第6章习题答案

《现代控制理论》第6章习解答 6.1  分析开环状态估计的误差动态特性。（说明开环形式的观测器其误差的衰减是不变的，而闭环形式的观测器其误差的衰减是可以改变的）。 答：针对线性时不变系统 (1) 开环形式的观测器： 误差动态方程为 其初始误差 的时间响应为 误差的衰减是由系统模型的状态矩阵决定的，无法改变。 (2) 闭环形式的观测器： 误差动态方程为 其初始误差 的时间响应为 误差的衰减由 决定，其中 、 由系统模型确定，而观测器增益矩阵 由设计者决定，所以误差的衰减是可以改变的。 6.2 为什么要构建状态观测器？画出全维状态观测器的系统结构图。写出状态观测器的状态方程。 答: 构建状态观测器的原因： （1）在许多实际系统中，系统的状态变量并非都是物理量，从而这些状态变量未必都可以直接测量得到。 （2）即使状态变量是物理量，可以通过传感器测量得到，但要直接测量所有的信号一方面会造成系统成本的提高，另一方面，大量传感器的引入会使系统可靠性降低。 状态观测器的模型为 其中， 是观测器的 维状态， 是一个 维的待定矩阵。 全维状态观测器的系统结构图为： 6.3 存在龙伯格状态观测器的条件是什么？龙伯格状态观测器中的增益矩阵 的行数和列数怎样确定？ 答：存在龙伯格状态观测器的条件是：系统是状态能观的。龙伯格状态观测器中的增益矩阵 的行数和列数分别等于状态变量和输出量的个数。 6.4 在观测器设计中，如何选取观测器极点？ 答：在选取观测器极点时，作为一般规则，观测器的极点应该比系统极点快2～5倍，从而使得状态估计误差的衰减比系统响应快2～5倍。当传感器噪声相当大时，可以把观测器极点选择的比系统极点慢两倍，以便使系统的带宽变得比较窄，并且对噪声进行平滑。 6.5  龙伯格状态观测器的增益矩阵 的计算方法有哪几种？ 答：龙伯格状态观测器的增益矩阵 的计算方法有 1. 直接法 2. 变换法 3. 爱克曼公式 6.6  给定线性定常系统 式中 试设计一个全维状态观测器，使得观测器的极点为 。 答：首先验证系统的能观性。由于 显然，系统的能观性矩阵是非奇异的，故系统完全能观。因此存在龙伯格型状态观测器，且状态观测器极点可以任意配置，结合本题，就是存在一个适当维数的常数矩阵 ，使得观测器的极点为 。 以下用直接法来确定 ：设 期望的特征多项式是 通过比较系数得到线性方程组 求解该线性方程组，得到 故所求观测器的增益矩阵是 相应的状态观测器为 6.7 在设计基于观测器的输出反馈极点配置控制器中，系统设计的分离性原理指的是什么？ 答: 系统设计的分离性原理是指，在设计基于观测器的输出反馈极点配置控制器时，状态反馈部分和观测器部分的设计彼此独立，互不影响。 6.8  何为全阶观测器？何为降阶观测器？降阶观测器的阶数是怎样确定的？ 答:  全阶观测器：该观测器的状态和系统状态具有相同维数，即全阶观测器和系统具有相同阶数。 降阶观测器：观测器的维数小于系统的维数，即只是对状态中一部分分量的估计。 降阶观测器的阶数是状态的维数减去独立测量的输出变量个数。 6.9  考虑习题6.6定义的系统。试设计一个降阶观测器，使得观测器的极点是 。 答： 由于状态中的第1个分量是可直接测量的，故只需估计状态中的第2个分量，要设计的降阶观测器是1阶的。将矩阵 和状态向量 作如下分块： 因此， ， ， ， ， ， 从而可以得到估计不可直接测量状态 的观测器为 然后，确定矩阵 ，使得矩阵 的特征值是 。由于 而期望的特征式是 ，因此可求得所需要观测器的增益矩阵是 。 由书中公式(6.3.7)可得所设计的降阶观测器为 不可直接测量的状态分量 的估计量由下式给出： 6.10  给定线性定常系统 试应用MATLAB软件，设计一个全维观测器，使得观测器极点是 ， ， 。 答：配置全阶观测器极点的M-文件为： a=[0 1 0;0 0 1;1.244 0.3965 -3.145]; b=[0;0;1.244]; c=[1 0 0]; v=[-5+j*5*sqrt(3) -5-j*5*sqrt(3) -10]; l=(acker(a',c',v))' 执行以上程序可得： 相应的全维观测器是： 6.11 考虑习题6.10给出的系统。假设输出y可准确量测。试应用MATLAB软件，设计一个降阶观测器，使得其极点是 。 答： 由于输出 可准确量测，同时 ，因此可得： ， ， ， ， 执行以下的M-文件： Aaa=[0]; Aab=[1 0]; Aba=[0;1.244]; Abb=[0 1;0.3965 -3.145]; Ba=[0]; Bb=[0;1.244]; v=[-5+j*5*sqrt(3) -5-j*5*sqrt(3)]; l=(acker(Abb',Aab',v))' Ahat=Abb-l*Aab Bhat=Ahat*l+Aba-l*Aaa Fhat=Bb-l*Ba 可得： ， ， ， 即所设计的降阶观测器为： 6.12 例6.2.1，用一个具有观测器极点 的降阶观测器替代其中的全阶观测器，设计一个基于降阶观测器的输出反馈控制器，并检验其效果。 