四年级 奥数 讲义 151学子 教案库 8第三讲 巧求周长与面积

四年级 奥数 151学子 库 8第三讲 巧求周长与面积 第三讲 巧求周长与面积 教学目标 1、学会正方形、长方形、平行四边形的基本图形的周长与面积计算 2、学习几何中的常用思想 3、能够利用构造法解决几何中的重要专题 拨 一、基本概念 ?周长:封闭图形一周的长度就是这个图形的周长( ?面积:物体的表面或封闭图形的大小～叫做它们的面积( 二、基本公式 ?长方形的周长(长宽)～面积长宽( ，，,，2, ?正方形的周长边长～正方形的面积边长边长( ，,，4, 三、常用方法 对于基本的长方形和正方形图形～可以直接用公式求出它们的周长和面积～对于一些不规则的比较复杂的几何图形～我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形～利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解( 1、转化是一种重要的数学思想方法 在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分(转化后的图形虽然形状变了～但其周长和面积不应该改变～所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积(转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形( 2、化归思想 寻求正确有效的解题思路～意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径(因此～我们在解决数学问题时～思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题(也就是说～在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时～我们往往转化问题的形式～从侧面或反面寻找突破口～知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题(这种解决问题的思想在数学中叫“化归”～它是数学思维中重要的思想和方法( 在几何中～有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的(这样的图形我们称为不规则图形(不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算(那么～不规则图形的面积怎样去计算呢,对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段( 3、平移 在平面图形的计算中～常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算(其中～将图形沿一个固定方向的移动叫做平移～一个图形经过平行移动不改变其形状与大小～所以图形面积是保持不变的(利用图形的平移～可以使面积计算问题的解法简捷明快～颇有新意( 4、割补 割补法在我国古代叫“出入相补原理”～我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出“出入相补～各从其类”的出入相补原理(这个原理的是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形～它的面积不变( 5、旋转 在平面图形的割补中～有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置～产生一种新的图形结构～图形在转动过程中形状大小不发生改变(利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题( 6、对称 平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形(轴对称图形沿对称轴折叠～轴两侧可以完全重合(也就是说～如果一个图形是轴对称图形～那么对称轴平分这个图形的面积(熟悉轴对称图形这个性质～对面积计算会有很大帮助( 7、代换 在几何计算中～对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧( 本讲主要通过求一些不规则图形的周长～体会一种转化思想～重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法～包括平移、旋转、割补、差不变原理～通过这些方法的学习～让学生体会求周长的技巧～提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力( 例题精讲 模块一、巧求周长 如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图(单1 位:厘米)(求:图中所有长方形的周长之和( 例题1 2 4312 如图，正方形的边长为，被分割成如下个小长方形，求这个小长方形的所412122 有周长之和( 例题2 下图表示一块地，四周都用篱笆围起来，转弯处都是直角(已知西边篱笆长米，173 南边篱笆长米(四周篱笆长多少米, 23 例题3 北 西东17 23 南 【巩固】 下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长2厘米，求这个零件的周长( 【巩固】 下图中标出的数表示每边长，单位是厘米(它的周长是多少厘米, 【巩固】 如下图是某校的平面图，已知线段a,120米，b,130米，c,70米，d,60米，l,250米(杨老师 每天早晨绕学校跑3圈，问每天跑多少米, 一个周长是20厘米的正方形，剪下一个周长是6厘米的正方形，剩下的图形的周6 长是 ( (写出所有可能的结果) 例题6 【巩固】 右图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形(求这个图形的周长, 【巩固】 求下图的周长 【巩固】 (第七届“小机灵杯”数学竞赛初赛)下面两张图中，周长较大的是 ((在横线上填写表示图名 的字母) 如图是一个机器零件的侧面图，图中每一条最短线段长5厘米，这个零件高305 厘米，求这个零件侧面的周长是多少厘米, 例题5 下图是一面砖墙的平面图，每块砖长20厘米，高8厘米，像图中那样一层、二层…6 一共摆十层，求摆好后这十层砖墙的周长是多少, 例题6 【巩固】 把长2厘米、宽1厘米的长方形砖块摆成如图的形状，求该图形的周长, 右图是由个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是平方厘米，164007 那么它的周长是多少厘米, 例题7 【巩固】 图中是由周长都是20厘米的小正方形组成的，它的周长是多少厘米, 图?