设向量则线性 ___分析即 由于的第二、四、五个分量 组成的向量组是 3个单位向量， e3(0,0,1) 由于e1、2、e3线性无关，故线性无关. ,则 3.若n元齐次线性方程组有n个线性无关的解向量 第 5 页 共 15 页 5 2013-04-13 答案:本科线性代数测试题 分析 由已知方程组 AX有n个线性无关的解向量 ，，，，故矩阵 ，，，可逆，且有从而故应填 ，，， 4.设是非齐次线性方程组 的一组解向量,如果 也是该方程组的一个解,则 解由题意知 ，，， 若为的解，则应有 即从而 ,1 所以应填1. 二、选择题 1.设向量组 则有 线性相关则(II) 线性相关(B)(I)线性无关则(II)线性无关(C)(II)线性无关则(I)线性无关(D)(I)线性 无关的充分必要条解 非(A). 件是(II)线性无关 反例:令(I):,(1,0,0)，,(0,1,0)，,(1,1,0); (II):,(1,0,0,0)，,(0,1,0,0)，,(1,1,0,1)， a1,a2,a3线性相关，而 不难验证: ，，线性无关 非(C)，非(D). 反例:令(II):,(1,0,0,0)，,(1,1,0,1)，,(0,0,0,1)， (I):,(1,0,0)，,(1,1,0)，,(0,0,0); (I)线性相关. 仍无关”，所以应选 (B). 显然(II)线性无关， 由于“无关组增加分量 2.向量组作为列向量组成矩阵以下矩阵B 不能由其余向量线性表不 能由其余向量线性表 2200示示 经过初等行变换化为 则 不能由其余向量线性表不能由其余向量线性表 示示 第 6 页 共 15 页 6 2013-04-13 答案:本科线性代数测试题 分析 由矩阵B可知向量组 的一个极大无关组为，此时只有可 ;即 表示. 由其余向量线性表示;无论极大无关组为那种故应选(C). 若极大无关组为 ，只有可由其余向量线性表示 情况，均不可由其余向量线性 3.若是向量空间(A)V是一个3维向量空间线性无关 V的一组基,则下列结论中错的是 (C)向量都是3元向量; 也是V的一组基 解应选(C). 2 4.设为单位矩阵,则下列结论正确的是可逆 时可逆分析 应用排除法 A 可逆 时不可逆 (A),(B),(C)不正确。事实上当 2 时，则而 (D)正确. 2 不可逆;当时，但A亦不可逆。因而只有 (D)是正确的选项 2 也可直接判定.由于所以故 即不可逆. 时方程有非零解，因此故应选(D). 5.设A为矩阵,且A的行向量组线性无关(A)A的列向量组线性无关 — ,则 的增广矩阵的增广矩阵有唯一解 A的行向量组线性无关 — 的向量组线性无关 A的任意四个列向量构成 分析由题设知，故A的行向量组线性无关，且方程组 有无穷多个解.但A的列向量组不一定线性 无关。 无关，A的任意四个列向量构成 的向量组不一定都线性故应选(B). 三、计算、证明题 1.求解向量方程解即 其中是三维向量 ,, 12 由,,,，整理得 , 12 12 第 7 页 共 15 页 7 2013-04-13 答案:本科线性代数测试题 2 2.设是互不相同的数试讨论向量组 的线性相关性 1a2a2a2 2 解 记 A, 从矩阵A中选取前r行，r列构成的一个条件互不相同知 r阶子式Ar,Ar为r阶范德蒙行列式，由已 知 所以从而向量组线性无关. 3.已知向量判断向量 组与4维单位向量组是否等价. 解 一方面，由任何 4维向量均可由 4维单位向量 e1，e2，e3，e4线性表示知向量组 ，可由e1，e2，e3，e4线性表示. 另一方面，由 000 知线性无关，从而任一 维向量均可由 线性表示，从而 e1，e2，e3，e4可由线性表示. 4.设是齐次方程组的基础解系 : 的一个基础解系,判别下列向量组是不是 解(1) 表示矩阵为，其行列式为 110，行列式为 0，不是可逆矩阵，因此(1)这组解不构成 基础解系; (2)表示矩阵的(2)，因此(2)这组解构成的基础解系. 5.设 21t 1t0 t,且方程组的基础解系中含有二个 解向量, 求的通解 第 8 页 共 15 页 8 2013-04-13 答案:本科线性代数测试题 解 因为所以对A施行初等行变换化为阶 010 梯形矩阵2 21t 1t0 210 2 2 则必有此时与同解的方程组为 要使 取得基础解系，， 方程组的通解为 ，其中k1,k2为任意常数. 22 33 6.设线性方程组 22 3 3 方程组无解; (1)证明:若a1,a2,a3,a4两两不相等，则此线性其中 T (2)设，且已知是该方程组的两个解， T 写出此方程组的通解. 解(1)增广矩阵 a1a2a3a4 A的行列式a1 2222 a1 3333 a2a3a4 a2a3a3 由a1,a2,a3,a4两两不相等，知 从而矩阵 但系数矩阵 A的秩 故因此方程组无解。 (2)当时，方程组为 第 9 页 共 15 页 9 2013-04-13 答案:本科线性代数测试题 因为 3,即故从而方程组相容且对应 个解向量. 个解，故的导出方程组的基础解系应含有因为是原非齐次方程组的两 是对应齐次线性方程组的解;且，是导出方程组的基础解系. 于是原非齐次线性方程组的通解为 为任意常数 本科线性代数测试题(三) 一、填空题 是三阶矩阵 1.已知 的特征值，则其他 特征值 分析 从而由,0为矩阵A的特征值知，故 把代入矩阵A，通过计算得: 所以,,2 故应填1，2，2. 2.已知三阶矩阵 的特征值为 解A的特征值为，则矩阵为三阶单位阵是B的 特征值，于是 B的特征值为2，和5.若是A的特征值，则 和5. 第 10 页 共 15 页 10 故应填2， 2013-04-13 答案:本科线性代数测试题 分析显然矩阵 有三个不同的特征值为1 21 31 4， 故A与对角矩阵相似， 即存在可逆矩阵P,使从而有 由此可知limn 故应填 4.矩阵 对应的二次型是______. 解f(x222 第 11 页 共 15 页 11 2013-04-13 答案:本科线性代数测试题 2 2 2 的秩为____ 5.实二次型 2 2 2 分析经过非退化线性变换 可将f化为形为所以f的秩为3.故应填3. 二、选择题 1.设是非奇异矩阵(A) 43 (B) 34 (C) A的一个特征值，则矩阵12 (D) 14 (13 A)有一个特征值等于 2 4 ，故 解为 34 若为A的特征值，则，所以应选 (B). 13 A的对应特征值为 2 的特征值 都是n阶矩阵A的特征值，特征向量，当(A)(C) 解 且与分别是A对应于与的且而 的特征向量. ______时，也为A的特征向量 (B)(D) 且 当而时，为矩阵A的属于特征值 所以应选(D). 3.设A,B为n阶矩阵,且A与B相似,E为n阶单位阵,则 (B)A与B有相同的特征值和特征(C)A与B都相似于一个对角矩阵 向量 (D)对任意常数与相似 解 由定义A与B相似，即存在可逆矩阵 故存在可逆矩阵 P,使P (t 应选 (D). P,使两矩阵相似。 第 12 页 共 15 页 12 2013-04-13 答案:本科线性代数测试题 4.设 1110 0000 0000 则A与 (A)且相似(C)不合同但相似解 (B)合同但不相似(D)不合同且不相似 值为4,0,0,0. (A). 矩阵A为实对称矩阵，其特征 故A与B相似，且A与B能正交相似.所以应选 5.设n阶方阵A为正定矩阵,则下列结论不对的是(A)可逆 (B)A也是正定矩阵(D)A的所有元素全为正 解选项(D)错误，因为矩阵A正定矩阵的充要条件是A为对称阵，且特征值 均大于零，但并不要求所以应选(D). A的所有元素全为正 三、计算、证明题 1.设 (1)试求矩阵A的特征值; (2)利用(1)小题的结果,求矩阵的特征值,其中E为三阶单位矩阵 . 解 (1)因为 2 令，可求得矩阵 A的特征值为1，1，5. (2)由于A的特征值为1，1，，可知A的特征值为1,1， 因此，有 15 15 由此可见于是，矩阵 45. 的特征值为2,2, 第 13 页 共 15 页 13 2013-04-13 答案:本科线性代数测试题 2.已知是矩阵 试确定参数 a,b及特征向量 (2)问A能否相似于对角阵,说 3的一个特征向量 ; . 所对应的特征值 明理由. 解 (1)由 1 即解得 (2)由 知 .120 3 是A的三重特征值 秩 但 从而对应的线性无关特征向 . 2 2 2 量 只有一个，故A不能相似于对角阵 3.求一个正交变换化二次 型为标准形. 解 2 4 解得矩阵A的特征值为 0，求得特征向量 ， 时，解 时，解 故得正交变换 254 510 1，求得特征向量 2 ，其中 ，将二次型化为标准型 第 14 页 共 15 页 14 2013-04-13 答案:本科线性代数测试题 4.设二次型经正交变换化成 2 2 T T 2 2 2 其中和是3维列向 量,P是3阶正交矩阵,试求常数解 变换前后二次型矩阵分 二次型可以写成 T 别为 010 和 P T T AX 由于，P为正交矩阵，故因此 3 2 2 2 2 3 2 ,0知,，令,1知其解,,0为所求常数. 令 2 ,0 2 5.设，为实数，求对角阵 并求k为何值时， B为正定矩阵. ，使B与相似， 解 由 2 可得A的特征值为 ， 020 正交矩阵 T T T 2 记对角矩阵 因为A是实对称矩阵，故存在所以 于是 T P,使得 T DP 2 T T 2T 2 2 由此可得 ， 由上面结果立刻得到:这时B为正定矩阵。 当且时，B的全部特征值均为正数 第 15 页 共 15 页 15 2013-04-13