数学思想方法与初中数学教学(方程建模)

《数学思想与初中数学教学》中实例的应用 发布者：孙琦 发布时间： 2011-12-6 14:11:19 因为今年正好是教七上，所以 《数学思想方法与初中数学教学》的学习对我非常有用，特别是《一元一次方程的应用》的教学中，我也采取了老师的中部分内容。 第一部分创设情境，复习导入,由于时间关系，就没有采纳。 我直接从（2）合作探究，学习新知开始教学： 本阶段通过对同一情境下5个不同实际问题的探究，学会列表分析数量关系的方法，掌握列一元一次方程解应用题的基本思路和一般步骤，渗透数学建模思想，培养学生运用数学知识分析、解决实际问题的意识和能力。 首先从与我们班学生实际生活密切相关的热点问题入手，用多媒体展示“学校新修建的草坪运动场”的图片，并提出问题1 问题1：为了给学生创造一个优美的校园环境，在2010年暑假期间，芳星园中学修建了一个漂亮的长方形运动场。周长为310米，宽比长少25米，你知道芳星园中学运动场长和宽分别是多少米吗？ 问题给出后，我请同学们尝试解答。 预案1： 由于学生在小学阶段掌握了列算式解决实际问题的方法，因而有些学生可能想到用算术方法来解决问题，通过分析数量关系，可以得到足球场长与宽的和为155米，又已知宽比长少25米，那么根据和差关系，可以得到运动场的长为 （米），运动场的宽为 （米）。 算术解法： ， ， ， 。 预案2： 由于学生在小学也学过简单方程，所以有些学生还可能想到用列方程来解决问题，我及时地给与鼓励，对于在具体的解题过程上有困难的学生，我适时地给与启发，设运动场的长为x米，那么运动场的宽用含有x的代数式表示为 米，然后，我引导学生根据“长方形周长＝2×长＋2×宽”这个等量关系，列出一元一次方程 ，再解出方程中未知数x的值， ，并经过检验符合实际意义，得到运动场长是90米，宽是65米。 方程解法：设芳星园中学运动场的长为x米，则运动场的宽为 米。 根据题意列方程，得 。 解这个方程，得 ， 。 答：芳星园中学的运动场长是90米，宽是65米。 在学生独立思考，用列算式和列方程的方法解决问题后，启发学生比较“算术方法”和“方程方法”的区别，使学生体验从算术方法到代数方法是数学的进步。 参与运算角度 思维方法角度 分析问题角度 “列算式求解” 已知数 逆向思维 解决较复杂的问题有难度 “列方程求解” 未知数、已知数 正向思维未知→已知 比较直接、简洁明了         接下来，设置了符合我们班学生认知水平的问题情境，用多媒体展示“芳星园中学运动会入场式”的图片，学生观察思考，适时地提出问题2： 问题2：2010年10月，在新修建的美丽的草坪运动场上，芳星园中学召开了运动会，走在入场式最前面、迈着整齐步伐的仪仗队，是从初一⑴班和初一⑵班抽调的学生，如果初一⑴班原有35人，初一⑵班原有30人，初一⑴班抽调的人数比初一⑵班抽调的人数多1人，那么初一⑴班剩余的人数恰好是初一⑵班剩余人数的3倍，你知道从两个班各抽调了多少人参加仪仗队吗？ 问题给出后，我先请同学们独立思考、认真审题，引导学生采用列表法进行分析。 第一步：检索题目中关键词语，让学生复述题目说的是什么“事”，涉及了几个已知量、未知量和等量关系。 第二步：检索题目中关键数据，让学生用代数式表示已知数和未知数，要注意运用表示应用题的局部相等关系去设未知数； 第三步：检索题目中关键信息，让学生找出表示应用题全部含义的相等关系，列出方程。 在问题2中，找到关键词语。已知量是初一⑴班和初一⑵班原有的人数；未知量是初一⑴班和初一⑵班抽调的人数；题目中有两个相等关系。 在问题2中，找到关键数据。初一⑴班原有35人，初一⑵班原有30人；局部相等关系是：初一⑴班抽调的人数比初一⑵班抽调的人数多1人；要注意运用局部相等关系去设未知数，如果设从初一⑵班抽调的人数为x人，那么从初一⑴班抽调的人数为 人。 