东华理工大学高等数学竞赛培训资料

东华理工大学高等数学竞赛培训资料 第一章 函数、极限与连续 本章包括函数及性质，极限概念与性质，求极限方法，连续函数的概念、性质及其应用。 一、求极限的一般方法。 1、利用极限的四则运算及复合运算法则，2、利用无穷小的运算法则，3、利用无穷小与无穷大的关系，4、利用两个重要极限，5、利用夹逼定理，6、利用单调有界准则及解方程，8、利用等价无穷小代换，9、利用函数的连续性，10、利用递推公式，11、利用合并或分项，因式分解，约分，变量代换，取对数等技巧，12、利用 xx++……+x12nlim()lim|()|||fxAfxA=?，13、利用，14、limlimxAA=?nxxxxnn00n利用洛比达法则，15、利用导数定义，16、利用微分中值定理与泰勒公式，17、利用定积分定义、定积分性质，18、利用收敛级数性质，19、利用函数极限与数列极 lim(),lim()lim()fxAxxxxfxA==罐=限的关系，即若，20、其他方法 nnn00ギ xxnn0 练习题 骣1a琪1x,,1,2,lim、设是一个正的实数，aaxxnx>=+=……，求存在01nnn+琪n2xn桫 并求其极限值。 1a、x>=-+?且求证:极限存在，20,[(1)](,,0),limxmxmnNax11nnn+m-1n mxn 并求极限值。 3(0,1),x(1),1,2,lim、设xxxnx?-=……，求证:极限存在，求其极限11nnnn+n ()求2limnxnn 1、设x==+=xx，，求存在，并求极限值 42,2n1,2lim)(11nn+nxn 骣xxxx5limcoscoscoscos琪、求 琪23nn2222桫 nn骣b-1琪6lim10,0、求其中+>>ab琪na桫 fxfx()()、设f(x)是三次多项式，且有试求== 7limlim1(0),axaxa24--xaxa24 )fx(的值lim?xa3-x3a a2n83,21(2).lim21、设试求(第届北京市经管类竞赛试题)==- aaan-11nnnn2aaa-121n n2!n9lim、求 10limarctan(lnsin)、求xxx- nnx+n 骣111琪11lim、求+++ 琪22222n琪1122(1)(1)+-+--+--nnnnn桫 骣琪ln(1)ln(2)ln()nnnn+++琪 12limln、求(自编)++-n琪n11n+1琪nn++琪2n桫 2xxxt2cos--etdtxsin()xtdtòò002、求13lim 、求14lim5x?0?x0x(tan)(11)-+-xxx 150,ln(1),1lim、设且()求证:存在，并求极限。aaaa>=+11nnn+n nna(2)-n():求的值(2limlimna3):求的值nnnlnn 3316lim1-x0,、若求的值--=+axbab ()x 2n,18.limsin4,ni,,nk,kn 17limsin、求的值å5nn=i1 nn 19()sin|f(x)||sinx|,1、设满足试证明:fxakxka=, 邋kk==1k1k 1xxnx2x骣e+ee++琪 20lim、求极限I=琪?x0n桫 1、设试问，取何值时，将使=--abf(x)与21()1cos(1cos),fx xba在时成为等价无穷小量。? xx tan2xxn220(1cos)ln(1)、设时，与是同阶无穷小，又xeexxx?-+ 2mmx是比高阶无穷小，而是比的高阶的无穷小，xxxxesinsin(1)- 2010且是正整数，则(注:称为mnxpm)___(mod4).[y(mod),+汉xy,15mod4)]是同余的，就比如((协会试题)º lnlnsin()xaaxax---+23()limlim.a0).、设(fa=+>3xaxaxax--(a) 52求方程的解fa()a=6 23nnxxxn+++技+-x1 、24lim、25limå333?nx1x-11i=++技+12i 222222+++技 26lim(、)技n222 n2351721+2228lim()、技 29lim(sin()、pnn+n2nn24162 pn30lim[sin(21)],0.、求其中(协会试题)np+ p n n31、设其中和都是(123)236,,,t++=+++qrstqrsnnnnnnnn rstnnn整数，且求的值(协会试题)n=1,2,3lim,lim,lim技nnnqqqnnn 32.RtACABD,如图:在中，是直角，，在上取点使DBCBAC行=q |AC||AD|1,EBCCDE,EBCAB==?点在上，满足在点作的垂线交于q 点求(这里，示线段的长度)(协会试题)F,lim||.|PQ||PQ|EFq?0 22骣2527xx++4琪 33limarctanarctan89、求(年景福竞赛)-x22琪xxx++12桫 111、设求的值aaanaaa==+=34,(2,3),lim 1112nnn-n222 y3335y()30(0)lim、设函数由方程确定，求=+-=>=yxxyaxyakx? x 和(的值(limy-kx)01年哈工大竞赛试题)x+ sin6()6+f()xxfxx+ 36lim0,lim、若求的值(北京市竞赛试题)=32xx00xx fx()ln(1)+fx()sinx 37lim2011,lim、设求的值=x2xx00ax-1 212n-x++axbx38lim(),,lim()lim()、设f(x)=nNabfxfxÎ求的值，使与都存在2nnxx1-1 x+1 4ìxax++bï,1,2xx构ï39()x1,、设在处连续，求fxab== (1)(2)xx-+íï21x=ïî tan(sin)sin(tan)xx- 40、求的值(1979年原苏联竞赛试题)tansinxx- a-1轾tan(tan)sin(sin)tansinxxbxx--)(犏41lim0,0,,bab、设且求(苏联竞赛)= a犏x?0x犏臌 xxsinsin11ee---(()) 42、求的值(原苏联lim78年竞赛试题)4+?x0sin3x 43x)x=12lim()0,lim'()998、设(在领域内可导，，求ffxfx==xx1212 x12轾。 tfududt()蝌犏12t臌lim(北京竞赛试题)3?x12(12)-x 12x1+x()-++abxcx)(44lim0,,,,、设求的值(= dabcd07年南京考研试题) 3x?0x 245()+)()、设函数在区间(fxfx0，)上连续，对任意正数?x,有f(x 且求ffx(3)5,().= xnx+-(21)nn-146,,n1,2,),lim、设(求xaxbxx====011nn+n 2n 471,,,0,、设且且满足有xyzxyz++=>111111 2ìx2=+xyznnnn+1ï ï2yyxzxyz=+++2,lim(34)求存在，并求极限(自编)ínnnnnnn+1nï2zzxy=+2ïnnnn+1î 趣味思考题: (1)!(2)!(2)!nnn+? 2 48、求极限的值(自编试题)limn+1nn1!2!(1)!!鬃nn- )( 111++++1nnln2ln3ln 49lim、求的值(自编试题)n()n 禳骣骣轾轾68nn镲22琪琪50limtan4sin4,x、求其中表示不大于的最大整数(自编)ppnnx+++犏犏睚[]琪琪n犏犏1111镲臌臌桫桫铪 ab-nanb++()!()!nanb+-+-c51,,,lim、设是正整数，且abcdcd,?求极限的值(自编试题)ncd-ncnd++n)!()!(+-+-cndc 第二章 一元函数微分学 本章内容包括一元函数的导数，微分的概念与计算，微分中值定理，泰勒公式及其应用，如求未定式的极限，研究函数的增减性、凹凸性、极值、方程的根、证明不等式等等。 