答: 各参数 ， ， ， ， ， 因为原系统是两阶的，所以降阶观测器是是一阶的。设 ，观测器的特征多项式为 因为 ，所以 ，进而 ， ， 。所以降阶观测器模型为 由例6.2.1可知 ，故 基于降阶观测器的输出反馈控制系统状态方程为 取初始条件为 执行以下的M-文件： ac=[-1 2 -1;-1 0 0;0 0 -2]; t=0:0.01:8; sys=ss(ac,eye(3),eye(3),eye(3)); z=initial(sys,[1 0 0.5],t); x1=[1 0 0 ]*z'; x2=[0 1 0 ]*z' e1=[0 0 1 ]*z' subplot(2,2,1);plot(t,x1),grid title('Response to initial condition') ylabel('state variable x1') subplot(2,2,2);plot(t,x2),grid title('Response to initial condition') ylabel('state variable x2') subplot(2,2,3);plot(t,e1),grid title('t (sec)') ylabel('error state variable e1') 可得闭环系统的状态和状态估计误差对初始条件的响应曲线图： 闭环系统的状态和状态估计误差对初始条件的响应曲线 由仿真曲线可以看出，系统的真实状态和降阶观测器状态的初值有误差，但随着时间的推移，它们之间的误差渐近衰减到零。 6.13  利用分离原理设计的基于观测器的输出反馈控制器本身是否一定是稳定的？一个不稳定的控制器有何不利影响？如何改进？ 答： 利用分离原理设计的基于观测器的输出反馈控制器本身不一定是稳定的。在实际应用中，不稳定的控制器往往是不可取的。因为，不稳定的控制器在自身的测试时会遇到困难。另外，若使用的控制器是不稳定的，则当系统增益变小时，闭环系统就会变得不稳定。因此为了得到一个满意的控制系统，需要重新设计控制器，也即需要修改闭环极点，或观测器极点，或两者同时修改，然后重新进行设计。 6.14  考虑图6.9所示的调节器系统，试针对被控对象设计基于全阶观测器和降阶观测器的输出反馈控制器。设极点配置部分希望的闭环极点是 ，希望的观测器极点是 （a） 对于全阶观测器， 和 ； （b） 对于降阶观测器， 。 比较系统对下列指定初始条件的响应： （a）  对于全阶观测器： （b）  对于降阶观测器： 进一步比较两个系统的带宽。 图6.9  习题6.14的调节器系统 答：被控对象传递函数的一个状态空间实现是： 首先，根据希望配置的闭环极点 ，执行以下的m-文件： a=[0 1;0 -2]; b=[0;4]; c=[1 0]; d=0 j=[-2+j*2*sqrt(3) -2-j*2*sqrt(3)]; K=acker(a,b,j) 可得状态反馈增益矩阵 ： (a) 配置全阶观测器极点 的程序： a=[0 1;0 -2]; b=[0;4]; c=[1 0]; d=0; v=[-8 -8]; L=(acker(a',c',v))' 求得： 该全阶观测器对指定初始条件 的响应曲线可由下面的m-文件来实现： a=[0 1;0 -2]; b=[0;4]; c=[1 0]; d=0; k=[4 0.5]; L=[14;36]; AA=[a-b*k b*k;zeros(2,2) a-L*c]; sys=ss(AA,eye(4),eye(4),eye(4)); t=0:0.01:3; x=initial(sys,[1;0;1;0],t); x1=[1 0 0 0]*x'; x2=[0 1 0 0]*x'; e1=[0 0 1 0]*x'; e2=[0 0 0 1]*x'; subplot(2,2,1);plot(t,x1),grid title('Response to initial condition') ylabel('state variable x1') subplot(2,2,2);plot(t,x2),grid title('Response to initial condition') ylabel('state variable x2') subplot(2,2,3);plot(t,e1),grid title('t (sec)') ylabel('error state variable e1') subplot(2,2,4);plot(t,e2),grid title('t (sec)') ylabel('error state variable e2') 所得到的响应曲线图为： 基于全阶观测器的输出反馈控制系统响应曲线 (b) 配置降阶观测器极点 由 ，可得： ， ， ， ， ， 因为原系统两阶，所以降阶观测器的增益矩阵 。而观测器的特征方程为 因为 ，所以 ，即 。进而 ， ， ，故降阶观测器模型为 基于该降阶观测器的输出反馈控制系统对指定初始条件 的响应曲线可由下面的m文件来实现： a=[0 1;0 -2]; b=[0;4]; k=[4 0.5]; kb=[0.5];