在问题2中，找到关键信息。整体相等关系是：初一⑴班剩余的人数是初一⑵班剩余人数的3倍，运用能够表示应用题全部含义的相等关系，列出方程： 。 列表分析问题中的数量关系： 已知量 未知量 原有人数（人） 抽调人数（人） 剩余人数（人） 初一⑴班 35 初一⑵班 30 等量关系 初一⑴班剩余人数＝3×初一⑵班剩余人数           在学生明确列表分析法的步骤，把实际问题转化为数学问题后，我利用板，给出“列一元一次方程方程解应用题”的解题过程。 解：设从初一⑵班抽调了x人，则从初一⑴班抽调了 人。 根据题意列方程，得 。 解这个方程，得 ， 。 答：从初一⑴班抽调了29人，从初一⑵班抽调了28人。 在此基础上，我进一步提出问题：列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 学生们分成小组进行充分的讨论、交流，并请代表汇报小组总结的列方程解应用题的方法步骤，师生共同修改、补充、完善，达成共识，我利用投影进行归纳概括： 列一元一次方程解应用题的主要步骤： “一审，二设，三列，四解，五检，六答”。 ①审：认真读题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的相等关系； ②设：设出未知数，用含有未知数的代数式表示题目中涉及的数量关系； ③列：根据相等关系列出方程； ④解：求出所列方程的解； ⑤检：检验方程的解是否正确，是否符合问题的实际意义； ⑥答：写出答案。 在学生初步掌握了列一元一次方程解应用题的主要方法步骤后，带领学生继续关注身边的实际生活问题，用多媒体展示“芳星园中学运动会上，班级之间展开各种竞赛评比”的图片，在同学们回顾自己在运动会上精彩表现，学习热情充分高涨时，适时地提出问题3。 问题3 ：在芳星园中学的运动会上，班级之间展开了各种竞赛，同学们积极向宣传组投稿，报导好人好事并为运动员喝彩加油。根据宣传组统计，初一年级两个班共投稿125件，其中初一⑴班投稿数量比初一⑵班投稿数量的2倍少10件，你知道初一年级的两个班各投送宣传稿多少件吗？ 对于问题3，请同学们独立思考，并在学案上解答，我及时地进行巡视。 对于能正确列出一元一次方程进行解答的学生，给予及时的表扬，并引导学生反思：在列一元一次方程解决实际问题的过程中，体现了哪些数学思想方法？ 对于采用“列表分析法”存在困难的学生，分三步给与引导。 第一步：找到关键词语。明确已知量、未知量和两个等量关系。 第二步：找到关键数据。用代数式表示已知数和未知数，注意运用局部相等关系去设未知数。局部相等关系是：初一⑴班投稿数量比初一⑵班投稿数量的2倍少10件。如果设初一⑵班投稿数量为x件，那么初一⑴班投稿数量为 件。 第三步：找到关键信息。整体相等关系是：初一年级的两个班共投稿125件。用表示应用题全部含义的相等关系，列出方程 。 列表分析问题中的数量关系：解：设初一⑵班投稿数量为x件，则初一⑴班投稿数量为 件。 根据题意列方程，得 。 解这个方程，得 ， 。 答：初一⑴班投稿80件，初一⑵班投稿45件。 对于问题3，在学生独立思考解答的基础上，我请学生代表展示解答过程，其他学生修改、补充、完善，师生达成共识。 指出：在列一元一次方程解应用题时，首先要认真审题，注意找出题目中的已知数，未知数和表示应用题全部含义的相等关系，然后，根据题目给出的相等关系设出未知数，列出需要的代数式和方程，通过解这个方程求出未知数的值，注意检验求出的解是否符合问题的实际意义或能够对解给出恰当的解释。 安排这一环节的目的是：让学生巩固“列表分析法”，进一步明确列一元一次方程解决实际问题的方法步骤，初步体会建模思想、转化思想等。 