练习题 52()g()()sin(),'()、设函数在处连续，求fxxaxfxxaga==- 2-xì1e-ïx0?d1ï 53(),()0[()]|gxfxxfgx、设且在处可导，求==í30x=xdxïï00x=î 2arctanx-t54y、已知两曲线=f(x)与y=edt在点(0，0)处切线相同，写出此切线方程， ò0 2并求极限lim()nf nn 、设f(0)=0,则f()在点x=0可导的充要条件为()(数一考研试题)55x 11-h AfBfe--存在存在:lim(1cosh):lim(1)200hhhh 11CfhDfhfh--存在存在:lim(sinh):lim[(2)()]200hhhh 3356()(43)||()、设，的不可导点的个数为fxxxxxfx=-+-_____(改编) 1fx()、设函数f(x)连续，且g(x)=且求=57(),lim,'()fxtdtAgxò0x?0 x 并讨论的连续性。(94年考研试题)gx'() ìgxx()cos-x?0ï58()()、设其中具有二阶连续导函数，fxgx=íxïax=0î 且g(0)1,= ():确定的值，使1af(x)在x=0处连续 (2):求讨论在处的连续性。fxfxx'()(3):'()0= xy59()y2sin7、设的是可微函数，求yyxexx=+-'(0),其中y=-ye 1ìxcos2v=+t1sinïu、已知y=其中是由所确定60(1),()+=eduttxíò1yvsin=ïî dyp令(t),求g()的值=gdx2 ì11- x0ïxïxe-1 61()0、讨论在处的连续性与可微性fxx==í1ïx=0ïî2 62()'(0),,、设函数连续，存在，并且对于任何的fxfxyRÎ fxfy()()1+fxyffx(),'(0),()+==若求(清华考研试题)14()()2-fxfy x63'()、若，fxke=k为常数，求f(x)的反函数的二阶导数 x 64(),()(()),2,3,'()、设f===，求f(研究生入学考试)xfxffxnx111nnn-21+x n2482 65()(1)(1)(1)(1),'(1)、设求的值fxxxxxf=++++ x65()(1)(2)(2010),()(1)arcsin、设且fxxxxxgxxx=+++=+- x+1 则的值为多少。fg'(1)'(0)+ 11x-66()2()3()()()1,、若且函数满足fxfxgxgxgx+=+=+xx 1记求(自编，协会试题)FfxgxF(x)'()'(),()=+2 fx() 、设在上有证明? 67"()0,lim1,()Rfxfxxx?0x 4(2012)68()tan,(0).、设求fxxxf= 1-x()n 69()arctan,(0)、设求fxf=1+x 3(2008)70.()arcsin,(0).08设求(年浙江竞赛)fxxxf= 201222xxxxln(1)sin++71()(1)(2)(2010)(2011)、设函数fxxxxx=+++++2211cos++xx (2010)求的值(东华杯竞赛改编试题)f(0) 3272320,1、证明:方程4xabxcxabc++=++在()内至少有一个根。(协会试题) 1、设则公式fxxxxfxxfxfxxx=<<+D+D-=+DDq73(),0,()()'()00000x 中的求极限(培训试题)qq,limD x0 cccn1274,,,c++0、设是满足条件的实数，(协会试题)ccc++=010n 231n+ 2n证明:在到之间，方程至少有一个实数根010ccxcxcx++++=012n nn-122aa4nn-1、若有数组满足+++++=75{,,,}0aaaaaa01012n +31nn n2则方程至少有一个零点。(培训辅导试题)++++=axaxaxalnlnln0n210 76(),()[,],))()0、设都在闭区间上连续，在开区间(可导，若fxgxababafbf(== 则存在(，使得xxxx?=abfgf,)'()'()()0 77()'(0)0,0,1,、设在fxf[0,1]上二次可导，且则存在()使得= x 2ff'()(1)"()0.xxx--=(东华杯非数竞赛试题) 780,1、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导且f(1)=0,则存在()xÎ -1使得()f'()1-xxx=f().(东华杯数学专业竞赛试题) 79()、设函数在fx[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)=0 证明:(1):存在(xxxxÎaf',b),使得f()+()=0 (2):存在(hhhhÎa,b),使f()+f'()=0 80()b、设在fxaaaa[,b]连续，在(,b)可导，(>>0)证明:存在，(xhÎ,b)， ab+使得ff'()'().xh=2h 81(),](()()1,、设在fxabafafb[上连续，在(,b)可导，且则== hx-xhhh存在，使得:?=(,)e[()'()]1.abff 82(),)、设在fxaabcac[,c]上二次可导，<< ,则存在(x fafbfc()()()1使得:(培训试题)++=f"()x()()()()()()2abacbcbacacb------ 83()0,1](0)1,(1)0,'(0)0,、若函数在fxfff[上三阶可导，且(浙江试题)=-== 2 xx(1)-2证明:至少存在一点()，使得xx?-++ 0,1()1"'(),((0,1))fxxfx6 x84()(),0、设函数在fxfx[0，+)ィ上可导，且0?证明存在，x21+x 21-x使得f'()x=22(1)+x 85()、设在fxaaaa[0,]上可导(>0),且f(0)=1,f()=0,证明:在(0，)内必存在 1x,'()'()10<=xfxfx使得(东华理工年选拔试题)12122 a 86k,,,、设f(x)在区间[0，1]上可微，f(0)=0,f(1)=1,kkn为个正数(一重要结论)12n nnki=证明:在区间内存在一组互不相等的数使得[0,1],,,,xxxk邋12nifx'()==i11ii 87()aa、设在fx[a,b]上连续，在(,b)内可微，0<<<2 114p 961,(0)、求证:(北京市竞赛试题)?+< x222sin2xxp p 97tansin)sin(tan)x(0,)、比较(与的大小，(北京市竞赛)xxÎ2 骣1111nn琪、设为自然数，求证:ne+<<++981+(1)(1)(1) 琪+nnn2n12桫 990,0(1,2,,),、设求证:=== x()ft(x,f(x))处切线在x轴上截距，求(北京市竞赛试题)limx?0tfx() 108()、设在fx[-1,1]上二次可导，若有f(-1)=f(0)=0,f(1)=1,则 $ xx(-1,1),使得f"()=1. 109()|f、设在fx[0,1]上二次可导，若有(x)|A,|f"(x)|B,x[0,1], B则|'()|2fxA?2 110()(0)(1),|"x)|,(01)、设在fxfffMx[0,1]上二次可导，且有(=, M则|'()|(01)fxx, 2 111()(0)(1)0,min{()}1、设在fxfffx[0,1]上二次可导，且有若===-[0,1] 则max{"()}8fx?[0,1] ()k112()sup{|()|:}(0,1,,;2)、设在上次可导，且有fxRmMfxxRkmm=?+? k -kkkmk()-1mm2求证:MMMkm?