东华理工大学高等数学竞赛
资料
第一章 函数、极限与连续
本章内容包括函数及性质,极限概念与性质,求极限
,连续函数的概念、性质及其应用。
一、求极限的一般方法。
1、利用极限的四则运算及复合运算法则,2、利用无穷小的运算法则,3、利用无穷小与无穷大的关系,4、利用两个重要极限,5、利用夹逼定理,6、利用单调有界准则及解方程,8、利用等价无穷小代换,9、利用函数的连续性,10、利用递推公式,11、利用合并或分项,因式分解,约分,变量代换,取对数等技巧,12、利用
xx++……+x12nlim()lim|()|||fxAfxA=?,13、利用,14、limlimxAA=?nxxxxnn00n利用洛比达法则,15、利用导数定义,16、利用微分中值定理与泰勒公式,17、利用定积分定义、定积分性质,18、利用收敛级数性质,19、利用函数极限与数列极
lim(),lim()lim()fxAxxxxfxA==罐=限的关系,即若,20、其他方法 nnn00ギ xxnn0
练习题
骣1a琪1x,,1,2,lim、设是一个正的实数,aaxxnx>=+=……,求存在01nnn+琪n2xn桫 并求其极限值。
1a、x>=-+?且求证:极限存在,20,[(1)](,,0),limxmxmnNax11nnn+m-1n mxn
并求极限值。
3(0,1),x(1),1,2,lim、设xxxnx?-=……,求证:极限存在,求其极限11nnnn+n ()求2limnxnn
1、设x==+=xx,,求存在,并求极限值 42,2n1,2lim)(11nn+nxn
骣xxxx5limcoscoscoscos琪、求 琪23nn2222桫
nn骣b-1琪6lim10,0、求其中+>>ab琪na桫
fxfx()()、设f(x)是三次多项式,且有试求== 7limlim1(0),axaxa24--xaxa24 )fx(的值lim?xa3-x3a
a2n83,21(2).lim21、设试求(第届北京市经管类竞赛
)==- aaan-11nnnn2aaa-121n
n2!n9lim、求 10limarctan(lnsin)、求xxx- nnx+n
骣111琪11lim、求+++ 琪22222n琪1122(1)(1)+-+--+--nnnnn桫
骣琪ln(1)ln(2)ln()nnnn+++琪 12limln、求(自编)++-n琪n11n+1琪nn++琪2n桫
2xxxt2cos--etdtxsin()xtdtòò002、求13lim 、求14lim5x?0?x0x(tan)(11)-+-xxx
150,ln(1),1lim、设且()求证:存在,并求极限。aaaa>=+11nnn+n
nna(2)-n():求的值(2limlimna3):求的值nnnlnn
3316lim1-x0,、若求的值--=+axbab ()x
2n,18.limsin4,ni,,nk,kn 17limsin、求的值å5nn=i1
nn
19()sin|f(x)||sinx|,1、设满足试证明:fxakxka=, 邋kk==1k1k
1xxnx2x骣e+ee++琪 20lim、求极限I=琪?x0n桫
1、设试问,取何值时,将使=--abf(x)与21()1cos(1cos),fx xba在时成为等价无穷小量。? xx
tan2xxn220(1cos)ln(1)、设时,与是同阶无穷小,又xeexxx?-+
2mmx是比高阶无穷小,而是比的高阶的无穷小,xxxxesinsin(1)- 2010且是正整数,则(注:称为mnxpm)___(mod4).[y(mod),+汉xy,15mod4)]是同余的,就比如((协会试题)º
lnlnsin()xaaxax---+23()limlim.a0).、设(fa=+>3xaxaxax--(a)
52求方程的解fa()a=6
23nnxxxn+++技+-x1 、24lim、25limå333?nx1x-11i=++技+12i
222222+++技 26lim(、)技n222
n2351721+2228lim()、技 29lim(sin()、pnn+n2nn24162
pn30lim[sin(21)],0.、求其中(协会试题)np+ p n
n31、设其中和都是(123)236,,,t++=+++qrstqrsnnnnnnnn
rstnnn整数,且求的值(协会试题)n=1,2,3lim,lim,lim技nnnqqqnnn
32.RtACABD,如图:在中,是直角,,在上取点使DBCBAC行=q
|AC||AD|1,EBCCDE,EBCAB==?点在上,满足在点作的垂线交于q
点求(这里,表示线段的长度)(协会试题)F,lim||.|PQ||PQ|EFq?0
22骣2527xx++4琪 33limarctanarctan89、求(年景福竞赛)-x22琪xxx++12桫
111、设求的值aaanaaa==+=34,(2,3),lim 1112nnn-n222
y3335y()30(0)lim、设函数由方程确定,求=+-=>=yxxyaxyakx? x
和(的值(limy-kx)01年哈工大竞赛试题)x+
sin6()6+f()xxfxx+ 36lim0,lim、若求的值(北京市竞赛试题)=32xx00xx
fx()ln(1)+fx()sinx 37lim2011,lim、设求的值=x2xx00ax-1
212n-x++axbx38lim(),,lim()lim()、设f(x)=nNabfxfxÎ求的值,使与都存在2nnxx1-1 x+1