在学生初步体验到：方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型的基础上，我引导学生继续关注体现我们班学生风采的运动会，我用多媒体出示“运动会400米中长跑比赛”的图片，在鼓励同学们奋力拼搏，勇于争先的同时，提出问题4。 问题4：在芳星园中学的运动会上，同学们个个奋力拼搏，勇于争先，考验运动员速度与耐力的是400米中长跑项目。李明同学代表初一（1）班正站在运动场的400米起跑线上，只听发令枪一响，李明同学像离弦的箭一样冲了出去。数学嵇老师估计，在运动会上，李明400米跑步的平均速度比平时训练时每分钟提高了30米。结果李明同学以1分20秒冲过终点，取得了第一名的好成绩，你知道李明400米跑步，平时训练时的平均速度是多少吗？在这次运动会上平均速度又是多少呢？ 对于问题4，让学生分小组进行讨论，并把合作探究的解题方法写在学案上。 我进行巡视，对于正确列出一元一次方程进行解答的学习小组，给予及时的表扬，并鼓励他们探究不同的解题方法。 对于列一元一次方程解应用题存在困难的学习小组学生，给与启发引导，帮助他们找出在行程问题中常常涉及几个基本量？这些基本量之间具有怎样的相等关系？ 在同学们充分讨论的基础上，请小组代表利用投影进行展示，交流不同的解题思路方法，其他学生补充、完善。对于不同的解题方法，教师及时给予总结比较，达成共识。 明确指出：“一元一次方程”是解决实际问题常用的数学模型。要善于把实际问题转化为数学问题，要抓住问题中的已知数和未知数，把未知数放在与已知数平等的地位上去分析研究，利用问题中表示应用题全部含义的相等关系列出方程，通过解方程，使未知数转化为已知数。 安排这一环节的目的是：让学生进一步明确列一元一次方程解决实际问题的思路和一般步骤，体会建模思想。要强调：在列方程解决实际问题时，单位必须要统一。 分析预案一： 已知量未知量 距离s(米) 速度v（米/分钟） 时间t（分钟） 平时训练 400 运动会上 400 等量关系           解法一：设李明400米跑步，平时训练时的平均速度为x米/分钟，则运动会上的平均速度为 米/分钟。 根据题意列方程，得 解这个方程，得 ， 答：李明400米跑步，平时训练时平均速度270米/分，运动会上平均速度300米/分。 分析预案二： 已知量 未知量 距离s(米) 速度v（米/秒） 时间t（秒） 平时训练 400 运动会上 400 80 等量关系           解法二：设李明400米跑步，平时训练时的平均速度为x米/秒，则运动会上的平均速度为 米/秒。 根据题意列方程，得 。 解这个方程，得 ， 。 答：李明400米跑步，平时训练时平均速度4.5米/秒，运动会上平均速度5米/秒。 在学生进一步理解掌握了列一元一次方程解决实际问题的基础上，我引导学生再次走进他们自己的实际生活中，我用多媒体展示“同学们为运动会购买饮料”的场景，在表扬同学们团结合作、热心为集体服务精神的同时，提出问题5。 问题5：芳星园中学的运动会，不仅展现出同学们的运动风采，也体现出同学们团结合作为集体服务的精神，下面是初一⑴班班长李欣和生活委员王平在为运动员们购买饮料的场景。 李欣：阿姨，您好！我们想买矿泉水和柚子茶饮料。 售货员：你们好！这两种饮料各买多少瓶呀？ 李欣：两种饮料一共买40瓶。 售货员：矿泉水每瓶1.5元，柚子茶饮料每瓶2元。 李欣：我们只有65元班费。 售货员：好的！请拿好矿泉水和柚子茶饮料，再见！ 聪明的同学们，你们知道李欣和王平给班级购买两种饮料各多少瓶吗？ 对于问题5，我首先请同学们认真倾听李欣与售货员的一段对话场景，并让同学们根据对话内容，做好关键数据信息的记录工作，然后，请小组同学之间相互核对已知信息，补充完善后，共同研究：如何把文字语言翻译成数学语言，把实际问题转化为数学问题。 