-2(1,2,,1)k0m xxsin()sin()xa-113.lim求极限 xxxa?xaaa- 114x)-x)0)、设(在fn(xddd，内是阶连续可微函数，+>(此处，00 kn)()( 当时，有但是(当时有knfxf=-2,3,,(1)()=0,x)0,0|h|构x 2p121(x)()(0),、设是在，上的一个原函数，FfxI= F(1)=若有4 arctanxfxFfx()(x),()=求 xx(1)+ dx2122()()、设是由方程所确定的隐函数，试求yyxyxyx=-= òxy-3 2x2123(1)ln,(())ln,x)、设又求(fxfxxdx-==ff ò2x-2 xxe124(x)x,、设为Fff(x)的一个原函数，且当x0,?时F()(x)=若2 2(1)+x (0)1(x)0,()FFfx=>，求 x12、设连续，且若125()(2)arctan,(1)1,fxtfxtdtxf-==ò02 2求fxdx()ò1 31n-x-e1xdx、求dx 、求126127òòx22n+e+1(1)x 3arctanxxxxcossin-xsin、求129dx、求 128edxòò222xx(1)+cosx dxx2 、求 130e(tan2sec)tan、求xxxdx+131òò(2)cos(5+x)sin+x 2x1sin+xx133、求dx、求 132edxòò2(sincos)xxx+1cos+x 1dx 、求 135dx、求134òò31+x()()xabx-- 1x+1dxx求((浙江竞赛)-edx、求 1361371+x)òò4x1+x 2cossinxx-、求138dxòxsin1-lnxcos(1cos)xxe+ 、求139dx ò2(ln)xx- 2x+2x1(31)ln++++xxx 、求(东华杯竞赛)140dxòxxxxxx+++ln(ln) pex22141esin、计算dx 142sin(ln)、计算xdxòò01 ppsincosxxdx2 、求、求144143dxòò2222200++2tanxaxbxcossin p2pdx(cos)x32 、求、求(陕西复赛)145dx146òòp02011p-xx(2)1+tanx6)( 211ln(1)+x2xcos+xx 、求 、148dx147dxòò20-121+x11+-x 骣1d1 、计算是正整数(北京竞赛)琪149cosln,ndx-2npò琪edxx桫 2?+pxp+cosx、求150dx 、求151dxòò4200+1xxx-+p2004 12152x||,、计算是任意常数xkdxk- ò0 1cos[arccos]cos[arccos]nxmx× 、求其中是非负整数(浙江文科类竞赛)153,,dxmnò-121-x 3p+?dx2155arcsin(cos)、求xdx、求 154òò2201100+(1+x)(1)x p4+ln(9)-x4sinx4 、、求156dx157dxòòpx-2-+1eln(9)ln(3)-++xx4 1p轾222 158xln(sin)、求xdx159xsinln(1)ln(1)、求xxxxdx+++-òò1犏0臌-2 ppsin(21)nx+22161sinln(sin)、xxdx、求(改编) 160dxòò00x pcosx2xsin2sin()x×p2、求162dx ò02x-p +?163、若shyxshy=1,×计算积分(哈工大竞赛)dx ò0 2p+?lnx164sin(sin)、计算xnxdx+ò 、165dx0ò220+2011x 2p骣+?xlnx2琪、、求 167dx 166dxòò琪22200+sinx(2011)x桫 3骣p?+arctanx 、求 琪168ln(1cos)、求+xdx169dxòò琪00x桫 2骣?+2xbxa++琪 、已知求的值17011,dxab-=+ò琪1xxa(2)+桫 p2p222 171()(cossin)2(sin)、设为连续函数，证明:fxfaxbxdxfabxdx+=+蝌p0-2 x172()'(2)、设fftfatdt(x)连续，F(x)=-ò0 2求证:FaFafaffa(2)2()()(0)(2)-=- p173()"()sin5,()2,(0)、已知且求fxfxxdxff+==p ò[]0 122174()()31().、已知函数满足方程fxfxxxfxdx=--ò0 求fx() 3fx()12 、设在可微，其反函数为且求fxxgxgtdtxfx>=-175()0(),()(8),()ò13 21n-轾xxtxtxt---()()ntn()犏 176()1,().88、设求(年清华竞赛试题)fxedtfx=++++ò0犏1!2!(1)!n-臌 xnnn-1177()(0)0,,'(0),(x)(),、设可导，且fxffnFtfxtdt===-ò0F()x求lim2n x?0x 11n、求n 178lim!)(nn 骣111琪 179lim、求+++琪2222nnnnn+++4164桫 n-1骣kkp、求琪180lim1+sin å琪2nnnk=1桫 骣111琪 181lim、求+++琪nnnnn++++13(21)桫 n骣111琪 、求+++182lim琪222nnnnn+++12桫 轾n111犏、求(东华杯) 183lim+++å222犏n=1inininii12++++++犏)))(((臌 轾骣nnnnnnn+++12犏 琪184limlnlnln、求+++琪2222n犏nnnnnnn+++14桫臌 ppp2nn185limsinsinsin、求(自编) n222nnn n242创鬃i1)( 、求(模拟试题)186limåin13212创i+=1i)( ppp2nn2sinsinsin222nnn 187lim、求(自编)nn+2011 ppp2n222cotcotcot+++212121nnn+++ 188lim、求(自编)2nn x33189、设函数是连续可微，且满足fxfxftftdt()()0,[('())()1]>--ò0 3f()11111x+2567n=->+++fxxxxx()24，求证:(校内赛)技++技255!6!7!!n 4812ppp1++++技5!9!13!190、设，则的值情况(东华杯)aa==)(48121ppp ++++技371115～～～～ A:a10,B:a10C:a3D10=>=p:为定值不是的常数的数 23ntttt191、)-+++技++技=lim(1)(()t23n-? t1++++1111tttt ABCD:0:1:ln2:ln3 2xxx-1e1(1)()+-++xee192、求dx òx-1xe(1)- 3694710xxxxxx193、已知，ux=++++1v技=++++技3!6!9!4!7!10! 258xxx333 wgxfuvwuvwuvw=+++技;()(,,)3设==++-x2!5!8! g(2011)计算的值2011 111222194、设为上的连续函数，且如果fxffxxdxfxdx==()R(1)1,(())()蝌005 12x+-fx(1())e求极限(东华杯非数竞赛)lim2?x0x 195a0,0(),b、设令>>?+++bkNababaab技+kknnn112231- 现在令求(东华杯数学专业竞赛)a1,1,().lim==+?bnnNbnnnn n196、()证明是正整数)在(，)上有唯一的正零点1()2,(0.fxxnxna=+-+ nn 2010 4019ann():求(东华杯竞赛)2lim(1).+2009nn 2x+2213xx+212 197、计算:(东华杯竞赛)xln()+xdxò1 32xxln221ee+-198、设则下列式子成立的是()T,=dxò32xxx0eee+-+1 9131511A:TlnB:Tln, C:Tln,D:Tln====4444 a2010199()1x)0、定义为(在处的幂级数展开式中的系数;Cxxa+= 11111求积分的值(。东华杯竞赛)C(1)()--+++ydy技+ò0yyy++++123y2010 pi2200sin,1,2,3,n.、设xxdxi==技òi0 n-1(1):x(3,4,证明:)==xn技nn-2 n ():求的值():证明数列是递减的。