4ìxax++bï,1,2xx构ï39()x1,、设在处连续,求fxab== (1)(2)xx-+íï21x=ïî
tan(sin)sin(tan)xx- 40、求的值(1979年原苏联竞赛试题)tansinxx-
a-1轾tan(tan)sin(sin)tansinxxbxx--)(犏41lim0,0,,bab、设且求(苏联竞赛)= a犏x?0x犏臌
xxsinsin11ee---(()) 42、求的值(原苏联lim78年竞赛试题)4+?x0sin3x
43x)x=12lim()0,lim'()998、设(在领域内可导,,求ffxfx==xx1212
x12轾。 tfududt()蝌犏12t臌lim(北京竞赛试题)3?x12(12)-x
12x1+x()-++abxcx)(44lim0,,,,、设求的值(= dabcd07年南京考研试题) 3x?0x
245()+)()、设函数在区间(fxfx0,)上连续,对任意正数?x,有f(x
且求ffx(3)5,().=
xnx+-(21)nn-146,,n1,2,),lim、设(求xaxbxx====011nn+n 2n
471,,,0,、设且且满足有xyzxyz++=>111111
2ìx2=+xyznnnn+1ï ï2yyxzxyz=+++2,lim(34)求存在,并求极限(自编)ínnnnnnn+1nï2zzxy=+2ïnnnn+1î
趣味思考题:
(1)!(2)!(2)!nnn+? 2 48、求极限的值(自编试题)limn+1nn1!2!(1)!!鬃nn- )(
111++++1nnln2ln3ln 49lim、求的值(自编试题)n()n
禳骣骣轾轾68nn镲22琪琪50limtan4sin4,x、求其中表示不大于的最大整数(自编)ppnnx+++犏犏睚[]琪琪n犏犏1111镲臌臌桫桫铪
ab-nanb++()!()!nanb+-+-c51,,,lim、设是正整数,且abcdcd,?求极限的值(自编试题)ncd-ncnd++n)!()!(+-+-cndc
第二章 一元函数微分学
本章内容包括一元函数的导数,微分的概念与计算,微分中值定理,泰勒公式及其应用,如求未定式的极限,研究函数的增减性、凹凸性、极值、方程的根、证明不等式等等。
练习题
52()g()()sin(),'()、设函数在处连续,求fxxaxfxxaga==-
2-xì1e-ïx0?d1ï 53(),()0[()]|gxfxxfgx、设且在处可导,求==í30x=xdxïï00x=î
2arctanx-t54y、已知两曲线=f(x)与y=edt在点(0,0)处切线相同,写出此切线方程, ò0
2并求极限lim()nf nn
、设f(0)=0,则f()在点x=0可导的充要条件为()(数一考研试题)55x
11-h AfBfe--存在存在:lim(1cosh):lim(1)200hhhh
11CfhDfhfh--存在存在:lim(sinh):lim[(2)()]200hhhh
3356()(43)||()、设,的不可导点的个数为fxxxxxfx=-+-_____(改编)
1fx()、设函数f(x)连续,且g(x)=且求=57(),lim,'()fxtdtAgxò0x?0 x
并讨论的连续性。(94年考研试题)gx'()
ìgxx()cos-x?0ï58()()、设其中具有二阶连续导函数,fxgx=íxïax=0î 且g(0)1,=
():确定的值,使1af(x)在x=0处连续
(2):求讨论在处的连续性。fxfxx'()(3):'()0=
xy59()y2sin7、设的是可微函数,求yyxexx=+-'(0),其中y=-ye
1ìxcos2v=+t1sinïu、已知y=其中是由所确定60(1),()+=eduttxíò1yvsin=ïî
dyp令(t),求g()的值=gdx2
ì11- x0ïxïxe-1 61()0、讨论在处的连续性与可微性fxx==í1ïx=0ïî2
62()'(0),,、设函数连续,存在,并且对于任何的fxfxyRÎ
fxfy()()1+fxyffx(),'(0),()+==若求(清华考研试题)14()()2-fxfy
x63'()、若,fxke=k为常数,求f(x)的反函数的二阶导数
x 64(),()(()),2,3,'()、设f===,求f(研究生入学考试)xfxffxnx111nnn-21+x
n2482 65()(1)(1)(1)(1),'(1)、设求的值fxxxxxf=++++
x65()(1)(2)(2010),()(1)arcsin、设且fxxxxxgxxx=+++=+- x+1
则的值为多少。fg'(1)'(0)+
11x-66()2()3()()()1,、若且函数满足fxfxgxgxgx+=+=+xx 1记求(自编,协会试题)FfxgxF(x)'()'(),()=+2
fx() 、设在上有证明? 67"()0,lim1,()Rfxfxxx?0x
4(2012)68()tan,(0).、设求fxxxf=
1-x()n 69()arctan,(0)、设求fxf=1+x
3(2008)70.()arcsin,(0).08设求(年浙江竞赛)fxxxf=
201222xxxxln(1)sin++71()(1)(2)(2010)(2011)、设函数fxxxxx=+++++2211cos++xx
(2010)求的值(东华杯竞赛改编试题)f(0)
