【word】 利用函数的凹凸性证明不等式

利用函数的凹凸性证明不等式 利用函数的凹凸J}生证明不等式 新疆农十师北屯高级中学数学组魏振国 【摘要】利用函数的凹凸性证明不等式是不等式证明中的一个重要 方法,本论文通过选择适当的例题总结出如何利用函 数的凹凸性来证明不等式的一般方法与思路. 【关键词】不等式证明函数凹凸性 引言 在数学中我们所遇到的不等式已经很 多,且个别的不等式证明比较复杂,而 不等式的证明方法是我们必须掌握的一个 重要部分.不等式的证明方法有很多 种,其中利用函数的凹凸性证明不等式 的方法是数学研究中常用的,也是我总有x<x.<X: (x2)/x3一x2 f(x2)一(x1)/x2-X1?f(x3)一 严格凸函数上式严格不等式成立. 证明见文献[1]. 定理3设为f(x)区间1上的可导函 数,则以下论断等价: 1.f(x)为l上的凸函数; 2.f(x)为1上的增函数; 3.对l上的任意两点X,x,有f(x.) ?(x.)+f(x,)(X~--X.). 定理4设f为区间l上的二阶可导函 数,则在1上f为凸(凹)函数的的充要 条件是f”(x)?0(f(x)?0),x?1. 证明:f(x)?0,f(x)为增函数, f(x)为l上的增函数f(x)为1上的凸函数 (根据定理3),同理f为1上的凹函数f” (x)?0. 詹森(Jensen)不等式:若f为[a,b] 上的凸函数,则对任意的x?[a,b], ?(1,2…n),E=l有f(?.x.) ??九(f);若f为严格凸函数,不全 相等,x(I=1,2…r1)则上式严格不等 式成立. 证明见文献[1]. 注:詹森不等式实质上是凸函数定义 的一般情况. 例1:证明X>0,Y>0:当时, x1nx+ylny>(x+y)inx+y/2. 分析:这是一个函数不等式,但其含 有两个变量,对不等式作简单变形,不等 式等价于:xlnx+y1ny/2>(x+y)/2In xy/2,不等式两边含有相同”形式”: tlnt,故可设辅助函数f(t)=tlnt(t>0). 因此原不等式可化为f(x)+f(Y)/2> f(x+y)/2,见到这个形式不难想到函数 的凹凸性定义及与凹凸性有关的,些定理 来证明了. 证明(定义证明法):设f(t)=tlnt(t >O). 有f(t)=lnt+l,f(t)=l/t>0, (t>0),则f(t)在(0,+..)为凸函数. 对任意x>0,Y>0(x?Y),有f(x) +f(y)/2>f(x+y)/2(取=1/2). (要使f(x)与g(x)的系数相同,当且 仅当--1一时成立,即=1/2). 因此xlnx+ylny>(x+y)inx+y/2,继 续看一个例题. 例2用凸函数的概念证明不等式:一边 是同一函数在不同点处函数值的叠加,则 一 般需通过将不等式适当变形构造辅助函 数,利用凹凸性证明之. 总之,在掌握函数的凹凸性定理反映 了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函 数之间的关系的基础上,通过具体的例题 总结出利用函数的凹凸性定义及与凹凸性 有关相关定理证明不等式的方法及步骤: (1)定义证明法:将不等式写成定义的形 式,构造辅助函数f(X),并讨论f(X)在所 给区间上的凹凸性;(2)詹森不等式法: 对一些函数值的不等式,构造凸函数,应 用詹森不等式能快速证此类不等式;值得 注意的是:当不等式可写成凹凸函数定义 的形式或对一些函数值和且能够构造凸函 数的不等式. 结束语到此为止通过具体例题的解 法,详细阐述了利用函数的凹凸性证明不 等式的具体方法,步骤及思路.但不等式 的证明方法繁多,难度,技巧性也较大. 比如导数定义法,拉格朗日中值定理法, 柯西中值定理法,泰勒公式法,幂级数展 开式法,定积分理论法,参数法等等.应 用这些方法来证明不等式将在以后的工作 和学习中不断地总结归纳,拓宽知识面, 提高自己的解题能力.