2nx3{x}xn1nn- 2():并求()4limnxnn 1、设函数fffx(x)满足(1)=1,且对x1,?有=，试证201'()22xfx+() pfx存在且严格小于lim()1+x+4 202()()(),、设在上是连续的正值函数，且设ftRftft=- ag()||(),,0,xxtftdtaxaa=--,>ò-a ()证明:是严格递增的。(,)求出1g'()xg(x)的最小值点 2(3):当g(x)的最小值等于时，求faaft()1()-- 2p2 203sin()0、证明:x>ò0 x+1tx204()sin(),e|()|2、设试证:fxedtfx= òx 2轾bbb222205(),()[,]()()()()、设在上连续，证明:fxgxabfxgxdxfxdxgxdx+?犏蝌 []aaa臌 206()(0)0,、设连续且单调递增，证明:fxf> 2 ff(0)(1)+111[]fxdxdx()?蝌00fxff()4(0)(1) 207()[,]'()[,]()()0、设在上可导，且在上可积，fxabfxabfafb== b1求证:|()||'()|fxfxdx?òa2 a1、设在fxaxfxdx[-上非负可积，且=208(),]()0,1ò-aa aa2求证:(xfdxfxdx?x)()11蝌--aa bbab+ 209()[,]()()、设在上单调递增且连续，证明:fxabxfxdxfxdx?蝌aa2 210()[0,1]、设在上连续可导，求证:对任意的fxx有 1|f(x)||()||'()|?fxfxdxò)(0 111211,()|()|max|()|,|()|设函数在fxfxdxfxdxfxdx[0,1]上连续可导，求证:?蝌 {}000 212()[,]、设在上具有连续的导数，fxab bb1?求证:(原苏联竞赛)max|()|()|'()|fxfxdxfxdx蝌aa(,axb)-ba 213()a()()0,'()1,'()0、设在【fxfafbfafb,b]上有二阶可导的函数，且==== b42求证:fx'()?ò)(a ba- babfafb++1()() 、设证214"()0,x[,],()()fxabffxdx>危 òa22ba- 2bb()ba-(1)22 、设证明:215[,],()0,()['()]fCabfafxdxfxdx? 蝌aa2 1k216()x()0,(1,2,,)、设是次多项式，且有pxnpxdxkn==ò0 21122证明:(征解试题)pxdxnpxdxAMM()(1)()=+蝌00() 11cossinxx 、求证:217dxdx>蝌002211--xx n骣+?sinx、求(自创)琪 218dxò琪0x桫 ì00,1,2,,1kn=-bïk、设在上连续，且219()[,]()fxabxfxdx=íòa2011kn=ïî n20112(1)n?证:在上至少存在一点使得[,],|()|abxfx?00+1n ()ba- 12112轾2220:[0,1],()0,'()12()、设是连续的可微函数，若求证:fRfxdxfxdxfxdx? 蝌 []犏000臌 221,:[0,)[0,)、若存在正整数使得连续函数满足af+ギ+ 121a-2affxxxfx[()],[0,)()=?对任意求证:(自创)コò[]20aa+-63 222()t()、设非负函数在fxfx[0,1]上连续，且单调上升，Î[0,1]，y=与直线()及yftyfxyfxt====1(),()(0)x=t围成图形的面积为S与直线及围成1 图形的面积为()证明存在唯一的使得StS(t),1:(0,1),(t)(t),?S212 ():取何值时两部分面积之和取最小值,2t 2223y2y1、设是曲线与轴围成的平面图形，直线把分成DxxxxDD=-= 所成旋转体的体积。 骣p琪225cos0y、设曲线与轴，轴所围成图形的面积被曲线yxxx=,琪 2桫 y=sin,sin(0),axybxabab=>>三等分，求的值 x226()||,(1),()、设求曲线与轴所围成的封闭图形面积fxttdtxyfxx=?= ò-1 227()(0)、以yoz坐标的平面曲线段y=fzzhz,绕轴旋转所构成的旋转曲面 23 和坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为xoyms16(cmp),3c/)如果以( 2的速度把水注入容器内，水表面的面积以(增大，试求的方程。pcm/)y()sfx= 228、求证:内切于一给定正方形的所有椭圆中，以圆的周长最大。 22293、由曲线与直线在第一象限内所围成的图形yxyx== 绕该直线旋转所产生的几何体体积为A,求A的值 骣琪3p骣11cosx琪4 、计算(以下均是自编)230coscosdx琪òp琪琪骣11sinx22桫4琪sin()sinsinx琪琪琪sinx桫sinx桫 n-1+p(21)k1201032、求极限xxxdx231limsincosòå2011p2kn-n(21)k=0 1nnn---212212321+x135(23)(21)、求+++++++-+-xxxxnxnxdx ò(())0 2p22 233(x)sin,()、设当达到最小时，求的值FaxxxdxFxa=--pò()()0 1、求234p20102×cossin2012xxdxò 0 +ppsin201122coscos(2010)2cos(2011)cos(2012)xxxxx+---、求 235dxdx+蝌x-0p(12)sin1cos2+-xx m236,,(),、设三个内角依次成等差数列，设则D=ABCABCfxx使得对任何一个这样的三角形都恒成立的最大整数fafcfb()()2(),+ m (,,abc分别为BC,AC,AB边长), 1mmm0102200--n求极限limtan(5)1tan(5)tan(5)1tan(5)mmmmCmmmmn--++-+m()n 1+2n 237lim2011sin2012cos||、求nxxxdx+ò)(1n-n 1x1+xexln1+()n238(1)ln1,1,2,、设Ixxendxn=+++=òn[]{}1 n求limInn 2?1x、设是三个正数，且满足求证:= 239,,,abcabcdxp ò2222220+++16()()()xaxbxc 1+20122n 240cos(2012),lim、设求IxxdxnI=-ònn2012n 1p2241{},coscos,2,3,、数列满足且aaaxaxdxn==+=ppò()nnn-1104 求limann 1n242{}(1)cos(1,2,)、设数列满足等式aanxxdxn=+=pònn0 aa-lim +nn1n求极限limnaa-limnnn 222422432(1)8410、求曲线围成的封闭图形面积xyxyxx++++-= 244()(1,2,)(),、设函数序列满足fxnfxx==n1 111+nn1fxxxftdtf()2()n1,2,),lim(1)=-+=+(求ò+nnn10n22n n-1?12、求证:xxdx-< 2451òå()02011n0= 10051006dx2220111006+-x蝌06-+-xx、求积分246 121-xdxò0 +p220102012247cos2cos2cos2cos2、求xxxxdxò)(((())) -p p骣1cosx-3、求琪248arccosdxò琪02cosx 桫 eexexexee1edx+++xeee 249e、求+dxe蝌e0elnln(ln)ln{ln(ln)}xxxx5parctan(sin)xe2 250、求dxòparctan(sin)arctan(cos)xx+ee2 t2251()()14|()|,、设是:uxtsusds[0,1]R,若满足u对任意t[0,1]恒成立ò0 12设，求(的最大值fuuxuxdxf()()()u)=-ò()0 1n2n252lim11、求极限nxdx+- ò0()n g、设:fgf[0,1](0,+)是俩个可积的函数，且和253,f xftdt()11òft()0是递增的，证明:?dt2蝌x00 gt()gtdt()ò0 骣23333254x2211061、记A=+-+-+-+xxxdx琪ò0桫 骣1332323BxxxxxxAB=+-+-+-+-+4-3x162494-3x-16249dx,求琪ò-1桫 11122 、设若有求255[0,1],()(),()fCfxdxfxdxfx?