、图?都是由完全相同的正方形拼成的，并且图?的周长是22厘米，那么图8 ?的周长是多少厘米, 例题8 (1)(2) 边长是厘米的个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少, 1539 例题9 【巩固】 用一块长分米，宽分米的长方形纸板与两块边长分米的正方形纸板拼成一个正方形(拼成的448 正方形的周长是多少分米, 8 4 两个大小相同的正方形拼成了一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形周10 长的和减少了厘米，原来一个正方形的周长是多少厘米, 6例题10 (年”希望杯”第一试)右图中的阴影部分是正方形，线段FH长厘2007BCGF1811 米，线段ADHE长24厘米，则长方形的周长是 厘米( AC例题11 GHEF DC AB 如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，12 这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L形区域乙和丙(甲的周长为4厘米，例题12 乙的边长是甲的周长的倍，丙的周长是乙的周长的倍，那么丙的周长为多1.51.5 EF少厘米,长多少厘米, DC 丙 EJ乙FI 甲 AGHB 用若干个边长都是厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四213 边形，已知大平行四边形的周长是厘米，那么平行四边形和三角形各有多少244例题13 个, 【巩固】 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行 四边形的周长是厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个, 236 有个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这个小长方形拼成的大长方形(如9914 图)的面积是平方厘米，求这个大长方形的周长( 45例题14 【巩固】 右图的长方形被分割成个正方形，已知原长方形的面积为平方厘米，求原长方形的长与宽( 5120 8冯大叔给儿子做玩具用个一样大的小长方形拼图，拼出了如图甲、乙的两种图15 案:图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形;图案甲的中间留下了边长例题15 是的正方形小洞(求小长方形的长和宽,2cm 甲 乙 用同样的长方形条砖,在一个盆的周围砌成一个正方形边框,如右图所示,已知16 264900外面大正方形的周长是厘米,里面小正方形的面积是平方厘米,每块长例题16 方形条砖的长是_________厘米，宽是______厘米( (第二届希望杯复试)将若干个边长为的正六边形(即单位六边形)拼接起来，得117 到一个拼接图形，如图: 例题17 周长=14周长=6周长=10周长=12 那么，要拼接成周长等于的拼接图形，需要多少个单位六边形,画出对应的18 一种图形( 模块二、巧求面积 有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么18 这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米, 例题18 22 下图(单位:厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积. 19 例题19 20,55 88 2020 如图，李大伯给一块长方形田地喷药，喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚20 点为中心，边长2米的正方形区域，他从图中的点出发，沿最短路线(图中虚A例题20 线)走，走过88米到达点，恰好把这块田地全部喷完，这块田地的面积是多少B 平方米, 1米A1米 B (第六届”走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛21 初赛)右图中甲的面积比乙的面积大__________平方厘米( 例题21 6厘米甲4厘米乙 8厘米 ABEDF右图中，矩形的边为4厘米，为厘米，三角形ABF比三角形ABCDBC622 ED的面积大平方厘米，求的长( 9例题22 E FAD BC 如图，ABCD是的长方形，DEFG是的长方形，求与的面74，102，BCOEFO23 积差( 例题23 BBAA CCOEOEDD GFGF 有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方24 米，如果使宽为60米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的例题24 长和宽各是多少米, 50 60 680平方米 2720平方米 【巩固】 有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长方形的面积, 32 如图长方形被分成两部分，已知阴影面积比空白部分面积大平方厘米，求阴影3425 部分的面积( 例题25 10cm 18cm 一张长方形纸片，把它的右上角往下折叠(如图甲)，阴影部分面积占原纸片面积 26 2例题26 的;再把左下角往上折叠(如图乙)，乙图中阴影部分面积占原纸片面积的____ 7 ________(答案用分数表示)( 乙甲 【巩固】 折叠后，原平行四边形面积是折叠后图形面积的倍(已知阴影部分面积之和为1，则重叠部分(即1.5 空白部分)的面积是多少, 【巩固】 如图，一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米(把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未 盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米, 7 5 如图所示，直角三角形中有一个长方形，求长方形的面积, 27 例题27 6 A4F44B CD 66 已知图中大正方形的面积是22平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米, 28 例题28 【巩固】 如图所示，外侧大正方形的边长是，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影的总10cm 2面积为，最小的正方形的边长为多少厘米, 26cm A CBZYXD 有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边29 的中点构成第三个正方形，第四个正方形(求图中阴影部分的面积, 例题29 (2008年全国生”我爱数学夏令营”数学竞赛)如图，边长为 的正方形中有1030 一等宽的十字，其面积(阴影部分)为，则十字中央的小正方形面积为 ( 36例题30 图1第2题 下图大小两个正方形有一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积相差是多少,31 (单位:厘米) 例题31 6 6 3 甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的32 中心上，丙的一个顶点在乙的中心上(这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米, 例题32 66甲甲 乙乙 88 丙丙 1010 【巩固】 将20张边长为10厘米的正方形纸片，按顺序一张一张地摆放在地板上，摆的时候，要求后摆的纸片必须有一个顶点与前一张的中心重合，且每一张只与其前一张和后一张有重合部分(右图表示已经摆好的5张)(地板被这20张纸片所覆盖部分的面积是多少, ABB2有个大小不同的正方形和(如下左图所示的那样，在将正方形的对角线33 AA的交点与正方形的一个顶点相重叠时，相重叠部分的面积为正方形面积的例题33 1 ABAB(求与的边长之比(如果当按下右图那样，将和反向重叠的话，所重 9 B叠部分的面积是的几分之几, BBA A AB 2用四个相同的长方形拼成一个面积为的大正方形，每个长方形的周长是多100cm34 少平方厘米, 例题34 【巩固】 如图所示，4个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大的正方形，大正方形的面积是平方分100 米，小正方形的面积是平方分米，求一个小长方形的面积及周长( 36 四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是l00平方分米，小正方形的35 面积是l6平方分米，求每个长方形的面积是多少,长方形的短边是多少分米, 例题35 16 【巩固】 (2008年”陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)如图，个相同的长方形和个小正方形拼成一个大正41方形，已知其中小正方形的面积为平方厘米，大正方形的面积为平方厘米，则其中长方形的4400长为 厘米，宽 厘米( 第19题 用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别为36 平方厘米与平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米, 4428例题36 一块正方形的苗圃(如右图实线所示)，若将它的边长各增加米(如图虚线所示)，3037 则面积增加平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米, 9900例题37 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形0.538 的面积为平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少, 5例题38 0.555 0.5 0.55 55 图a图b 图中，甲、乙两个正方形的边长的和是厘米，甲正方形比乙正方形的面积大204039 平方厘米(求乙正方形的面积( 例题39 AFED(第十二届“迎春杯”刊赛试题)如图，边长是整数的四边形的面积是4840 平方厘米，FB为8厘米(那么，正方形的面积是 平方厘米( ABCD例题40 F8AB 48 DCE 1141如图，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是平方米、平方510例题41 3211 米、平方米和平方米(已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多 105 少平方米, 长方形的周长是厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方ABCD3042 形(已知这四个正方形的面积之和为平方厘米，那么长方形的面积是290ABCD例题42 多少平方厘米, D1EC11 DCE A1AB 【巩固】 (第四届华杯复赛试题)如图，长方形的周长是16厘米，在它的每一条边上各画一个以该边为ABCD 边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方厘米，求长方形的面积, ABCD HIG ADFAD BEBCC 7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘43 米, 例题43 24 【巩固】 如图所示，7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米, (第五届”祖冲之杯”数学邀请赛)如右图所示，在长方形中，放入六个形状ABCD44 大小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________( 例题44 DC 6 BA14 