给予同学们充分的思考时间，在讨论交流的基础上，让学生独立写出解答过程，对于能正确列出一元一次方程解决实际问题的学生，给予及时的鼓励表扬，并请同学们写出列一元一次方程解应用题的思路方法。 对于有困难的学生，引导学生采用“列表分析法”，分析出问题中所涉及的局部相等关系是：矿泉水的数量＋柚子茶饮料的数量＝总共购买数量40瓶；整体相等关系是：矿泉水的费用＋柚子茶饮料的费用＝总共费用65元。如果设购买矿泉水x瓶，那么购买柚子茶饮料 瓶，根据整体相等关系，列出方程是 。 在学生对问题5充分交流，独立写出解答过程后，利用投影有针对性的展示收集到的部分学生的学案，对于学生出现的不准确、不精确的解答过程，师生相互纠正、补充、完善，使学生进一步理解掌握列一元一次方程解应用题的方法步骤；对于学生出现的正确的不同解法，教师及时给予比较、评价，从而培养学生的发散思维能力，逐步体会方程思想、转化思想、建模思想。 安排这一环节的目的是：让学生熟练运用“列表分析法”，正确掌握列一元一次方程解决实际问题的方法步骤，同时增强学生收集信息的能力，善于把实际生活中问题转化为数学问题，进一步体会建模思想、转化思想，提高运用数学知识分析问题、解决实际问题的意识和能力。 列表分析：解：设购买矿泉水x瓶，则购买柚子茶饮料 瓶 根据题意列方程，得 解这个方程，得 ，   答：购买矿泉水30瓶，茶饮料10瓶 ⑶应用知识，培养能力 本阶段通过选取不同层次的练习，从不同的角度，使学生深入理解掌握列一元一次方程解应用题的方法和步骤，提高学生运用数学知识分析问题、解决实际问题的意识和能力。 首先，我安排了“比一比，谁最棒！”的变式练习。 下面是初一⑴班班长李欣和生活委员王平在为运动员们购买饮料的场景。 李欣：阿姨，您好！ 售货员：你们好！想买点什么呀？ 李欣：我只有65元，请帮我安排买30瓶矿泉水，10瓶茶饮料。 售货员：好，每瓶茶饮料比每瓶矿泉水贵0。5元，请拿好矿泉水和茶饮料。 售货员：好的！阿姨，再见！ 根据这段对话，你能算出矿泉水和茶饮料的单价各是多少吗？ 对于这一环节的变式练习，我先让同学们独立思考，并请一名学生进行口答，我写出简要板书，其他学生补充、修改、完善，我及时给予鼓励评价。 本阶段通过设计变式问题，有效的提高课堂效率，揭示知识之间的联系，使学生进一步理解掌握列一元一次方程解应用题的思路方法和一般步骤，培养学生从不同的角度观察生活，用数学知识解决实际问题的能力。 接着，我安排了“试一试，我能行！”的编题练习。 请同学们根据一元一次方程 ，设计一道以实际生活为背景的应用题。 对于这一环节的编题练习，我采用小组合作的学习方式，以小组为单位合作设计一个实际问题，然后在全班进行小组交流。 本阶段设计开放性的问题，目的是使学生开阔思维，充分发挥想象力和创造力。并通过小组合作交流，培养学生的合作意识。 最后，我安排了“做一做，迎挑战!”的中考链接试题。 列方程解应用题（2010年北京市中考第17题）。 2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5。8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0。6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米。 对于这一环节的中考链接试题，采用反馈的学习方式，首先请同学们独立解答，及时的进行巡视，收集学生出现的错例，然后利用多媒体展示中考试题的标准答案，由同桌同学互判试卷，对典型性错例，进行分析、纠正，形成师生之间、生生之间的相互点评、相互提高，最后，把学生反馈检测的试卷收回，以便准确掌握学生对本节课知识掌握、落实的情况。