+蝌003 第四章 常微分方程、矢量、空间解析几何 dy2256(1)tan|2、求方程的通解以及满足的特解=-=yxyx=0 dx dy2 2572、求方程的通解xyx-=-dx dyy2 258ln、求方程的通解+=yxdxx 3222232259y33)(33)0、求(的通解--+--+=xyxydxxyxyxydy 2260、求微分方程满足初值条件yyxyy"(3')'y'(1)0-==(1)=的特解 22骣dydy4琪261、求微分方程y-=y 琪2dxdx桫 x262"3'22、求微分方程的通解yyyxe-+= 2dy222632、求方程的通解xyx-= 2dx 222264,0)()、设为两个任意常数，为常数CCRCyCR>+-=.并设(x-1212 为某二阶方程的解，求解该二阶方程 x2265,、设为某二阶线性齐次微分方程的两个特解，yeyx==12 求解该微分方程。 1y 、求微分方程的通解yxe+=266'x 32骣dydy琪277(sin)0(0)0、求微分方程满足初始条件++==xyy琪2dxdx桫 2y'(0)=的特解(哈工大竞赛)3 sin2x 278"'0、验证函数是微分方程的一个解，并求微分方程的通解yyyy=++=1xx 2dydy2279x1)(1)、求微分方程(的通解--+=-xyx 2dxdx fxx()280()(),()()、设在上可导，且反函数存在为若fxRgxgtdtftdt+蝌00 xx=-+? xeefx1,-x<()求当时，求的表达式 p 281()()'()sin,()0,()、设具有二阶导数，且求fxfxfxxffx+-==p2 ìdy22x(21)1-+= xyxxï 282,limy()、设初值问题讨论xdxíx+ï(1)yy=1î 283()lim'()2011()2011、设在区间yxyxyx[0,+)?=上存在一阶导数，且)(x+ 求limy()xx+ 284y+limy"()'()()2011、设(x)在(0，)上二次可导，若有?+=xyxyx)(x+ 求(自创)limy()x x+ 285284、根据题，能否推广到一般情况,若可以，请给出证明; 若不可以，请给出反例。 286([0,1]),、设且在fCÎ(0,1)上二次可导，若有f(0)=f(1)=0, 1且若满足求fxfxfxxfxfx"()2'()()0(01),()0,()++?< ò0 x12287()()0,()()2(),()、设连续且并设求fxfxfxftdttftdtfx?+ 蝌00 xxxe轾288()1()()1,()、设连续，且当时:求fxxfxftdtfx>-+= ò2犏0臌2(1)+x 1289"'()0()()、若方程有两个特解yyqxyxyx-+=y和，12 x 且求及方程的通解yyqx=1,().12 290"'()"+q(x)y'+r(x)y=0y(),(),(),、设微分方程有解使得ypxyxyxyx+123 222222 yxyxyxxfxyxyxyx()()()1()'()'()'()++==++对所有实数成立，设)))(((123123 求常数使得是微分方程的解(普特南竞赛)ABfxyApxyBrx,()'()()+= 223291"2'(+2)tan、求微分方程的通解xyxyxyxx-+= 292{}3,1,(1)0、设数列满足条件:且aaaanna==--=nnn012- ? n求幂级数的和函数axånn0= 293(x,)、在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点处得曲率Py 等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1,1)处得切线与x轴平行 2941314、在时到时的什么时间，一个时钟的分钟恰好与时针重合, 295、微生物培养的增殖速率和它们现有的量及现有的营养物质的乘积成正比(比例系数为k) 营养物质减少的速率和微生物的现有量成正比(比例系数为，实验开始时，容器内有k)1xyg(微生物和营养物质，求微生物的量及营养物质随时间的变化规律，并求出何时g)()00 微生物停止增殖, 296、求下列微分方程的通解 3xy+-3123(1)'()(2)'22求yyxy==-+y 133 (3):'(4):'yxyyyxyx=++=2 2xyx'(5)(')(6):2'1xyxyy=+=+y-1 3dy222()(y-x)xy+=+71(1)dx p297,|b,),、设是三维空间中的两非零向量，且abab|=1,(=求极限3 ||||axba+-limx?0x 298,OPQOPOQ、以为圆心的单位圆上有相异两点，向量与 的夹角为，设为正常数，求极限qqp0,,ab)( 1lim|||||aOPbOQaOPbOQ+-+(北京竞赛试题)2()q?0q x9272-++-yzxyz299:,:,、已知直线L====LLL试求与1212 431292-- 的公垂线的方程 2223002484284-2=0、已知曲面x-+--+-+-yzyzzxxyxyz 与某一平面的交线的对称中心在坐标原点，求该平面方程 222301(2,0,0)(0,2,0)、试求过点和，且与锥面AByz--+=x 交成抛物线的平面方程. 302、试求顶点为原点，且三个坐标轴的正半轴都在其上的圆锥面方程 (02哈工大高数竞赛试题) 303:x;:11,:+1=z1、求经过三平行直线L==-==+=-yzLxyzLxy123 的圆柱面方程(首届全国大学数学竞赛试题) 2223044x561、求出过原点且和椭球面的交线为一个圆周++=yz 的所有平面(年全国大学生决赛试题)2011 ìx0++=yzxyzï 305、试求以:为准线，以直线为母线的柱面方面G==í333xyz++-=10123ïî xyzxyz--+++-341651 306、求两直线的最短距离LL:,:====12111241-- x213--+yz307(6,61):d、设，到直线的距离为ML-==11121- ì2x40-+-=yzdï2设，到直线的距离为求Nd(31,2),-í2xyz+-+=10dïî1 30850x40、试求经过两平面与的交线，且与平面xyzz++=-+= px-48120yz-+=之间的角为的平面方程4 ìx20++-=yzx11-+yzï 309::、求过直线L且与直线垂直的平面方程L==í12260xyz-++=142ïî 310[,,]2,)()c)、若求abcabbca=+?+(与(的内积 lll123 3114,(,,)5=,、设且，记mmmabcllalblcmmambmc==++=++123123123 nnn123 nnanbnclmn=++,,,计算的值(自编))(123 312、求与 ìììì x0111===-=yxx镲镲,,,4这条直线都相交的直线方程眄眄yzzzy+==-==-0111镲镲îîîî 第五章 多元函数微分学 骣44xyxy+琪313lim、求极限+22琪22(y?x,)(0,0)琪xy+xy+桫 ì1xyxysin,(,)(0,0)?ïï22314(,)、证明:偏导数处处存在fxy=xy+í ï0(,)(0,0)xy=ïî 偏导数在原点不连续，在原点可微。 ì0(,)(0,0)若xy=ïï2ab骣315:(,)、设函数定义如下:fRRfxy?