3272320,1、证明:方程4xabxcxabc++=++在()内至少有一个根。(协会试题)
1、设则公式fxxxxfxxfxfxxx=<<+D+D-=+DDq73(),0,()()'()00000x 中的求极限(培训试题)qq,limD x0
cccn1274,,,c++0、设是满足条件的实数,(协会试题)ccc++=010n 231n+
2n证明:在到之间,方程至少有一个实数根010ccxcxcx++++=012n
nn-122aa4nn-1、若有数组满足+++++=75{,,,}0aaaaaa01012n +31nn
n2则方程至少有一个零点。(培训辅导试题)++++=axaxaxalnlnln0n210
76(),()[,],))()0、设都在闭区间上连续,在开区间(可导,若fxgxababafbf(== 则存在(,使得xxxx?=abfgf,)'()'()()0
77()'(0)0,0,1,、设在fxf[0,1]上二次可导,且则存在()使得= x 2ff'()(1)"()0.xxx--=(东华杯非数竞赛试题)
780,1、设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导且f(1)=0,则存在()xÎ -1使得()f'()1-xxx=f().(东华杯数学专业竞赛试题)
79()、设函数在fx[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)=0
证明:(1):存在(xxxxÎaf',b),使得f()+()=0
(2):存在(hhhhÎa,b),使f()+f'()=0
80()b、设在fxaaaa[,b]连续,在(,b)可导,(>>0)证明:存在,(xhÎ,b),
ab+使得ff'()'().xh=2h
81(),](()()1,、设在fxabafafb[上连续,在(,b)可导,且则== hx-xhhh存在,使得:?=(,)e[()'()]1.abff
82(),)、设在fxaabcac[,c]上二次可导,<< ,则存在(x
fafbfc()()()1使得:(培训试题)++=f"()x()()()()()()2abacbcbacacb------
83()0,1](0)1,(1)0,'(0)0,、若函数在fxfff[上三阶可导,且(浙江试题)=-==
2 xx(1)-2证明:至少存在一点(),使得xx?-++ 0,1()1"'(),((0,1))fxxfx6
x84()(),0、设函数在fxfx[0,+)ィ上可导,且0?证明存在,x21+x 21-x使得f'()x=22(1)+x
85()、设在fxaaaa[0,]上可导(>0),且f(0)=1,f()=0,证明:在(0,)内必存在
1x,'()'()10<=xfxfx使得(东华理工年选拔试题)12122 a
86k,,,、设f(x)在区间[0,1]上可微,f(0)=0,f(1)=1,kkn为个正数(一重要结论)12n
nnki=证明:在区间内存在一组互不相等的数使得[0,1],,,,xxxk邋12nifx'()==i11ii
87()aa、设在fx[a,b]上连续,在(,b)内可微,0<
<<2
114p 961,(0)、求证:(北京市竞赛试题)?+< x222sin2xxp
p 97tansin)sin(tan)x(0,)、比较(与的大小,(北京市竞赛)xxÎ2
骣1111nn琪、设为自然数,求证:ne+<<++981+(1)(1)(1) 琪+nnn2n12桫
990,0(1,2,,),、设求证:要求到项exMaclaurinx+
x21+2tanx-+ex102lim、求极限 ?x0arcsinsinxx-
x轾1x(1+)犏x犏 、求极限103lim犏+xe犏犏臌
x轾骣骣e12犏琪琪 、求xxe++-104lim1琪犏琪+xx2桫犏桫臌
43轾nn1117n42犏 105lim(1)、求极限(自创)+-+-+nnnn犏en22416臌
106.limsin(2!)求nen×pn
107()"(0)0,(0)'(0)0,t()、设具有二阶连续导数,且是曲线上点fxfffyfx>===
x()ft(x,f(x))处切线在x轴上截距,求(北京市竞赛试题)limx?0tfx()
108()、设在fx[-1,1]上二次可导,若有f(-1)=f(0)=0,f(1)=1,则 $ xx(-1,1),使得f"()=1.
109()|f、设在fx[0,1]上二次可导,若有(x)|A,|f"(x)|B,x[0,1],
B则|'()|2fxA?2
110()(0)(1),|"x)|,(01)、设在fxfffMx[0,1]上二次可导,且有(=,
M则|'()|(01)fxx, 2
111()(0)(1)0,min{()}1、设在fxfffx[0,1]上二次可导,且有若===-[0,1] 则max{"()}8fx?[0,1]
()k112()sup{|()|:}(0,1,,;2)、设在上次可导,且有fxRmMfxxRkmm=?+? k
-kkkmk()-1mm2求证:MMMkm?-2(1,2,,1)k0m
xxsin()sin()xa-113.lim求极限 xxxa?xaaa-
114x)-x)0)、设(在fn(xddd,内是阶连续可微函数,+>(此处,00
kn)()( 当时,有但是(当时有knfxf=-2,3,,(1)()=0,x)0,0|h|构