若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形(已知小纸片的宽是12厘45 米，问阴影部分的总面积是多少平方厘米, 例题45 * 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形(下面46 一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形(图中正方形A和B的边长分别例题46 是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积分别是多少平方厘米, DEF BBCAA GH 【巩固】 (2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛)如图:有一个矩形可以被分割为11个正方形，其中最小的正 2方形(阴影部分)面积为，请问这个矩形之面积为多少平方厘米, 81cm ji gfe hadcb 第2题 图中数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积47 是 ( 例题47 1212A, 551515 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示(单位:平48 方厘米)，问大矩形的面积是多少平方厘米, 例题48 GG S13636AADDC20C201616 BBS23030EES12123 FF 【巩固】 阳阳用四块小长方形恰好拼成了一个大的长方形，如图所示(现在知道其中三块长方形的面积分别 为平方厘米、24平方厘米、平方厘米，那么，阴影部分的面积是多少, 4830 2448 30 【巩固】 (南京市第三届”兴趣杯”少年数学邀请赛决赛试题)如图，矩形被分割成9个小矩形(其中有ABCD 5个小矩形的面积如图所示(矩形的面积为 ( ABCD DA12 24 16 BC 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们49 之间相互叠合(见下图)(已知露在外面的部分中，红色面积是，黄色面积是，1420例题49 绿色面积是(求正方形盒底的面积( 10 黄黄 红绿红绿 如图所示，在正方形内，红色、绿色正方形的面积分别是和12，且红、ABCD4850 绿两个正方形有一个顶点重合(黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角例题50 线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点(那么黄色正方形的面 积是 ( AD 红 12黄 绿3CB 【巩固】 如图所示，在正方形中，红色，绿色正方形的面积分别是和，且红、绿两个正方形有ABCD5213 一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点，求黄色正方形面积. AB 红 黄 绿DC 如图，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形的重51 叠部分，C、D、E是空出的部分，每一部分都是矩形，它们的面积比是A:B:C:例题51 D:E=1:2:3:4:5，那么这个长方形的长与宽之比是________( 家庭作业 (“希望杯”第一试)如右图，正方形的边长是厘米，过正方形内的任意ABCD61 两点画直线，可把正方形分成个小长方形。这个小长方形的周长之和是多少99练习1 厘米, DA CB 计算右边图形的周长(单位:厘米)。 2 练习2 10 15 下图的小正方形边长为1厘米(这个图形的外沿的周长是多少厘米, 3 练习3 求右图所示图形的周长(单位:分米) 4 练习4 50 50 10 l如图，每个小方格是一个正方形，如果该图总面积是52个平方单位，试求这个5 图形的外沿周长是多少个长度单位, 练习5 l如图，在长方形中，是正方形(已知，，求ABCDEFGHAF,10cmHC,7cm6 长方形的周长( ABCD练习6 EFAB DCGH 两个相同的直角三角形如下图所示(单位:厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积. 7 练习7 A D OCB32 FE 厘米，比的面积小平方厘米，求的长为多少厘米, 【巩固】 如图所示，2CAAB,,4?ABE?CDECD CD E BA 从一个正方形的木板上锯下宽的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为1m8 2，问锯下的长方形木条面积是多少, 6m练习8 个正方形，已知中央小正方形的面积是平方厘米，求原图中的长方形被分割成169 来长方形的面积( 练习9 月测备选 (希望杯培训题)右图的周长是 分米( 1 备选1 7 分 米 6分米 求右图的周长( 2 备选2 如下图，正方形操场边长100米，一只蚂蚁沿甲地走了一圈，另一只蚂蚁沿乙地3 走了一圈，谁走的路长, 它们各走了多少米, 备选3 下图是由边长为1厘米的11个正方形堆成的“土”字图形(试求出其周长( 4 备选4 如图，平行四边形ABCD种，，直角三角形ECB的边，已BCcm,10ECcm,85 2知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大，求平行四边形ABCD的面积( 10cm备选5 E AFGD BC 一块长方形纸片，在长边剪去，宽边剪去后(如图)，得到的正方形面积5cm2cm6 2比原长方形面积少(求原长方形纸片的面积( 31cm备选6 525 A 2C2B (2008年武汉明心奥数挑战赛)如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、7 9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少, 备选7 79115 165从一块正方形木板锯下宽为米的一个木条以后，剩下的面积是平方米(问锯8 218下的木条面积是多少平方米, 备选8 9个边长分别为1、4、7、8、9、10、14、15、18的正方形拼成一个长方形，问9 这个长方形的长和宽是多少,并请画出这个长方形的拼接图( 备选9 1518 784 141091