í||||xy+琪sin,若(x,y)(0,0)?ï22琪xy+ï桫î 抖ff22其中均是正整数，求的值使得的所有一阶偏导在abababf+<25,,,, 抖xy2R存在且连续.(自编) 222222xyzxyz3161,1,、设计算++=++=222222abcabc+++201120112011 222222x()()()bcycazab---++的值 dxdydz 骣骣4(1)pqpq-琪琪31702=cossin、证明:存在:，使得qqp,+ 琪琪p22桫桫 222318(,)(,)1,(2):'(,)2、设在上可微，若有(fxyRfxxfxyxy1):==+y 求fxy(,) 2319(,)(1,1)1,'(1,1),'(1,1)、设在上可微，且有fxyRffafb===xy 又令以及FxfxxFfxFxFxfxFx()(,),(x)(,()),,()(,()),===-nn1211 求F'(1).n y()gy2x320(),()z(),、设可微，计算ftgtxf=+2 xy 22"2""''4xzxyzyzxzyzz++++-的值xxxyyyxy 2321(,)(,2),'(,2)、设有连续二阶偏导数，且有fxyfxxxfxxx==122 抖zz-=0,"(,2)"(,2)求和fxxfxx111222抖xy 22抖ff322(,)1,(x,)、设有连续二阶偏导数，若令fuvFy+==22抖uv 2222xyFF-抖fxyI[,],求=+222xy抖 222抖zzz 2323(,)6+0,、设在上满足方程试定的值zfxyRa=-=22抖抖xxyy 2?z使得在变换u=x-2y,v=x+aya(2)0?=下，化简为抖uv 22抖uu2222324(,)()、设是二次可微函数，若有uuxyuxyxy==++=+22抖xy 22(0),(,)xyuxy+ 试求 325()(1)0,'(1)1,、设在ftff[1，+)?=上有连续的二阶导数，且二元函数 22 抖zz2222zyfxyft=+++=+ (满足求在上的最大值x)()0,()[1,)22抖xy 326()0(1)0、设一元函数u=frrf当时有连续的二阶偏导数，且<,(0,0)(,)2 331(,,),(,),(,,),,,、设均可微zfxuvugxyvhxyufgh=== 抖zz求和抖xy 22332()()()、设可微，且方程确定的隐函数fuyfxyfxy=+++ 1y(),g(0)2,'(2),'(4)1,'(0)====gxffg若求的值2 x6321,y,z,222333、经过直线:且与椭球面:x2321相切L,,S，y，z, 212, 的切平面方程 22,3x，2,2,1yz334、曲线:上点(1,1,2)处得切线方程 LM,222，，,4,2，2,0xyzyz, 335、设f(u,v,w)，g(u,v,w),h(u,v,w)是可微函数，u,u(x,y,z)由方程组 ,u,u,ux,f(u,v,w),y,g(u,v,w),z,h(u,v,w)所确定，求,,,x,y,z 336、设平面上有一点P,一条直线L以及一条曲线C,若过L上任一点Q 作曲线C之切线总与直线PQ垂直，求证:C的轨迹为抛物线 2337f(x,y)D,Rl,l、设在区域上可微，给定两个方向:，即它们之间的夹角为12 22 ,,,,,f2,f,f,,,,,,,(0,,),,，，求证:,,,,,xsin,,l,l,,,,12 222222338(x,,),0,b、设X,yza，b，c,试求u,ax，y，cz，0000 222,201020122014, v,ax，by，cz，x，y，z在X处两梯度间的夹角，并求0lim,|X|,，,0 23339、求z(x,y),xy(6,x,y)的极值 340、求单位圆的内接最大三角形的面积。 341、设四边形为a,b,c,d,求此四边形面积的最大值 22x，yx，y,2 342、求证:,e(x,0,y,0)4 22xz2343、求椭球面，y，,1与平面2x，y，z,0相交椭圆的面积 32 6a，b，c，，23344、求证:abc,108 ,,6，， 222345、设z,z(x,y)是由x,6xy，10y,2yz,z，18,0确定的连续函数， 求z,z(x,y)的极值点和极值 222,,,346、在约束条件下x，y，z,1,xcos，ycos，zcos,0下，求222 xyzu,，，的最大值与最小值，其中a，b,c,0,,,,,,表示方向夹角222abc 222,,,z,z,z,,、已知函数有连续的二阶偏导数且347z,f(x,y),f'(x,y),0,,x22,,,x,y,x,y,, 2222,,,x,x,x,,又设是由确定的函数，求的值x,x(y,z)z,f(x,y),22,,,y,z,y,z,, ,2,,,348、设f(x,y)有二阶连续偏导数，u,f(rcos,rsin)d,,0 2222,,du,du, ,f(rcos,rsin)d,,f(rcos,rsin)d,,,,,,22,,00dr,rdr,r 21dudu且f"，f",,求r，的值11222rdrdr 22x,uv,,,,f,f,,,1,,349、设对任意的x和y，有，,4,用变量代换22,,,,,y,(u,v),x,y,,,,,2, 22,g,g,,,,22将f(x,y)变换成g(u,v),试求满足a,b,u，v,求a和b的值,,,,,u,v,,,, 350、设,ABC的外接圆半径为一定值，且，A,，B,，C所对的边长分别为a,b,c dadbdc求，，的值cosAcosBcosC 2,f(x,y),f(x,y),f(x,y)351、设函数f(x,y)满足:f(x,y), ,x,y,x,y 求证:f(x,y),,(x),(y) 352、设f(x),g(x)为连续的可微函数，且w,yf(xy)dx，xg(xy)dy(1)若存在u,使得du,w,求f,g (2):若f(x),,'(x),求u,使得du,w 22353、设f(x,y)是定义在x，y,1上且具有连续偏导数的函数，|f(x,y)|,1求证:在单位圆内存在点(x,y)使得 00 22,,,f(x,y),f(x,y),,0000,,，,16,,,,,x,y,,,, sinxsinysinz,354、设f(x,y,z)(0xyz),,,,,sinxsinysinxsinzsinysinz2，， 试问:x,y,z中哪一个的变动对函数f(x,y,z)的影响最大, 1,y23，，355、已知dx，ydx，ydx，ydxdx,,1.则x,f(y)的表达式为4,,,,,1,y ,,ff,,22,,356、设f(x,y)有一阶连续偏导数，rxy,若limxy1,，，,,,r,，, xy,,,, 求证:f(x,y)有最小值 ,F357、设F(x,y)有二阶连续偏导数，且,0,则对任意的常数C,F(x,y),C,y 的解y,f(x)是一条直线的充分必要条件是 22222,,,F,F,F,F,F,F,F,,,,,2，,0,,22,,,y,x,x,y,x,y,x,y,,,, 多元函数积分学 1142358、求I,dyx,ydx ,,y0 tt359、设f(x)为连续函数，F(t),dyf(x)dx,且f(2),2011,求F'(2) ,,1y 222360f(x)D,{(x,y)|x，y,R},、设为连续函数且恒不为零，求 2011f(x)，2013f(y)I,,,f(x)，f(y) D 32361、设D是由曲线y,x与x,,1,y,1所围成的有界闭区域，求(y，sin(xy))dxdy,,D 1xy 362、设f(x)为连续函数，试将逐次积分dxdyf(z)dz化为一个定积分形式,,,000 yxy， 363、设D,{(x,y)|0,y,1,x,0,x,1},计算ed,,,D 22,,,364I,rsin1,rcos2drd,D、计算其中在极坐标系统中表示为,,D 1,D,{(r,)|0,r,,0,,}.,,cos4, y(x，y)ln(1，)x365、计算I,dxdy,其中D,{(x,y)|0,x，y,1,x,0,y,0} ,,1,x,yD 3x22、计算积分Idxdy其中D为平面曲线xyxyyxyx366,,,1,,3,,,,323,,yxy ，D 所围成的有界闭区域 y,,(x，y)ln1，,,3x,, 367、L,dxdy,其中D:0,y,x,,x，y,1,,41,x,yD 2nn，22ij，，368、计算lim,这里[x]为取整函数 ,,2,,n,，,nn，，j,,11i 222222369、设D,{(x,y)|x，y,2,x,0,y,0},[1，x，y]表示不超过1，x，y 22的最大整数，计算重积分I,xy[1，x，y]dxdy,,D 11xy，，370、求I,dxxydy,, 00 1 371、设f,C[0,1]，若有等式f(x),1，af(y)(y,x)dy,求a的最大值,x 372、设D,{(x,y):0,x,1,0,y,1},f(x,y)在D上四次连续可微，若 4 ,f(x,y)f(x,y),0((x,y),,D),且有,144,求证:f(x,y)dxdy,122,,,x,yD x，,22,t,,373、设f(x),edt,计算I,1,f(x)dx ,,00, ，,，,，,，f(xy),, 374、若f(x)0,若对于f(x)1,求dxdy,,,000，xy ba1,1xx,,、计算,375Isinlndx ,,,0xlnx,, yax(ln，1)yy(1)376、设,([0,]),求, fCaIdxdy,,00(,)(,)axxy 222377、求z,x，2y和z,2,x所围成的体积 222xyz388、求椭球面，，,1所围成的体积222abc 222xyz并计算椭球面与圆锥面，,(z,0,a,b,c,0)围成的立体体积222abc 22222,，，,,389、设是曲面(xyz)axy(a0,且位于第一象限)所围立体 xyzdxdydz,求I22,,,，xy, 22222,,xyzxy,,390、求曲面，，,(a,b,c,h,0)围成的体积 2223,,abch,, xyz,,，，,,xyzyzxyzabc,,391、求，，,ln,x,0,z,0,，,0,，，,1xy abcbcabc,,，,,ab,, 所围成的体积(a,b,c,0) 222392、求密度为1的均匀圆柱x，y,2,z,,1对于直线x,y,z的转动惯量 222xyz393、求，，,1,x,0,y,0,z,0,的重心坐标222 abc p22 394、求x,2pz,y,2px,x,,z,0的重心坐标2 xyz 395、求，，,1,对三个坐标平面的转动惯量。(a,b,c,0)abc 2222 396、求lim{sin(x，y)dxdy，sin(x，y)dxdy}的值,,,,n,,22|x|,n,|y|,nx，y,2n, dxdy、求 39742,,x，y2y,x，1 12 398、求曲线y,ln(1,x)在(0,x,)的弧长2 2222399Lx，y，z,0x，y，z,a.、设是平面与球面之交圆求 I,(xy，xz，yz)ds,L 222yzyx2x，，,,，,Lxyz400、设是曲面1(,,0)与1之交线2222，ababab ,,xy2yz2zx,,I,，，ds求,,,2222Lab，，babaab,, 401、我们都知道椭圆周长没有精确公式，试证明下面这个结论 22xy:1e 在椭圆，,的离心率的值较小时，的长度有近似式LLS22ab 4a,eS,(a，b)，,32 :2222、计算I,，ydx，xydyOA为上半周:，y,axy,402(x)4,x(0),: OA 2403、设L是曲线y,2x,x上从(0,0)到(1,1)的线段，用第 2,,二型积分证明:I,y2x,x，x(1,x)ds,1,L 22,(x，y)22 404、计算I,e[cos(2xy)dx，sin(2xy)dy],其中L是x，y,1逆时针方向,L xdy,ydx222 405、求I,,其中L:x，xy，y,R逆时针a22,(x，y)L 406、设P(x,y),Q(x,y)是光滑弧段AB上的连续函数，AB的长度记为 22l,则Pdx，Qdy,lM(M,max{P，Q}):,xy,AB(,)AB ydx,xdy222407、设L:x，y,R,求lim的值 222,R,，,(x，xy，y)L 2222222408、计算I,ydx，zdy，xdz,其中L是曲面x，y，z,a与,L 22x，y,ax(a,0)在第一象限中的交线(从x,a看去，走向逆时针) 2222409、求I,(y,z)dx，(z,x)dy，(x,y)dz,其中L是球面x，y，z,a,L 与平面x，y，z,0的交线(从z轴正向看L取逆时针方向) 2222410、求曲面x，y，z,R的表面积 222222411、求曲面(x，y，z),x,y的表面面积 222222412、求球面x，y，z,a位于圆柱体x，y,ax内的部分曲面面积S 2222 413、求I,zdS,其中,:曲面x，z,2az被z,x，y所截出的部分曲面,,, 2222222222414、求I,xyz(xy，yz，xz)dS,,:x，y，z,a(x,y,z,0) ,,, 222222yzxyzx 、求IdS415,，，,,:，，,1444222,,abcabc, (cosx,sinx)siny 416、计算I,siny,edxdy,D:0,x,2,,0,y,,,,D 11222417、球面x，y，z,1上取三点:A(1,0,0),B(0,1,0),C(,0,)为顶点 22 22的球面三角形块,(AB,CA,BC为圆弧)，面密度,,x，z,求,的质量m 418、求半径为R,面密度为,的均匀球层面,对任意一点A的位势。 22xy2,419、设,为椭球面，，z,1的上半部分，点P(x,y,z),,,为,在点22 z,,P处得切平面，(x,y,z)为点0(0，0,0)到平面的距离，求I,dS,,,(x,y,z), 420、设,是顶点为(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)的三角形的下侧 求I,xdydz，ydxdz，zdxdy,,, 222ydzdzdxdxdyxyzd 、计算I421,，，,,:，，,1222,,xyzabc, 422、求,(,,)，，2(,,)，，(,,)，I,,,,,,fxyzxdydzfxyzydzdxfxyzzdxdy,, , ,:x-y，z,1(第四象限)的上侧 xdy,ydx222423、求I,,L:(x,1)，y,R(R,1)逆时针方向 22,L4x，y xx22 424、求I,(esiny,my)dx，(ecosy,m)dy,ABO是圆周x，y,ax的上半部分,:ABO 425、设f(x),g(x)有连续的导数，对平面上任意一条分段光滑的曲线L,积分 22I2xf(y)g(y)dxxg(y)2xy2xf(y)dy与路径无关，当f(0)-2,g(0)1，，，，,，，，,,,,L 时，求f(x),g(x) ,(2)设L是从点O(0,0)到点N(,)的分段光滑曲线，计算I,2 1426、已知曲线积分xdy,ydx,A(常数)，其中f(x)是可导函数，，2,Lf(x)，y 且f(1),1,L是绕原点(0,0)一周的任意正向闭曲线，求f(x)与A的值 2dydzdzdxdxdy222427、计算曲面积分I,，,,S:球面x，y，z,1的外侧 222,,xcosxcosyzcoszS 22428、设函数u(x,y),v(x,y)在闭区域D:x，y,1上有一阶连续偏导数 ,,,,,u,u,v,v,,,,有f(x,y),v(x,y)i，u(x,y)j,且g(x,y),,i，,j,且在D,,,,,x,y,x,y,,,, 的边界有u(x,y),1,v(x,y),y,求f,gd,,,D xdydz，ydzdx，zdxdy，429、计算曲面积分I,,其中S是3,,，222s2(x，y，z) 22z(x,2)(y,1)1-,，(z,0)的上侧 201120102012 2222,,ff22,x,y，,，,、设函数fxy在区域Dy上有二阶连续偏导数，且e430(,):x122,,xy ,,,,ff,,求x，ydxdy的值,,,,,,xy,,D 431f(x,y)0,x,1,0,y,1f(0,0),0、设是定义在区域上的二元函数， 2xtdtf(t,u)du ,,0x0,0lim且在()处可微，求极限4，xx0,,41,e 432、求I,(x,y，z)dydz，(y,z，x)dzdx，(z,x，y)dxdy,,为曲面,, , |x,y，z|，|y,z，x|，|z,x，y|,1的外侧 ye22,,433、求I,(xsinx，ycosx)dx，(ysinx,xcosx)dy,其中L:x，y,1(逆时针)22,x，yL ~,,,,434、If(y)cosxydx[f'(y)sinx]dy,其中点A(,2),B(3,4),而AmB,,,,，,,:AmB 是直线段AB下方的任意的简单光滑曲线弧，且它与AB围成的区域D的面积为2 ,其中f(x)是一阶连续的，求I的值 ,,435{(x,)|0x,0},、已知平面区域D,y,,,y,L为D的正向边界 siny,sinx,sinysinx 证:xedy,yedx,xedy,yedx,,LL 5siny,sinx2(2):证明:xedy,yedx,,,2L 22436D{(x,y)|xy1},lD、已知平面区域,，,为的边界正向一周，证明: y,xsinsin xeyedx2,I,,,22,4x，5y5l 32222437、设函数f(t)在[0,，,)上连续，,(t),{(x,y,z),R|x，y，z,t,z,0},S(t)是,(t)的表面，D(t)是,(t)在xoy平面的投影区域，L(t)是D(t)的边界曲线，已知当t,0 222222222222时，恒有f(x，y)x，yds，x，y，zdS,f(x，y)d，x，y，zdV，，,,,,,,,,,Lt()t)S(Dt()t),( 2若f(1),,求f(t)的表达式3 12 438、已知y'(x),arctan(x,1)及y(0),0,求y(x)dx,0 111,，，2439、求极限lim？？cos(x，x，？？，x)dxdx？？dx 12n12n,,,,,000,,n2n，， 440、求曲线AB的方程，使图形OABC绕x轴旋转所形成的旋转体的形心的 4的横坐标等于B点的横坐标的，且曲线AB过点(1,1)5 级数 ,,,111441，，、求级数的和 ,,,n(n，1)(n，2)n(n，2)(n，3)，，n，n，1n(n，1)n1n1n1,,, ,,，,2n,1n1442、求，， ,,,2242n(n，1)(2n，1)!!n!(n，n，1)n11nn1,,, 2,n，12443、判断级数(n，2)ln的敛散性 ,2nn1, , 444:判断级数cos(2011n)的敛散性 ,1n, n,，,,e111n445、三个级数(1):(2):(3):(3,)sin收敛是__ ,,,nnn3n3,23nlnn12nn1,,, ,p22，446、判断级数sin，,n，a(a,0,p,0)的敛散性 ,n1, ,1、判断级数(的敛散性4471-cos) ,nn,2 ,,a1naap449、若收敛，且,0,证明:当,,级数收敛 ,,nnpn2n11n,, ,,n450、设a,0,且a,,证明:a与2a同敛散(称为疑聚判别法) n,,nnn2n1n0,, abnnabaena451、设{},{}为满足e(1)的两个实数列，已知0,，,,nnnn ,, bna且收敛，求证:收敛(02浙江高数竞赛),,nan11n,,n ,1452、判断级数的敛散性 ,2nn(n!),1 3,,,n20 453、求级数x中x的系数,,,n1,,, ,n454、设幂级数ax的系数满足a2,naa(n1),n1,2,,,，,,？？,01nnn, n0, 求幂级数的和函数S(x)(2007浙江高数竞赛) ,,nan 455、设a正项发散级数,证明:收敛(s,a),,,nnk2sn1n11,,,kn n,anaSac456、设,0,,,证明:当,1时，级数收敛,,nnkcS,,k11nn ,an(2)当c,1时，且S,，,,(n,，,),证明:级数发散(2010年全国大学生数学竞赛),ncS,n1n ,,,457、若偶函数f(x)的二阶导数在x0的某邻域内连续，f(0)1,f"(0)2 , 1，，证明:级数f(),1绝对收敛,,,n，，n1, ,a，an，2nn4458、设a,tanxdx.试比较与p的大小(p,0) np,0n 2,,,,,,,aaannn,,,,459、设级数,收敛,且(a，b)b,0,证明:收敛 ,,,nnn,,,,bba，bn,1n1,1n,nnnn,,,, 、设aaa，a460,2,,2,2,,2,2，2,？？,2,2，2，？？，2123n , 讨论a的敛散性,nn1, ,461、设a,0,a,ln(1，a),讨论级数a的敛散性 ,1n1nn，n1, 2n,x,n1462、求(,1)的收敛域 ,n3,1n1, n,nx(，)、求级数的收敛域463 ,，nxnn0, 2,1n，n464、求级数x的和 ,n2!nn1, ,(2)!!n2n1，465、求级数x的和函数 ,(2，1)!!nn0, 2,,((n1)!)n2466、求级数(2x)的和函数 ,(2n)!n1, ,n,,，，467、求证级数sin,35是收敛的， ,,,,,n1, 4812,,,1，，，，？？5～9～13～ 468、求的值4812,,,1，，，，？？3～7～11～15～ 1,,469、设函数(x)是R上的连续的周期函数，周期为1，且(x)dx,0,函数,0 2,1,2f(x)在[0,1]上有连续的导数，设a,f(x)(nx)dx,证明:a,C,(C为正常数),,nn,06n1, 1111，，，？？，,23n470、求级数的和 ,(n，1)(n，2)n1, ,f(log2)xxxnn471、设f(x),1，2，？？，n,证明级数收敛 ,n2(nlog2)n,2n ,11n472、求级数(1，，？？，)x的收敛半径及和函数 ,2nn1, ijk，，,,,,(1) 、求的值473,,,i，j，kijk111,,, ,f(x)xn474、设f(x)e,且f(x)xf'(x),求的值,, ,01nn，n!n0, n2,a 475、求级数的和(|a|,1)n，1,21,an1, 3,,n,12n，1476ln，(ln,1)、求n ,,3n，12n,1n2n1,, n1 477、求lim,kn,,Ck,1n ,11n,478、求(,1)ln(1，) ,nn1, ,2479、求ln(1,) ,n(n，1)n1, 32,n，6n，11n，5480、求 ,(n，3)!n1, ,12a,a,a,481、设5,2.求的值 ,，1n1naa？an,112n ,1482、求arctan的值 ,2n，n，1n1, ,1483、求arctan的值(02年浙江省高数竞赛试题) ,2n21n, ,2484、求arctan的值(普特南数学竞赛培训试题) ,2nn1, ,1485、求arctan的值(美国数学月刊征解试题) ,2nn,1 ,8n486、求arctan的值 ,42n,2n，5n1, ,2n487、求arctan的值(加拿大crux问题) ,42，，nn2n1, ,1、设u,u,u,u，un,？？，求(斐数列的一性质)4881,,2,3arctan ,，,12n1nn1un,12n,1 、设uu且满足uuun4892,8,4,3,4,,,,,,？？12nn1n2,, , 1求c的值artan,2un1,n 22,n，,,n,(1)11490、求arcsin(中学希望杯竞赛试题) ,2n，nn1,